een kwadratisch verband tussen twee variabelen herkennen aan de standaardformule $y = a(x-p)^2+q$ ;

top en symmetrieas kunnen aflezen uit de standaardformule van een kwadratische functie en dan een tabel maken;

de grafiek van een kwadratische functie in de standaardvorm tekenen;

het maximum of minimum van een kwadratische functie vanuit de standaardvorm bepalen;

nulpunten van een kwadratische functie berekenen door terugrekenen vanuit de standaardformule.

het begrip variabele en de basisbewerkingen met getallen en variabelen uitvoeren, met name met kwadraten en wortels;

haakjes wegwerken;

tabellen maken en grafieken tekenen bij formules van twee variabelen waarin een kwadraat voorkomt.

Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies in de lengte van het veld. Het tennisveld is $24$ m lang en het net is $1$ m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
De baan van de bal is een kromme lijn. In het getekende assenstelsel geldt voor die baan de formule

$h = - 0,01 \cdot {(x - 10)}^{2} + 1,5$

Hierin stelt $h$ de hoogte van de bal boven het tennisveld en is $x$ de afstand van de monding van het tenniskanon tot het punt recht onder de bal.

Hoe hoog komt de tennisbal maximaal?

Maak een tabel en eventueel een grafiek. En misschien weet je nog wel hoe je uit zo'n formule het hoogste punt afleest. De bal komt hoogstens $1,5$ m boven de grond.

Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies in de lengte van het veld. Het tennisveld is $24$ m lang en het net is $1$ m hoog.
De baan van de bal is een kromme lijn. In het getekende assenstelsel geldt voor die baan de formule:

$h = - 0,01 \cdot {(x - 10)}^{2} + 1,5$

Deze formule is van de vorm $h = ...$ en dus is $h$ een functie van $x$ . In dit geval is er sprake van een kwadratische functie. Hieronder zie je de bijbehorende tabel.

$x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$	$22$	$24$
$h$	$0,50$	$0,86$	$1,14$	$1,34$	$1,46$	$1,50$	$1,46$	$1,34$	$1,14$	$0,86$	$0,50$	$0,06$	$- 0,46$
toename	‌	$0,36$	$0,28$	$0,20$	$0,12$	$0,04$	$- 0,04$	$- 0,12$	$- 0,20$	$- 0,28$	$- 0,36$	$- 0,44$	$- 0,52$

Je ziet dat de toename van de hoogte van de tennisbal steeds wat minder wordt. Hoeveel minder is moeilijk in te schatten. Op het eerste gezicht lijkt er geen regelmaat in de rij van de toenames te zitten. Maar als je de verandering van de toenames bekijkt is deze constant. Toeval of geen toeval?

De grafiek hierboven is een deel van een parabool. Je ziet dat het hoogste punt de coördinaten $(10; 1,5)$ is. Dit noem je de top van de parabool. De top ligt op de symmetrieas van de parabool. In dit geval is het de lijn $x = 10$ .

Bekijk in de Uitleg de baan van een tennisbal die wordt afgeschoten door een tenniskanon. De formule die de baan van de bal beschrijft is gegeven.

Waarom hoort deze formule bij een kwadratische functie?

Omdat de macht van de onafhankelijk variabele een kwadraat is (en er geen andere machten voorkomen). En er is sprake van een functie omdat de formule de vorm $h = ...$ heeft.

Bereken zelf de hoogte van de tennisbal als $x = 3$ .

Je vindt dan $h = 1,01$ .

Je ziet dat er ook een rij is gemaakt van de toenames van de hoogte telkens als $x$ met $2$ wordt verhoogd. Maak zelf een rij met de verandering van die toenames.

De toenames worden telkens $0,08$ kleiner. Dus die rij met veranderingen van de toenames is steeds $- 0,08$ .

De top van de parabool kun je uit de tabel aflezen. Maar je kunt hem ook direct uit de formule afleiden. Ga na hoe.

Eigen antwoord.

Een hangbrug is met tuidraden opgehangen aan twee kabels die zijn bevestigd aan twee grote pilaren aan weerszijden van de brug. De kabels hangen dan in de vorm van een parabool. Een mogelijke formule voor zo'n parabool is

$h = 0,01 \cdot {(a - 70)}^{2} + 16$

Hierin is $h$ de hoogte van een punt op de kabel boven het wegdek van de brug en $a$ de afstand in meters tot de linker toren.

Hoe hoog boven het wegdek zit de kabel aan de linker toren vast?

Neem $a = 0$ en vul dit in de formule in. Je vindt $h = 65$ .

Maak een tabel met voor $a$ de waarden $0$ , $10$ , $20$ , enzovoorts. Maak ook een rij met afnames en een rij met de verandering van de afnames. Wat valt op bij die laatste rij?

Doen, de verandering van de afnames moet steeds hetzelfde getal opleveren, namelijk $2$ .

Hoe groot is de afstand tussen beide torens?

Na $140$ m is de hoogte van het punt op de kabel weer gelijk aan die bij de linker toren. Dus de torens staan $140$ m uit elkaar.

Welk punt is de top van de parabool? Hoe hoog zit de kabel daar boven het wegdek?

Het punt $(70, 16)$ , dus de kabel zit dan $16$ m boven het wegdek.

Bij een kwadratische functie hoort een formule van de vorm $y = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ met $a != 0$ . De bijbehorende grafiek is een parabool met top $(p, q)$ en symmetrieas $x = p$ .

Als $a gt 0$ heb je een dalparabool met een laagste waarde, een minimum van $q$ voor $x = p$ .

Als $a lt 0$ heb je een bergparabool met een hoogste waarde, een maximum van $q$ voor $x = p$ .

En maximum of een minimum noem je een uiterste waarde of ook wel een extreme waarde van een functie.

In de applet kun je met de schuifknoppen de waarde van $a$ , $p$ en $q$ veranderen.

Als je in een bijbehorende tabel de waarden van $x$ met vaste stappen laat toenemen, dan kun je een kwadratisch verband herkennen aan de symmetrie in de tabel. Verder kun je de nulpunten (de $x$ -waarden waarbij $y=0$ ) van een kwadratische functie berekenen door $a(x-p)^2 - q = 0$ op te lossen met de balansmethode. Terugrekenen vanuit een kwadraat doe je door worteltrekken, daarbij krijg je vaak twee oplossingen die de plaats van de snijpunten van de parabool met de $x$ -as aangeven.

Bij een kwadratische functie hoort de formule $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ .

Bepaal de extreme waarde van deze kwadratische functie en teken de bijbehorende parabool.

Stel in de applet de juiste waarden voor $a$ , $p$ en $q$ in. Je kunt dan de top van de parabool zien.

De top van de parabool kun je uit de formule aflezen: $T (1, 3)$ . De parabool heeft daarom de lijn $x = 1$ als symmetrieas en je ziet dat het een dalparabool is.
De extreme waarde is daarom een minimum van $3$ voor $x = 1$ .

Nu kun je gemakkelijk een tabel maken en de grafiek tekenen.

Werk met de applet in het voorbeeld.

Stel in de applet de formule in die in het voorbeeld is gegeven.
Hoe zie je aan de formule dat de grafiek van deze functie een dalparabool is?

Omdat het kwadraat niet met een negatief getal wordt vermenigvuldigd. In de applet moet je $a = 1$ kiezen, dus een positief getal voor $a$ nemen.

Waarom is het belangrijk om eerst de symmetrieas te weten voor je een tabel maakt?

Dan weet je welke $x$ -waarden je moet kiezen in de tabel.

Hier zie je een geschikte tabel voor deze parabool. Maak hem af en teken de parabool.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	‌	‌	‌	‌	‌	‌	‌

Zie tabel.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$12$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$	$12$

Maak een extra rij in deze tabel met daarin de afnames van de $y$ -waarden voor elke stap. En maak ook een extra rij met de verandering van die afnames.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$12$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$	$12$
afname	‌	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$	$5$
verandering	‌	‌	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$

Is de verandering van de afnames constant?

Ja, die is steeds $2$ .

Bepaal van de volgende kwadratische functies de extreme waarde en de symmetrieas. Vermeld ook welke soort parabool het betreft. Gebruik eventueel de applet in de theorie.

$y = - {(x + 1)}^{2} - 4$

Een bergparabool met top $T (- 1, - 4)$ en symmetrieas $x = - 1$ . Er is een maximum van $- 4$ voor $x = - 1$ .

$y = 2 {(x - 4)}^{2} + 1$

Een dalparabool met top $T (4, 1)$ en symmetrieas $x = 4$ . Er is een minimum van $1$ voor $x = 4$ .

$y = - 0,01 {(x - \sqrt{3})}^{2} + 2$

Een bergparabool met top $T (\sqrt{3}, 2)$ en symmetrieas $x = \sqrt{3}$ . Er is een maximum van $2$ voor $x = \sqrt{3}$ .

Gegeven is de formule $y = {(2 x - 4)}^{2} + 3$ .

Laat zien dat je deze formule kunt schrijven als $y = 4 {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$y = {(2 x - 4)}^{2} + 3 = {(2 (x - 2))}^{2} + 3 = 4 {(x - 2)}^{2} + 3$

Deze formule hoort dus ook bij een kwadratische functie. Welke uiterste waarde en welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool?

Het is een dalparabool met top $T (2, 3)$ en symmetrieas $x = 2$ . Er is een minimum van $3$ voor $x = 2$ .

Bij een kwadratische functie hoort de formule $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ .

Bereken de snijpunten van de bijbehorende parabool met beide coördinaatassen.

Stel in de applet de juiste waarden voor $a$ , $p$ en $q$ in. Je kunt dan de snijpunten van de parabool met beide assen zien.

Het snijpunt met de $y$ -as kun je berekenen door $x = 0$ in te vullen: $y = {(0 - 1)}^{2} - 3 = - 2$ .
Het snijpunt met de $y$ -as is dus $(0, - 2)$ .

Met de $x$ -as heeft de parabool twee snijpunten die je vindt door $y = 0$ te nemen.
Dat geeft de vergelijking ${(x - 1)}^{2} - 3 = 0$ .
Deze vergelijking kun je oplossen met de balansmethode.
Er zijn twee mogelijke oplossingen, want bij terugrekenen vanuit kwadraat krijg je een positief en een negatief antwoord.

$(x-1)^2 - 3$

$=$

$0$

beide zijden $3$ aftrekken

$(x-1)^2$

$=$

$3$

worteltrekken

$x - 1$

$=$

$sqrt(3) vv x - 1 = text(-)sqrt(3)$

beide zijden $+1$

$x$

$=$

$1 + sqrt(3) vv x = 1 - sqrt(3)$

Het teken $vv$ lees je als en/of. Beide antwoorden zijn correct.

Nu kun je beide snijpunten wel opschrijven. Als dat wordt gevraagd kun je ze benaderen in bijvoorbeeld één decimaal nauwkeurig.

Bekijk in Voorbeeld hoe je bij een kwadratische functie de snijpunten van de bijbehorende parabool met de beide coördinaatassen kun opstellen.

Stel in de applet de formule in die in het voorbeeld is gegeven. Lees de gevraagde punten uit je figuur af.

Doen.

Voer zelf de berekening van de snijpunten met de $x$ -as uit zonder naar Voorbeeld te kijken. Schrijf hun exacte coördinaten op.

${(x - 1)}^{2} - 3 = 0$ geeft ${(x - 1)}^{2} = 3$ en dus $x - 1 = \pm \sqrt{3}$ zodat $y = 1 \pm \sqrt{3}$ .

De snijpunten zijn $(1 - \sqrt{3}, 0)$ en $(1 + \sqrt{3}, 0)$ .

Laat zien dat beide snijpunten met de $x$ -as evenver van de symmetrieas van de parabool liggen.

De symmetrieas is $x = 1$ . Beide punten liggen daar $\sqrt{3}$ van af.

Geef een benadering van de snijpunten met de $x$ -as in twee decimalen nauwkeurig. Ga na dat ze passen bij wat je uit de figuur hebt afgelezen.

$(- 0,73; 0)$ en $(2,73; 0)$ .

Een kwadratische functie is gegeven door de formule $y = - 4 {(x - 8,5)}^{2} + 5$ .

Bereken van de bijbehorende parabool het snijpunt met de $y$ -as.

Voor het snijpunt met de $y$ -as geldt $x = 0$ en dat levert op $y = - 284$ . Het snijpunt met de $y$ -as is dus $(0, - 284)$ .

Bereken de exacte snijpunten van de bijbehorende parabool met de $x$ -as.

Voor de snijpunten met de $x$ -as geldt $y = 0$ en dus $- 4 {(x - 8,5)}^{2} + 5 = 0$ . Deze vergelijking los je op door terugrekenen: ${(x - 8,5)}^{2} = 1,25$ geeft $x = 8,5 + \sqrt{1,25} \lor x = 8,5 - \sqrt{1,25}$ . De bijbehorende snijpunten zijn $(8,5 + \sqrt{1,25}; 0)$ en $(8,5 - \sqrt{1,25}; 0)$ .

Van een kwadratische functie is de formule $y = - 0,5 {(x - 6)}^{2} + 10$ .
De bijbehorende grafiek is een bergparabool.

Waarom is de bijbehorende grafiek een bergparabool? Welk punt is de top van die parabool?

Een bergparabool omdat het kwadraat met $- 0,5$ , dus een negatief getal wordt vermenigvuldigd. De top is $T (6, 10)$ .

Welke extreme waarde heeft deze kwadratische functie?

Er is een maximum van $10$ voor $x = 6$ .

Maak een geschikte tabel en teken de parabool. Zorg er voor dat de top in ieder geval duidelijk in beeld is.

Zie tabel. Teken een bijpassende grafiek.

$x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$y$	$- 8$	$2$	$8$	$10$	$8$	$2$	$- 8$

Bereken de nulpunten van deze functie.

Los op: $text(-)0,5(x - 6)^2 + 10 = 0$ .

$text(-)0,5(x - 6)^2 + 10$

$=$

$0$

$text(-)0,5(x - 6)^2$ $=$ $text(-)10$

$(x - 6)^2$ $=$ $20$

$x - 6$ $=$ $sqrt(20) vv x - 6 = text(-)sqrt(20)$

$x$ $=$ $6 + sqrt(20) vv x = 6 - sqrt(20)$

Dit zijn de nulpunten van deze functie.

Bepaal van elk van de volgende kwadratische functies de extreme waarde.

$y = {(x + 5)}^{2} + 7$

Een dalparabool met top $T (- 5,7)$ . Er is een minimum van $7$ voor $x = - 5$ .

$y = - 2 {(x - 12)}^{2} + 45$

Een bergparabool met top $T (12, 45)$ . Er is een maximum van $45$ voor $x = 12$ .

$y = {(x + \sqrt{2})}^{2} - \sqrt{3}$

Een dalparabool met top $T (- \sqrt{2}, - \sqrt{3})$ . Er is een minimum van $- \sqrt{3}$ voor $x = - \sqrt{2}$ .

$y = 5,5 - 3 {(x - 2)}^{2}$

Een bergparabool met top $T (2,5; 5)$ . Er is een maximum van $5,5$ voor $x = 2$ .

Je ziet hier een parabool. De bijbehorende formule is $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 5$ .

Bepaal de top van deze parabool en bereken het snijpunt met de $y$ -as.

De top van de parabool is $3, 5$ .
$x = 0$ geeft $y = - 13$ . Het gevraagde snijpunt is dus $(0, - 13)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze parabool met de $x$ -as.

$text(-)2(x-3)^2+5=0$ geeft $x = 3+-sqrt(2,5)$ . Schrijf nog wel even de juiste coördinaten op!

Bereken de exacte afstand tussen de snijpunten van deze parabool met de $x$ -as.

De gevraagde afstand is $2*sqrt(2,5)$ .

Gegeven is een parabool met formule $y = - 0,5 {(x - 10)}^{2} + 40$ en een lijn met vergelijking $y = a$ .

Bereken de snijpunten van deze parabool met de beide coördinaatassen.

Op de $x$ -as geldt $y = - 0,5 {(x - 10)}^{2} + 40 = 0$ en dus ${(x - 10)}^{2} = 80$ . Dit geeft $x = 10 + \sqrt{80} \lor x = 10 - \sqrt{80}$ . De snijpunten met de horizontale as zijn dus $(10 + \sqrt{80}; 0)$ en $(10 - \sqrt{80}; 0)$ .
Op de $y$ -as geldt $x = 0$ en dus $y = - 10$ zodat het snijpunt met de verticale as $(0, - 10)$ is.

Voor welke waarde van $a$ heeft de lijn precies één snijpunt met de parabool?

De lijn moet dan door de top $(10, 40)$ van de parabool gaan. Dat is zo als $a = 40$ .

Voor welke waarden van $a$ hebben de lijn en de parabool twee snijpunten?

De lijn moet dan lager liggen dan de top $(10, 40)$ van de parabool. Dat is zo als $a lt 40$ .

Voor welke waarden van $a$ hebben de lijn en de parabool geen snijpunten?

De lijn moet dan hoger liggen dan de top $(10, 40)$ van de parabool. Dat is zo als $a gt 40$ .

Verhittingstijd

Sommige levensmiddelen kunnen langer houdbaar worden gemaakt door ze te verhitten. Door verhitting zullen de meeste bacteriën in deze levensmiddelen afsterven. Hoe langer er wordt verhit, hoe meer bacteriën er afsterven.

Bij een verhittingstemperatuur van $78$ °C berekent men de verhittingstijd $V$ dan met de formule:

$V=0,7d+0,0089d^2$

Hierin is $V$ de verhittingstijd in minuten en $d$ de diameter van de worst in mm.

Bereken met de formule de verhittingstijd van een worst met een diameter van $4,5$ cm bij een verhittingstemperatuur van $78$ °C. Geef je antwoord in hele minuten.

$V = 0,7*45 + 0,0089*45^2 = 49,5225$ en dat is afgerond $50$ minuten

Een slager maakt worsten met verschillende diameters en kiest bij het pasteuriseren altijd voor een verhittingstemperatuur van $78$ °C. Hij wil het pasteurisatieproces niet langer dan $2,5$ uur laten duren.

Bereken met de formule welke diameter deze worsten maximaal mogen hebben. Geef je antwoord in hele mm.

Je moet oplossen: $0,7d+0,0089d^2 = 210$ .

Dat mag met behulp van GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.

Voer in: $y_1 = 0.7x+0,0089x^2$ en $y_2=210$ en bepaal het enige snijpunt met een positieve $x$ -waarde. Je vindt $x ~~119,24$ .

Deze worsten mogen maximaal een diameter van $119$ mm hebben.

Gegeven is de kwadratische functie $y = text(-)0,05(x - 6)^2 + 2$ .

Bepaal de maximale waarde van deze functie. Waarom is hier van een maximum sprake?

Maximum is $y=2$ bij $x=6$ .
Er is een maximum omdat de grafiek een bergparabool is.

Teken de grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ .

Maak eerst een geschikte tabel rond het punt $(6, 2)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de parabool die de grafiek van deze functie is met beide assen.

Met de $y$ -as: $(0; 0,2)$ .
Met de $x$ -as: $(6-sqrt(40); 0)$ en $(6+sqrt(40); 0)$ .

Met de $y$ -as: $x = 0$ invullen geeft $y=0,02$ , dus $(0; 0,2)$ .
Met de $x$ -as: $text(-)0,05(x - 6)^2 + 2 = 0$ geeft $(x-6)^2 = 40$ en dus $x = 6+-sqrt(40)$ . Je krijgt $(6+sqrt(40), 0)$ en $(6-sqrt(40), 0)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van deze functie met de lijn $y = 0,2$ .

$(0, 0)$ en $(12, 0)$ .

$text(-)0,05(x - 6)^2 + 2 = 0,2$ geeft $(x-6)^2 = 36$ en dus $x = 0 vv x = 12$ . Je krijgt $(0, 0)$ en $(12, 0)$ .