vlakke figuren kunnen indelen in soorten;

de verschillende soorten driehoeken en hun symmetrie-eigenschappen kunnen benoemen;

de verschillende soorten vierhoeken en hun symmetrie-eigenschappen kunnen benoemen.

vlakke figuren en hun eigenschappen;

hoeken berekenen met behulp van X-hoeken, Z-hoeken, F-hoeken, de hoekensom van een driehoek en een vierhoek;

lijn-, punt- en draaisymmetrie herkennen en benoemen.

Bij constructies zijn driehoeken heel belangrijk.
Iemand zegt:
Een driehoek is een figuur die bestaat uit drie punten die niet op één lijn liggen en hun verbindingslijnstukken.

Klopt deze uitspraak?

Hij lijkt prima in orde, maar in dit geval hoort het binnengebied er niet bij en kun je dus niet goed naar bijvoorbeeld de oppervlakte van een driehoek vragen.

Kun je de uitspraak nog verbeteren?

Bijvoorbeeld zo:
Een driehoek is een vlakdeel ingesloten door een figuur die bestaat uit drie punten die niet op één lijn liggen en hun verbindingslijnstukken.

Noem alle soorten bijzondere driehoeken en hun eigenschappen.

Gelijkbenige driehoek (twee gelijke zijden), gelijkzijdige driehoek (drie gelijke zijden), rechthoekige driehoek (één rechte hoek).

Hoe groot zijn de hoeken van een driehoek samen?

$180^@$

Waarom is de driehoek bij constructies zo belangrijk?

Als de drie lengtes van de zijden vast liggen, is de driehoek niet meer te vervormen.

Naast driehoeken zijn er ook vierhoeken (en vijfhoeken en zeshoeken en...).

Wat is precies een vierhoek?

Een driehoek is een vlakdeel ingesloten door een figuur die bestaat uit vier punten waarvan er geen drie op één lijn liggen en hun verbindingslijnstukken.

Noem alle soorten bijzondere vierhoeken en hun eigenschappen.

Rechthoek (vier rechte hoeken), vierkant (vier gelijke zijden én vier rechte hoeken), parallellogram (twee paar evenwijdige zijden), ruit (vier gelijke zijden), trapezium (één paar evenwijdige zijden), vlieger (twee paar gelijke zijden).

Hoe groot zijn de hoeken van een vierhoek samen? Weet je ook waarom?

$360^@$ , het zijn altijd twee driehoeken tegen elkaar.

Wat is het nadeel van een vierhoek in een constructie? Kun je een voorbeeld geven?

Vierhoeken kun je nog vervormen ook als de lengtes alle zijden vastliggen.

Een veelhoek is een figuur bestaande uit hoekpunten en lijnstukken die samen een deel van het vlak insluiten. Deze lijnstukken heten zijden.

Een driehoek is een veelhoek met drie hoekpunten en drie zijden. Hier zie je driehoek $A B C$ . Je schrijft ook wel: $Δ A B C$ .
De lengtes van de zijden en de groottes van de hoeken zijn gegeven. Ga nog eens na, dat de hoeken samen $180°$ zijn.
Bijzondere driehoeken zijn:

de rechthoekige driehoek met één rechte hoek;

de gelijkbenige driehoek met twee gelijke zijden;

de gelijkzijdige driehoek met alle drie de zijden gelijk.

Je kunt ze maken met de applet, bekijk hun eigenschappen.

Bekijk de vier driehoeken in Uitleg.

Welke twee gelijkbenige driehoeken zijn er? Welke gelijke benen hebben ze? En welke symmetrieassen?

$Delta ABC$ is gelijkbenig met benen $AC$ en $BC$ . Symmetrieas is de lijn door $C$ en loodrecht op $AB$ .
$Delta KLM$ is ook gelijkbenig. Welke zijden de gelijke benen zijn, hangt af van hoe je er naar kijkt. Bijvoorbeeld zijn $KM$ en $LM$ gelijke benen. Maar je kunt ook $KL$ en $KM$ nemen. En er is nog een mogelijkheid. Er zijn ook drie symmetrieassen. Elke symmetrieas gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de tegenover liggende zijde.

Hoeveel gelijke hoeken heeft een gelijkbenige driehoek in ieder geval? En hoeveel als hij ook gelijkzijdig is?

Altijd $2$ ; als hij gelijkzijdig is zelfs $3$ .

Hoeveel graden zijn de hoeken van een gelijkzijdige driehoek?

$60^@$

Hoeveel graden zijn de hoeken van een gelijkbenige driehoek als hij precies één hoek van $40^@$ heeft?

$180^@ - 40^@ = 140^@$ , dus de andere hoeken zijn elk $70^@$ .

Teken een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Hoe groot zijn de hoeken daarvan?

Je geodriehoek is er een mooi voorbeeld van.
De hoeken zijn $90^@$ , $45^@$ en nog eens $45^@$ .

Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van $4$ cm.

Teken eerst een lijnstuk $AB$ van $4$ cm. Teken vervolgens twee cirkels met lijnstuk $AB$ als straal. Bij de linker cirkel heeft de cirkel een afstand van $4$ cm tot punt $A$ . Bij de rechter cirkel heeft de cirkel een afstand van $4$ tot punt $B$ . Het snijpunt van deze cirkels ligt zowel op een afstand van $4$ ten opzichte van punt $A$ , als op een afstand van $4$ tot aan punt $B$ . Als je hier je punt $C$ legt, krijg je een driehoek met alleen maar zijden van $4$ cm.

Een vierhoek is een veelhoek met vier hoekpunten en vier zijden. Hier zie je vierhoek $A B C D$ . De lengtes van de zijden en de groottes van de hoeken zijn gegeven. Omdat elke vierhoek in twee driehoeken is te verdelen zijn de hoeken samen $360^@$ .

Bijzondere vierhoeken zijn:

de rechthoek met vier rechte hoeken;

de vierkant met vier rechte hoeken en vier gelijke zijden;

de vlieger met één symmetrieas;

de ruit met vier gelijke zijden;

het trapezium met één paar evenwijdige zijden;

het parallellogram met twee paren evenwijdige zijden.

Je kunt ze maken met de applet, bekijk hun eigenschappen.

Bekijk de vierhoeken in Uitleg.

Welke vierhoek heeft de meeste symmetrieassen?

Het vierkant, namelijk $4$ .

Elk parallellogram is ook een trapezium.
Klopt het omgekeerde Elk trapezium is ook een parallellogram. ook?

Het omgekeerde klopt niet: een trapezium hoeft geen parallellogram te zijn.

Elke ruit is ook een parallellogram.
Klopt deze uitspraak? En klopt het omgekeerde?

Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.

Bestaat er een rechthoekige ruit?

Ja, dat is een vierkant.

Hoeveel diagonalen heeft elke vierhoek?

$2$

Heeft een parallellogram symmetrieassen? Heeft een parallellogram een centrum van symmetrie?

Geen symmetrieassen. Het centrum van symmetrie is het snijpunt van de diagonalen.

Bekijk weer de vierhoeken in Uitleg.

Je weet nog wat F-hoeken, Z-hoeken en X-hoeken zijn.

Een ruit heeft een hoek van $30^@$ .
Hoe groot zijn de andere hoeken?

Met behulp van F-hoeken bij evenwijdige lijnen zie je dat de overige drie hoeken $30^@$ , $150^@$ en $150^@$ zijn.

Een parallellogram heeft een hoek van $30^@$ .
Hoe groot zijn de andere hoeken?

$30^@$ , $150^@$ en $150^@$ , gebruik weer F-hoeken.

Een trapezium heeft een hoek van $30^@$ .
Kun je de andere hoeken berekenen?

Alleen de hoek waarvan het éne been de andere evenwijdige zijde en het andere been gemeenschappelijk is.
Die hoek is $150^@$ .

Wat weet je van de diagonalen van een ruit? En van een vlieger?

De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar en delen elkaar doormidden.

De diagonalen van een vlieger staan loodrecht op elkaar en één ervan deelt de andere doormidden.

Gebruik de applet van de uitleg.

Maak elk van de zes genoemde soorten vierhoeken en bekijk de symmetrie-eigenschappen ervan. Maak een overzicht van de symmetrische eigenschappen per vierhoek.

Een rechthoek is lijnsymmetrisch met twee symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van $180^@$ .

Een vierkant is lijnsymmetrisch met vier symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van $90^@$ .

Een vlieger is lijnsymmetrisch met een symmetrie-as.

Een ruit is lijnsymmetrisch met twee symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van $180^@$ .

Een trapezium is niet altijd symmetrisch.

Een parallellogram is puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van $180^@$ .

Een veelhoek is een figuur bestaande uit hoekpunten en lijnstukken die samen een deel van het vlak insluiten. Deze lijnstukken heten zijden.

De lijnstukken tussen twee hoekpunten die geen zijde van de veelhoek zijn, heten diagonalen.

Een driehoek is een veelhoek met drie hoekpunten en drie zijden. De drie hoeken zijn samen $180^@$ . Er bestaan verschillende soorten driehoeken:

de rechthoekige driehoek met één rechte hoek;

de gelijkbenige driehoek met twee gelijke zijden;

de gelijkzijdige driehoek met alle drie de zijden gelijk.

Een vierhoek is een veelhoek met vier hoekpunten en vier zijden. De vier hoeken zijn samen $360^@$ . Er bestaan verschillende soorten vierhoeken:

de rechthoek met vier rechte hoeken;

de vierkant met vier rechte hoeken en vier gelijke zijden;

de vlieger met één symmetrieas;

de ruit met vier gelijke zijden;

het trapezium met één paar evenwijdige zijden;

het parallellogram met twee paren evenwijdige zijden.

In constructies die sterk moeten zijn, kom je vaak driehoeken tegen. Een driehoek is namelijk niet te vervormen. Daarom kan een betrekkelijk lichte bouwkraan toch zware lasten tillen.

Je kunt een driehoek construeren met passer en geodriehoek.

Bekijk de constructie van $Delta A B C$ met drie gegeven zijden:
$A B = 6$ , $B C = 4$ en $A C = 3$ .

Bekijk ook de constructie van $Delta A B C$ met twee gegeven zijden: $A B = 6$ , $A C = 4$ en $∠ B = 40$ °. Merk op dat er twee verschillende driehoeken mogelijk zijn.

Construeer de volgende driehoeken.

$Delta ABC$ : $/_ B$ is een rechte hoek, $AB=3$ en $BC=4$ .

$Delta ABC$ is een rechthoekige driehoek. Zijde $AC$ is $5$ cm.

$Delta ABC$ : $AB=5$ , $AC=5$ en $BC=5$ .

$Delta ABC$ is een gelijkzijdige driehoek. Meet de zijden in de figuur na.

$Delta ABC$ is een gelijkzijdige driehoek. Teken eerst de basiszijde. Zet je passer op $5$ cm. Construeer hiermee de tophoek. Trek vanaf de tophoek de zijden naar de basishoeken. Om de driehoek te controleren, meet je de zijden na.

Construeer de volgende driehoeken.

Teken twee gelijkbenige driehoeken $Δ ABC$ met $AB = 5$ cm en $∠ A = 30$ °.

$AB = 5$ cm, $angle B = angle A = 30$ ° en $/_ C = 120$ ° of $A_1 B_1 = 5$ cm, $A_1 C_1 = 5$ cm, $/_ B_1 = angle C_1 = 75$ °

Teken $Delta GHI$ met $GH = HI = 5$ cm en $angle G = 60$ °. Wat weet je van $angle H$ en $angle I$ ?

$Delta GHI$ is een gelijkzijdige driehoek. $angle H$ en $angle I$ zijn ook $60$ °.

Ook vierhoeken zijn met passer en liniaal te construeren.
Bedenk dat een vierhoek met vier gegeven zijden nog niet vast ligt, die kun je nog vervormen.

Bekijk hier de constructie van een vlieger $A B C D$ met: $A B = 4$ , $B C = 2$ en $/_B = 100^@$ .

Daarnaast zie je de constructie van een parallellogram $A B C D$ met: $A B = 4$ , $B C = 2$ en $/_B = 100^@$ .

Bekijk de constructie van een parallellogram en een vlieger in het voorbeeld.

Construeer een parallellogram $ABCD$ met $AB =3$ cm, $AD=4$ cm en $/_A=30^@$ .

Zie voor een voorbeeld de figuur.

Controleer of $AB = CD = 3$ cm en $BC = AD = 4$ cm. En of $/_A = 30^@$ .

Teken eerst zijde $AB$ en gebruik dan je passer en geodriehoek om punt $D$ te construeren. Daarna kan je de evenwijdigheid en gelijke lengte van de overstaande zijden gebruiken om het parallellogram verder te construeren.

Controleer of $AB = CD = 3$ cm en $BC = AD = 4$ cm. En of $/_A = 30$ °.

Construeer een vlieger $KLMN$ met $KL= 5$ cm, $LM=MN=3$ cm en $/_ NKL=60^@$ .

Zie voor een voorbeeld de figuur.

Controleer of $KL = NK = 5$ cm en $LM = MN = 3$ cm en of $/_ NKL=60^@$ .

Teken eerst lijn $KL = 5$ cm. Vervolgens kun je hoek $NKL$ van $60$ ° construeren. Je weet, omdat $KLMN$ een vlieger is, dat $KN$ ook $5$ cm is. Dus je kunt nu punt $N$ construeren. Vervolgens teken je met middelpunt $L$ en middelpunt $N$ een cirkel van $3$ cm. Punt $M$ is één van de snijpunten van deze twee cirkels. Let goed op welke je kiest, met de ene wordt je vlieger een pijlpuntvlieger en in het andere geval een gewone (zie figuur).

Je ziet twee driehoeken. $Delta ABC$ is een gelijkbenige driehoek met benen van $4$ cm en een tophoek van $38^@$ en voor $Delta PQR$ geldt dat $/_ P=20^@$ , $/_ Q=50^@$ en $PR=4$ cm.

Teken $Delta ABC$ en spiegel hem in lijnstuk $BC$ .
Bereken de hoeken van de figuur die nu ontstaat.

$angle A = 71^@$ , $angle B = 142^@$ , $angle C =76^@$ en $angle A' = 71^@$

Teken $Delta PQR$ en spiegel hem in lijnstuk $PQ$ . Geef de naam van de vierhoek die nu ontstaat en bereken de hoeken ervan.

Er ontstaat een vlieger met een hoek van $40^@$ , een hoek van $100^@$ en twee hoeken van $110^@$ .

Je ziet vier driehoeken. In de driehoeken is aangegeven welke lijnstukken gelijk zijn.

Bereken de hoeken van deze driehoeken.

Zijden $AB$ en $AC$ zijn even lang. $Δ ABC$ is dus een gelijkbenige driehoek. Tophoek $A$ is $90^@$ . Dan blijft voor $/_ B + /_ C$ ook nog $90^@$ over. $/_ B + /_ C$ zijn even groot dus allebei $1/2 · 90 = 45^@$ .

Zijden $DE$ , $DF$ en $EF$ zijn even lang. $Delta DEF$ is dus een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn alle hoeken ook even groot: $180 / 3 = 60^@$

Zijden $GI$ en $HI$ zijn even groot. $Delta GHI$ is dus een gelijkbenige driehoek. $/_ G$ en $/_ H$ zijn basishoeken en dus gelijk. $/_ H$ is dus ook $70^@$ . Dan blijft voor tophoek $/_ I$ nog $180 - (2 * 70) = 40^@$ over.

Zijden $KL$ en $LM$ zijn gelijk. $Delta KLM$ is dus een gelijkbenige driehoek. $/_ K$ en $/_ M$ zijn basishoeken en dus gelijk. $/_ K$ is dus ook $78^@$ . Dan blijft voor tophoek $/_ L$ nog $180 - (2 * 78) = 24^@$ over.

Zijden $DE$ , $DF$ en $EF$ zijn even lang. $Delta DEF$ is dus een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn alle hoeken ook even groot: $180 / 3 = 60^@$

$Delta ACE$ is verdeeld in meerdere driehoeken. In de figuur is aangegeven welke zijden even lang zijn.

Bereken de hoeken die zijn aangeduid met een cijfer.

$Delta ABD$ is een gelijkbenige driehoek. $angle B_3$ is dus even groot als $angle A$ : $15^@$ . $angle D_1$ is dan $180 - 2*15 = 150^@$ .

$Delta BDE$ is een gelijkbenige driehoek. $angle E_1$ is dus even groot als $angle D_2$ . Die is $180 - 150 = 30^@$ . Dus $angle E_1=30^@$ .

$Delta BCE$ is een gelijkbenige driehoek. $angle B_1 = 180 - angle B_3 - angle B_2$ . $angle B_2 = 180 - 2*30 = 120^@$ . Dus $angle B_1 = 180 - 15 - 120 = 45^@$ .
$angle E_2 = 180 - 2*45 = 90^@$

$Delta ABD$ is een gelijkbenige driehoek. $angle B_3$ is dus even groot als $angle A$ : $15^@$ . $angle D_1$ is dan $180 - 2*15 = 150^@$ .

$Delta BDE$ is een gelijkbenige driehoek. $angle E_1$ is dus even groot als $angle D_2$ . Die is $180 - 150 = 30^@$ . Dus $angle E_1=30^@$ .

$Delta BCE$ is een gelijkbenige driehoek. $angle B_1 = 180 - angle B_3 - angle B_2$ . $angle B_2 = 180 - 2*30 = 120^@$ . Dus $angle B_1 = 180 - 15 - 120 = 45^@$ .
$angle E_2 = 180 - 2*45 = 90^@$

Om een unieke driehoek te tekenen, heb je minstens drie gegevens nodig.

Teken twee gelijkbenige driehoeken $Δ ABC$ met $AB = 5$ cm en $∠ A = 30^@$ .

$AB = 5$ cm, $angle B = angle A = 30^@$ en $/_ C = 120^@$ of $A_1 B_1 = 5$ cm, $A_1 C_1 = 5$ cm, $/_ B_1 = angle C_1 = 75^@$

Teken twee rechthoekige driehoeken $Delta DEF$ met $DE = 5$ cm en $/_ D = 30^@$ .

Mogelijkheid 1: $angle E' = 90^@$ dus $angle F' = 60^@$ . Zijden $DE$ en $EF$ zijn de rechthoekszijden.

Mogelijkheid 2: $angle F = 90^@$ dus $angle E = 60^@$ . Zijden $EF$ en $DF$ zijn de rechthoekszijden.

Mogelijkheid 1: $angle E' = 90^@$ dus $angle F' = 60^@$ . Zijden $DE$ en $EF$ zijn de rechthoekszijden.

Mogelijkheid 2: $angle F = 90^@$ dus $angle E = 60^@$ . Zijden $EF$ en $DF$ zijn de rechthoekszijden.

Teken $Delta GHI$ met $GH = HI = 5$ cm en $angle G = 60^@$ . Wat weet je van $angle H$ en $angle I$ ?

$Delta GHI$ is een gelijkzijdige driehoek. $angle H$ en $angle I$ zijn ook $60^@$ .

Deze figuur is lijnsymmetrisch. Hij bestaat uit twee driehoeken.

Bereken de hoeken waar een vraagteken in staat.

$/_ E = /_ A = 35^@$
Kijk voor $/_ F$ naar $Delta AEF$ : $/_ F = 180 - 2 * 35 = 110^@$

Voor $/_ B$ zie je de rechte lijn in $Delta AEF$ en de hoek in $Delta BCD$ : $/_ B = 180 + (180 - 40 ) / 2 = 250^@$

$/_ E = /_ A = 35^@$
Kijk voor $/_ F$ naar $Delta AEF$ : $/_ F = 180 - 2 * 35 = 110^@$

Voor $/_ B$ zie je de rechte lijn in $Delta AEF$ en de hoek in $Delta BCD$ : $/_ B = 180 + (180 - 40 ) / 2 = 250^@$

Je ziet hoe je een rechthoek van metalen strips kunt vervormen.

Hoe heet de rechter figuur?

een parallellogram

Je kunt het vervormen van de rechthoek voorkomen door één strip toe te voegen. Licht toe hoe die strip moet worden geplaatst.

Een strip die diagonaal wordt geplaatst. Je krijgt dan een driehoek met drie gegeven lengtes en die kan niet worden vervormd. Een driehoek is een starre figuur.

Als je de rechthoek zo vervormt dat de hoek met de stip $58^@$ is, hoe groot zijn dan de andere hoeken van de figuur die zo ontstaat?

Twee hoeken van $122^@$ en nog een hoek van $58^@$ .

De figuur zal altijd twee paar gelijke hoeken hebben. Dus de overliggende hoek is ook $58^@$ . Dan blijft voor de andere hoeken $(360 - 2*58)/2 = 122^@$ over.

Je ziet een assenstelsel met de punten $A(text(-)1, text(-)3 )$ , $B(4, text(-)3 )$ en $C(5, 3 )$ .

$A$ , $B$ en $C$ zijn hoekpunten van parallellogram $ABCD$ . Geef de coördinaten van punt $D$ .

$D(0, 3 )$

Trek een lijn vanuit $A$ evenwijdig aan de lijn $BC$ . Trek een lijn vanuit $C$ evenwijdig aan de lijn $AB$ . Op het snijpunt van die lijnen ligt $D$ . Dat geeft $D(0, 3)$ .

$A$ , $B$ en $C$ zijn hoekpunten van vlieger $ABCE$ . Geef de coördinaten van punt $E$ .

$E(text(-)1, 2 )$

Trek lijn $AC$ . Dit is de symmetrie-as van vlieger $ABCE$ . Trek vanuit $B$ een lijn loodrecht op $AC$ . $E$ ligt op die lijn, op gelijke afstand als $B$ van lijn $AC$ . Dat geeft $E(text(-)1, 2 )$ .

Welke andere bijzondere vierhoeken $ABCP$ kun je met deze punten maken? Licht je antwoord toe.

Je kunt op verschillende manieren een trapezium maken, bijvoorbeeld door $P(text(-)2, 3 )$ te kiezen. En er zijn nog wel meer punten $P$ mogelijk. Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.

De punten $P$ van het trapezium moeten aan een voorwaarde voldoen. De lijn $AP$ moet evenwijdig zijn aan de lijn $BC$ . Of de lijn $CP$ moet evenwijdig zijn aan $AB$ . Anders heb je niet één paar evenwijdige zijden. Dit kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld door $P(text(-)2, 3 )$ te kiezen. En er zijn nog wel meer punten $P$ mogelijk. Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.

Probeer de volgende vierhoeken te construeren, of leg uit waarom dit niet lukt.

Vlieger $ABCD$ met $AB=2$ cm en $BC=AC=3$ cm.

Begin met $Delta ABC$ en spiegel dan punt $B$ in lijn $AC$ om punt $D$ te krijgen.

Begin met $Delta ABC$ en spiegel dan punt $B$ in lijn $AC$ om punt $D$ te krijgen. $Delta ABC$ is een gelijkbenige driehoek. $Delta ACD$ is dezelfde gelijkbenige driehoek.

Parallellogram $EFGH$ met $EF=5$ cm, $EH=3$ cm en $∠F=40^@$ .

Bereken eerst $/_E=140^@$ . Nu kun je de figuur gemakkelijk afmaken.

$EF=GH$ en $FG=EH$ . $angle F = angle H$ en $angle E = angle G$ .

Ruit $KLMN$ met $KL=3$ cm en $∠M=40^@$ .

Bedenk dat ook $/_K=40^@$ en dat alle zijden $3$ cm zijn. Nu kun je de figuur gemakkelijk afmaken.

Bedenk dat ook $/_K=40^@$ en dat alle zijden 3 cm zijn. Nu kun je de figuur gemakkelijk afmaken.

Alle zijden zijn 3 cm. $angle K = angle M = 40^@$ en $angle L = angle N = 140^@$ .

Als je vijf gelijke ruiten tegen elkaar legt met alle vijf precies één punt gemeenschappelijk, dan krijg je de rode ster hiernaast.

Deze ster heeft tien hoeken. Hoe groot zijn die hoeken?

$72^@$ en $216^@$

De hoeken in de punten zijn even groot als de hoeken rond het centrum: $360/5 = 72^@$
De hoeken tussen de punten zijn twee overige hoeken van de ruit aan elkaar geplakt. Dat is $2* (360-2*72)/2 = 216^@$ .

Je kunt op dezelfde manier (met smallere ruiten) een achtpuntige ster maken. Hoe groot zijn daar de hoeken van?

$45^@$ en $270^@$

Bij een achtpuntige ster zijn de hoeken van de punten weer gelijk aan de hoeken rond het centrum: $360/8 = 45^@$ . De hoeken tussen de punten zijn dan weer twee overige hoeken van de ruit aan elkaar geplakt. Dat is $2* (360-2*45)/2 = 270^@$ .

En zo maak je ook een honderdpuntige ster. Hoe groot zijn daar de hoeken van?

$3,6^@$ en $352,8^@$

Bij een honderdpuntige ster zijn de hoeken rond het centrum $360/100 = 3,6^@$ . De overige hoeken zijn dan $2*(360-2*3,6)/2 = 352,8^@$ .

En nu een $n$ -puntige ster, die dus uit $n$ ruiten bestaat. Hoe groot zijn nu de hoeken?

$(360/n)^@$ en $(360 -2 *360/n)^@$

De hoeken in de punten zijn gelijk aan de hoeken in het centrum: $(360/n)^@$ . De hoeken tussen de punten zijn twee overige hoeken van de ruit aan elkaar geplakt: $(2* (360-2*(360/n))/2)^@$ . Dat is eenvoudiger te schrijven als $(360 - 2*(360/n))^@$ omdat vermenigvuldigen met $2$ en delen door $2$ elkaar opheffen.

Er bestaan natuurlijk ook vijfhoeken, zeshoeken, zevenhoeken, etc.
Als alle zijden ervan gelijk zijn, heten ze regelmatig.

Je ziet hier een regelmatige zevenhoek met zijden van $2$ cm. Alle hoeken en alle zijden zijn gelijk. Om zo'n figuur te kunnen tekenen verdeel je hem vanuit één hoekpunt in driehoeken. Omdat hij uit vijf driehoeken bestaat is zijn totale hoekensom $5*180^@ = 900^@$ . Elke hoek is dan $900/7 ~~ 128,6^@$ .
Nu kun je de regelmatige zevenhoek tekenen. Je weet immers alle hoeken en alle zijden, dus de figuur ligt vast.

In de Uitleg wordt verteld hoe je een regelmatige zevenhoek kunt tekenen.

Teken een regelmatige zevenhoek met zijden van $2$ cm.

Bekijk in de Uitleg hoe je dat kunt doen.

Geldt de hoekensom van $900^@$ ook voor niet-regelmatige zevenhoeken? Licht je antwoord toe.

Ja, ook die kun je in vijf driehoeken verdelen.

Als van een driehoek de drie zijden gelijk zijn, dan geldt dit ook voor de hoeken.

Als van een zevenhoek alle zijden gelijk zijn, geldt dit dan automatisch ook voor de hoeken?

Nee, dat hoeft niet. Je kunt heel goed een zevenhoek met alle zijden gelijk aan $2$ cm tekenen, zonder dat alle hoeken gelijk zijn.

Op dezelfde manier als in de vorige opgave kun je alle regelmatige veelhoeken tekenen.

Teken een regelmatige zeshoek $A B C D E F$ waarvan alle zijden $4$ cm zijn.

Je kunt hem in vier driehoeken verdelen, dus de hoekensom is $4*180^@ = 720^@$ , zodat elke hoek $120^@$ is. Nu kun je hem tekenen.

Hoeveel gegevens heb je nodig om een niet-regelmatige zeshoek te construeren?

Als je de lengtes van alle zijden en vier van de hoeken weet, zit je altijd goed.

Probeer de volgende driehoeken te construeren. Als dat niet lukt, leg je uit waarom niet.

$Δ D E F$ met $D E = 5$ cm, $E F = 3$ cm en $D F = 1$ cm.

Dit lukt niet omdat $1 + 3 lt 5$ .

Dit lukt niet omdat $1 + 3 lt 5$ . De twee kortste zijden moeten samen minstens zo groot zijn als de langste zijde. Anders kun je de driehoek niet sluitend maken.

$Δ K L M$ met $K L = 3$ cm en twee hoeken van $40$ °.

Er zijn twee driehoeken mogelijk.

Je ziet drie vierhoeken. In de vierhoeken is aangegeven welke lijnstukken gelijk of evenwijdig zijn.

Geef elke vierhoek de juiste naam en bereken alle hoeken die niet zijn gegeven.

Vierhoek 1: ruit, de andere hoeken zijn $110^@$ , $70^@$ en $70^@$ .

Vierhoek 2: parallellogram, de andere hoeken zijn $95^@$ , $85^@$ en $85^@$ .

Vierhoek 3: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn $230^@$ , $45^@$ en $45^@$ .

Vierhoek 1: ruit, de andere hoeken zijn $110^@$ (overstaande hoeken zijn even groot), $70^@$ en $70^@$ (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is $360^@$ ).

Vierhoek 2: parallellogram, de andere hoeken zijn $95^@$ (overstaande hoeken zijn even groot), $85^@$ en $85^@$ (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is $360^@$ ).

Vierhoek 3: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn $230^@$ , $45^@$ en $45^@$ (trek een hulplijn over de symmetrieas. Dan zie je dat er twee driehoeken ontstaan met bekende hoeken van $20^@$ en $115^@$ . De onbekende hoek is dan $180 - 115 - 20 = 45^@$ ).