het binaire stelsel gebruiken;

binaire getallen omrekenen naar decimale getallen en omgekeerd;

binaire getallen optellen en vermenigvuldigen.

het begrip decimaal getal en rekenen met decimale getallen;

werken met machten van $2$ en van $10$ .

decimaal getal	binair getal
$0$	$0$
$1$	$1$
$2$	$10$
$3$	$11$

Binaire getallen kennen maar twee cijfers: $0$ en $1$ .
Hier zie je de eerste binaire getallen.

Wat stelt het binaire getal $100$ dan voor?

Dat moet dan het decimale ("gewone") getal $4$ zijn.

Hoe zou je het gewone (dus decimale) getal $5$ weergeven als binair getal?

Als $101$ .

Het decimale stelsel is gebaseerd op het getal $10$ : $123 = 1*10^2 + 2*10 + 3*10^0$ .

Op welk getal is het binaire stelsel gebaseerd?

Op het getal $2$ .

Welk decimale getal is het binaire getal $11010$ dus?

$11010 = 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 27$ .

Wat is het nut van dergelijke binaire getallen, denk je?

Ze zijn nuttig in computers waarbij getallen worden weergegeven door elektronische schakelingen die alleen "aan" of "uit" kunnen staan.

Stel je voor dat je alleen de twee cijfers $0$ en $1$ kunt gebruiken (zoals dat voor machines zoals computers het geval is). Je zegt dan dat je werkt in het binaire stelsel, met binaire getallen. Hoe zien nu de gewone (decimale) getallen waarmee je rekent (to compute is Engels voor rekenen) er binair uit?

Je begint natuurlijk systematisch:

$0 := 0$

$1 := 1$

$2 := 10$

$3 := 11$

$4 := 100$

$5 := 101$

$6 := 110$

$7 := 111$

$8 := 1000$

Binaire getallen bestaan uit machten van $2$ , net zoals decimale getallen uit machten van $10$ . Zo is:

$7 = 2^2 + 2 + 1 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 := 111$

en:

$13 = 2^3 + 2^2 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 := 1100$

Om snel te bepalen wat bijvoorbeeld $237$ als binair getal wordt ga je gewoon steeds de rest ( $0$ of $1$ ) opschrijven bij delen door $2$ . Je ziet dat hiernaast.

En inderdaad:

$11101101 := 1*2^7 + 1*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 237$

Je schrijft dan: $11101101_2 = 237_10$ .

Ofwel $11101101$ binair is gelijk $237$ decimaal.

Schrijf de volgende binaire getallen als decimale getallen.

$11101$

$11101 = 1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 28$ .

$100001$

$100001 = 1*2^5 + 1*2^0 = 33$ .

$101010$

$101010 = 1*2^5 + 1*2^3 + 0*2^1 = 42$ .

$10010010$

$10010010 = 1*2^7 + 1*2^4 + 1*2^1 = 146$ .

In de Uitleg zie je hoe je van een decimaal getal een binair getal maakt.

Schrijf de volgende decimale getallen als binaire getallen en controleer je antwoord.

$112$

Gebruik de methode van delen door $2$ en rest opschrijven.

$112_(10) = 1110000_2$

$1110000_2 = 1*2^6 + 1*2^5 + 1*2^4 = 112_(10)$ .

$1075$

$1075_(10) = 10000110011_2$

$10000110011_2 = 1*2^10 + 1*2^5 + 1*2^4 + 1*2^1 + 1*2^0 = 1075_(10)$ .

$2000$

$2000_(10) = 11111010000_2$

$11111010000_2 = 1*2^10 + 1*2^9 + 1*2^8 + 1*2^7 + 1*2^6 + 1*2^4 = 112_(10)$ .

$12345$

$12345_(10) = 11000000111001_2$

$11000000111001_2 = 1*2^13 + 1*2^12 + 1*2^5 + 1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^0 = 12345_(10)$ .

In het binaire stelsel noteer je getallen alleen met de symbolen $0$ en $1$ . Je spreekt van bits. Het binaire getal $1011011$ bijvoorbeeld komt overeen met

$1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0$

Dus: $1011011_2 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91_(10)$

Het omrekenen van een decimaal getal naar een binair getal doe je door steeds door $2$ te delen en de rest (altijd $0$ of $1$ ) op te schrijven.

Het rekenen met binaire getallen gaat op vergelijkbare wijze als in het decimale stelsel. Voor optellen en vermenigvuldigen gebruik je:

$0 + 0 = 0$ , $0 + 1 = 1$ , $1 + 0 = 1$ en $1 + 1 = 10$ ;

$0 * 0 = 0$ , $0 * 1 = 0$ , $1 * 0 = 1$ en $1 * 1 = 1$ .

Bekijk de voorbeelden om te zien hoe dit je dit gebruikt.

Neem de binaire getallen $11101$ en $101110$ .

Tel beide getallen binair bij elkaar op.

Controleer je antwoord door beide getallen eerst te vertalen naar decimale getallen.

De binaire optelling zie je hiernaast.
Uitkomst: $11101_2 + 101110_2 = 1001011_2$

Controle: $11101_2 = 29_(10)$ en $101110_2 = 46_(10)$ .
$29_(10) + 46_(10) = 75_(10)$ .
En tenslotte $1001011_2 = 75_(10)$ .

In het Voorbeeld zie je hoe je twee binaire getallen optelt.

Voer deze optelling zelf uit.

Bekijk in het voorbeeld hoe dit gaat. Let op het onthouden van énen.

Voer ook de controle zelf uit. Laat zien, hoe het omrekenen van binair naar decimaal in zijn werk gaat.

$11101_2 = 1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^0 = 29_(10)$
$101110_2 = 1*2^5 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 = 46_(10)$
En de uitkomst $1001011_2 = 1*2^6 + 1*2^3 + 1*2^1 + 1*2^0 = 75_(10)$ .

Voer de volgende optellingen binair uit. En controleer ze met een decimale optelling.

$1001_2 + 10101_2$

$1001_2 + 10101_2 = 11110_2$
Controle: $9_(10) + 21_(10) = 30_(10)$ .

$11101010_2 + 1001101_2$

$11101010_2 + 1001101_2 = 100110111_2$
Controle: $234_(10) + 77_(10) = 311_(10)$ .

Je wilt $211 + 43$ door een computer laten uitrekenen. De computer kan alleen binair rekenen.

Laat zien, hoe dan de optelling gaat.

$211_(10) = 11010011_2$ en $43_(10) = 101011_2$ .
$11010011_2 + 101011_2 = 11111110_2$ (en $11111110_2 = 254_(10)$ ).

Neem de binaire getallen $101$ en $1010$ .

Vermenigvuldig beide getallen binair.

Controleer je antwoord door beide getallen eerst te vertalen naar decimale getallen.

De binaire vermenigvuldiging zie je hiernaast.
Uitkomst: $1010_2 + 101_2 = 110010_2$

Controle: $1010_2 = 10_(10)$ en $101_2 = 5_(10)$ .
$10_(10) xx 5_(10) = 50_(10)$ .
En tenslotte $110010_2 = 50_(10)$ .

In het Voorbeeld zie je hoe je twee binaire getallen vermenigvuldigt.

Voer deze vermenigvuldiging zelf uit.

Bekijk in het voorbeeld hoe dit gaat. Let op het opschuiven van de uitkomsten.

Voer ook de controle zelf uit. Laat zien, hoe het omrekenen van binair naar decimaal in zijn werk gaat.

$1010_2 = 1*2^3 + 1*2^2 = 10_(10)$
$101_2 = 1*2^2 + 1*2^1 = 5_(10)$
En de uitkomst $110010_2 = 1*2^5 + 1*2^4 + 1*2^1 + 1*2^1 = 50_(10)$ .

Voer de volgende vermenigvuldigingen binair uit. En controleer ze met een decimale vermenigvuldiging.

$10101_2 * 1001_2$

$10101_2 * 1001_2 = 10111101_2$
Controle: $21_(10) * 9_(10) = 189_(10)$ .

$1111_2 * 11101_2$

$1111_2 * 11101_2 = 110110011_2$
Controle: $15_(10) * 29_(10) = 435_(10)$ .

Je wilt $211 * 43$ door een computer laten uitrekenen. De computer kan alleen binair rekenen.

Laat zien, hoe dan de optelling gaat.

$211_(10) = 11010011_2$ en $43_(10) = 101011_2$ .
$11010011_2 * 101011_2 = 10001101110001_2$ (en $10001101110001_2 = 9073_(10)$ ).

Gegeven zijn de binaire getallen $a = 11001101$ en $b = 111010$ .

Bereken $a + b$ .

$a + b = 100000111$

Controleer je antwoord door de getallen om te rekenen naar decimale getallen.

$a = 11001101_2 = 205_(10)$ en $b = 111010_2 = 58_(10)$ .
En $205_(10) + 58_(10) = 263_(10) = 100000111_2$ .

Bereken $a * b$ .

$a*b = 10111001110010$

Controleer je antwoord bij c door de getallen om te rekenen naar decimale getallen.

$a = 11001101_2 = 205_(10)$ en $b = 111010_2 = 58_(10)$ .
En $205_(10) + 58_(10) = 11890_(10) = 10111001110010_2$ .

Gegeven de getallen $1053$ en $317$ .

Zet deze getallen om naar het binaire stelsel.

$1053_(10) = 10000011101_2$ en $317_(10) = 11011001_2$ .

Tel beide op als binaire getallen. Controleer je antwoord in het decimale stelsel.

$10000011101 + 11011001 = 10101011010$ .
Ga na dat $10101011010_2 = 1053_(10) + 317_(10) = 1370_(10)$ .

Vermenigvuldig beide als binaire getallen. Controleer je antwoord in het decimale stelsel.

$10000011101 * 11011001 = 1000001011111101$ .
Ga na dat $1000001011111101_2 = 1053_(10) * 317_(10) = 333810_(10)$ .

Bereken en geef het antwoord als binair getal.

$1010_2 + 13_(10)$

$1010_2 + 13_(10) = 10_(10) + 13_(10) = 23_(10) = 10111_2$

$1010_2 + 1010_(10)$

$1010_2 + 1010_(10) = 10_(10) + 1010_(10) = 1020_(10) = 1111111100_2$

$113_(10) * 1010_2$

$113_(10) * 1010_2 = 113_(10) * 10_(10) = 1130_(10) = 10001101010_2$

$31_(10) * 11010_2$

$31_(10) * 11010_2 = 31_(10) * 26_(10) = 806_(10) = 1100100110_2$

Je kunt binaire getallen natuurlijk ook van elkaar aftrekken. Dat werkt net zo als in het decimale stelsel, soms moet je lenen.

Bereken $11010_2 - 101_2$ en controleer je antwoord met het decimale stelsel.

$11010_2 - 101_2 = 10101_2$
Controle: $26_(10) - 5_(10) = 21_(10) = 10101_2$ .

Bereken $11010_2 - 111_2$ en controleer je antwoord met het decimale stelsel.

$11010_2 - 111_2 = 10011_2$
Controle: $26_(10) - 7_(10) = 19_(10) = 10011_2$ .

Welk probleem doet zich voor als je $101_2 - 11010_2$ wilt uitrekenen?

Dit kun je niet zomaar uitrekenen, want je kunt nog niet met negatieve getallen omgaan in het binaire stelsel. Dat komt in het volgende onderdeel aan de orde.

Er bestaan ook in het binaire stelsel getallen met cijfers achter de komma.
Eigenlijk werkt dat net als met gewone gehele getallen, maar nu zijn de exponenten van de machten van $2$ negatief.

Bijvoorbeeld: $0,1101_2 = 0*2^0 + 1*2^(text(-)1) + 1*2^(text(-)2) + 0*2^(text(-)3) + 1*2^(text(-)4)$ .
En dit wordt: $0,1101_2 = 0_(10) + 0,5_(10) + 0,25_(10) + 0_(10) + 0,0625_(10) = 0,8125_(10)$ .

Het omrekenen van een decimaal getal met een komma erin naar een binair getal gaat voor de uitdrukking achter de komma nu niet door delen door $2$ , maar vermenigvuldigen met $2$ . In de figuur zie je hoe dat gaat.

Bekijk hoe je getallen met een komma erin kunt omzetten naar binaire getallen en omgekeerd.
Reken deze binaire kommagetallen om naar decimale getallen.

$0,101$

$0,101_2 = 0*2^0 + 1*2^(text(-)1) + 0*2^(text(-)2) + 1*2^(text(-)3) = 0,625_(10)$

$11,1101$

$11,1101_2 = 1*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(text(-)1) + 1*2^(text(-)2) + 0*2^(text(-)3) + 1*2^(text(-)4)= 3,8125_(10)$

$101101,101$

$101101,101_2 = 1*2^5 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^0 + 1*2^(text(-)1) + 1*2^(text(-)3) = 45,625_(10)$

Omgekeerd kun je ook decimale getallen met een komma omzetten naar binaire getallen.
Doe dit met de volgende getallen:

$0,625$

Gebruik de manier van verdubbelen die je in Toepassen ziet.

$0,625_(10) = 0,101_2$

$8,125$

Behandel de uitdrukkingen voor de komma zoals je dat bij gehele getallen steeds hebt gedaan. En gebruik voor de uitdrukking achter de komma de manier van verdubbelen die je in Toepassen ziet.

$8,125_(10) = 1000,001_2$

Welk probleem doet zich voor als je bijvoorbeeld $0,1_(10)$ wilt omrekenen naar een binair getal?

Er gaat een herhaling ontstaan: $0,1_(10) = 0,00011000110001100011..._2$ .

En nu ga je rekenen met binaire getallen met en zonder komma erin.
Voer de volgende berekeningen uit en controleer het antwoord met behulp van het decimale stelsel.

$0,101 + 11,1101$

$0,101 + 11,1101 = 100,0111$

Controle: $0,101_2 + 11,1101_2 = 0,625_(10) + 3,8125_(10) = 4,4375_(10) = 100,0111_2$ .

$0,101 * 11,1101$

$0,101 * 11,1101 = 10,0110001$

Controle: $0,101_2 * 11,1101_2 = 0,625_(10) * 3,8125_(10) = 2,3828125_(10) = 10,0110001_2$ .

$11,1101 - 0,101$

$11,1101 - 0,101 = 11,0011$

Controle: $11,1101_2 - 0,101_2 = 3,8125_(10)- 0,625_(10) = 3,1875_(10) = 11,0011_2$ .

Gegeven zijn de binaire getallen $a = 110101$ en $b = 11101$ .

Bereken $a + b$ en controleer je antwoord in het decimale stelsel.

$a + b = 1010010$

$a = 110101_2 = 53_(10)$ en $b = 11101_2 = 29$ .
$a+b = 53_(10) + 29_(10) = 82_(10) = 1010010_2$ .

Bereken $a * b$ .

$a * b = 111000000001$

$a = 110101_2 = 53_(10)$ en $b = 11101_2 = 29$ .
$a*b = 53_(10) * 29_(10) = 1537_(10) = 111000000001_2$ .

Gegeven de decimale getallen $153$ en $67$ .

Zet deze getallen om naar het binaire stelsel.

$153_(10) = 10011001_2$ en $67_(10) = 1000011_2$ .

Tel beide op als binaire getallen. Controleer je antwoord in het decimale stelsel.

$10011001 + 1000011 = 11011100$ .
Ga na dat $11011100_2 = 153_(10) + 67_(10) = 220_(10)$ .

Vermenigvuldig beide als binaire getallen. Controleer je antwoord in het decimale stelsel.

$10011001 * 1000011 = 10100000001011$ .
Ga na dat $10100000001011_2 = 153_(10) * 67_(10) = 10251_(10)$ .