werken met logaritmische functies;

vergelijkingen met logaritmen oplossen met behulp van exponenten.

werken met exponentiële functies, ook met GeoGebra of een grafische rekenmachine;

werken met logaritmen en enkele eigenschappen ervan;

exponentiële vergelijkingen oplossen met behulp van logaritmen.

Een logaritmische functie heeft een formule zoals $y=log(x)$ .

Het grondtal van deze logaritme is $10$ , dus je kunt deze grafiek vergelijken met die van $y=10^x$ .

Maak de grafiek van deze functies in één figuur.

Zie de figuur.

Je ziet dat beide grafieken erg op elkaar lijken, ze zijn elkaars spiegelbeeld.
In welke lijn moet je dan spiegelen?

De lijn $y=x$ .

Welke asymptoten hebben de beide grafieken?

De grafiek van $y=log(x)$ heeft de $y$ -as als asymptoot.

De grafiek van $y=10^x$ heeft de $x$ -as als asymptoot.

Laat met een paar getallenvoorbeelden zien, dat $log(10^x)=x$ en dat $10^(log(x)) = x$ .

Neem b.v. $x=3$ : $log(10^3) = log(1000) = 3$ en $10^(log(3))=10^(0,477...)=3$ .

Je ziet hier de grafieken van $y=log(x)$ en $y=10^x$ .
Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y=x$ .

$y=log(x)$ is een logaritmische functie met:

nulpunt bij $x=1$ ;

een stijgende grafiek;

verticale asymptoot $x=0$ .

Je kunt er alleen positieve $x$ -waarden invullen.

Je ziet dat de eigenschappen $y = log(x)$ het spiegelbeeld zijn van die van $y=10^x$ .
Ze zijn elkaars terugrekenfunctie: $log(10^x)=x$ en $10^(log(x))=x$ .

Voor logaritmische functies met andere grondtallen geldt $y=\ ^glog(x) = (log(x))/(log(g))$ .
Ze hebben daarom dezelfde eigenschappen als $y=log(x)$ .

Bekijk de grafieken van $y_1 =10^x$ en $y_2 =log(x)$ .

Het punt $(10, 1)$ ligt op de grafiek van $y_2$ . Welk punt op de grafiek van $y_1$ is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn $y=x$ ?

$(1, 10)$

Noem nog twee punten op de grafiek van $y_2$ en geef voor beide punten het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van $y_1$ .

Bijvoorbeeld: $(0, 1)$ en $(1, 0)$ of $(2, 100)$ en $(100, 2)$

Laat met een voorbeeld zien dat $y_1$ en $y_2$ elkaars terugrekenfunctie zijn.

Voor bijvoorbeeld $3$ in $y_1$ in en je krijgt $10^3 = 1000$ .
Voer deze $1000$ in $y_2$ in en je krijgt $log(1000) = 3$ .

Los op $log(x) le 3$ .
Houd rekening met de $x$ -waarden die je in een logaritme mag invullen.

Als je in $log(x) = 3$ beide zijden een exponentiële functie met grondtal $10$ toepast, krijg je $x = 10^3$ omdat deze functie aan de linkerkant de logaritme wegwerkt. Dus de oplossing van $log(x)=3$ is $x=10^3=1000$ .

In de grafiek zie je nu dat $log(x) le 3$ als oplossing heeft $0 lt x le 1000$ .

Bekijk de grafieken van $y_1 =2^x$ en $y_2 =\ ^2log(x)$ .

Maak beide grafieken.

Voer in een grafische rekenmachine in: $y_1=2^x$ en $y_2=(log(x))/(log(2))$ of $y_2 = log_2(x)$ .

Voer in GeoGebra in: $y_1=2^x$ en $y_2=log(2,x)$ .

Venster bijvoorbeeld: $text(-)5 le x le 10$ en $text(-)5 le y le 10$ .

Het punt $(4, 2)$ ligt op de grafiek van $y_2$ . Welk punt op de grafiek van $y_1$ is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn $y=x$ ?

$(2, 4)$

Noem nog twee punten op de grafiek van $y_2$ en geef voor beide punten het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van $y_1$ .

Bijvoorbeeld: $(0, 1)$ en $(1, 0)$ of $(1, 2)$ en $(2, 1)$

Los op $\ ^2log(x) le 3$ .

$\ ^2log(x) = 3$ geeft $x = 2^3 = 8$ .

Grafiek: $0 lt x le 8$ .

Laat zien, dat $y = \ ^2log(x) ~~ 3,32*log(x)$ .

$y=\ ^2log(x) = (log(x))/(log(2)) = 1/(log(2))*log(x) ~~ 3,32*log(x)$ .

Plot de grafieken van $y_1 = (1/2) ^x$ en $y_2 =\ ^ (1/2) log(x)$ .
De eigenschappen van $y_2$ kun je afleiden uit die van $y_1$ .

Welke asymptoot heeft de grafiek van $y_2$ ?

De verticale asymptoot is $x=0$ .

Voor welke waarde van $x$ is $y_2 =2$ ?

$\ ^ (1/2) log(x)$

$=$

$2$

$x$

$=$

$(1/2) ^2=1/4$

Dus voor $x=0,25$ .

Los op $\ ^(1/2)log(x) le 3$ .

$\ ^(1/2)log(x) = 3$ geeft $x = (1/2)^3 = 0,125$ .

Grafiek: $x ge 0,125$ .

Laat zien, dat $y = \ ^(1/2)log(x) ~~ text(-)3,32*log(x)$ .

$y=\ ^(1/2)log(x) = (log(x))/(log(1/2)) = 1/(log(1/2))*log(x) ~~ text(-)3,32*log(x)$ .

Een functie van de vorm $y=\ ^(g)log(x)$ heet een logaritmische functie.

$g$ is het grondtal. Er moet gelden: $g gt 0$ en $g≠1$

De grafieken van de functies $y=g^x$ en $y=\ ^(g)log(x)$ zijn elkaars terugrekenfunctie en elkaars spiegelbeeld in de lijn $y=x$ .
De karakteristieken van $y=\ ^(g)log(x)$ zijn af te leiden uit die van $y=g^x$ :

alleen $x$ -waarden boven $0$ zijn toegestaan;

als $g gt 1$ is de grafiek stijgend, als $0 lt g lt 1$ dalend

de $y$ -as is de verticale asymptoot van de grafiek

Alle functies die door transformatie uit $y=\ ^(g)log(x)$ kunnen ontstaan, heten logaritmische functies.

Gegeven is de logaritmische functie $y = 2,5*log(x) + 5$ .

Maak de grafiek van deze functie en los op $y le 10$ .

De grafiek zie je hier.

$2,5*log(x) + 5 = 10$ los je zo op:

$2,5*log(x) + 5$

$=$

$10$

beide zijden $-5$

$2,5*log(x)$

$=$

$5$

beide zijden delen door $2,5$

$log(x)$

$=$

$2$

beide zijden exponentiële functie met grondtal $10$

$x$

$=$

$10^2 = 100$

In de grafiek zie je dat de oplossing van de ongelijkheid is $0 lt x le 100$ .

Bekijk in Voorbeeld gegeven functie.

Welke asymptoot heeft deze functie?
Welke waarden van $x$ mag je er invullen?

Verticale asymptoot $x=0$ .

Je mag alleen $x$ -waarden invullen met $x gt 0$ .

Voor welke waarden van $x$ is $y le 0$ ?

$2,5*log(x) + 5 = 0$ los je zo op:

$2,5*log(x) + 5$

$=$

$0$

beide zijden $-5$

$2,5*log(x)$

$=$

$text(-)5$

beide zijden delen door $2,5$

$log(x)$

$=$

$text(-)2$

beide zijden exponentiële functie met grondtal $10$

$x$

$=$

$10^(text(-)2) = 0,01$

In de grafiek zie je dat de oplossing van de ongelijkheid is $0 lt x le 0,01$ .

Gegeven is de functie $y = 3*\ ^2log(x) - 1$ .

Laat zien dat deze functie te schrijven is als $y ~~ 9,97*log(x) - 1$ .

$y = 3*\ ^2log(x) - 1 = 3*(log(x))/(log(2)) - 1 = 3/(log(2))*log(x) - 1 ~~ 9,97*log(x)-1$ .

Los op: $3*\ ^2log(x) - 1 le 4$ . Geef een benadering in twee decimalen.

$9,97*log(x) - 1 = 4$ geeft $log(x) ~~ 0,502$ en dus $x~~10^(0,5017)~~3,1748$ .

Grafiek: $0 lt x le 3,17$ .

In een luchtballon kun je de hoogte bepalen door de luchtdruk te meten met een barometer. In het gebied waar de ballon vliegt geldt bij een gegeven temperatuur op de grond:

$h = 57 - 19*log(p)$

Hierin is:

$p$ de luchtdruk in hectopascal

$h$ de hoogte in km boven zeeniveau

Er wordt een luchtdruk van ongeveer $920$ hPa gemeten.
Op welke hoogte zit de ballon dan?

Hoe groot is de luchtdruk als je hoger dan $1$ km zit?

$p=920$ invullen geeft $h = 57 - 19*log(920) ~~ 0,688$ km.

Als je hoger dan $1$ km zit, geldt: $57 - 19log(p) gt 1$ .
De bijbehorende vergelijking kun je oplossen: $p ~~ 886$ .
Dus de luchtdruk is dan lager dan $886$ hPa.

Bekijk de logaritmische functie in Voorbeeld.

Laat zien hoe je $57 - 19log(p) gt 1$ oplost.

Bijvoorbeeld zo:

$57 - 19log(p)$

$=$

$1$

$text(-)19log(p)$ $=$ $text(-)56$

$log(x)$ $=$ $56/19 ~~ 2,947$

$x$ $~~$ $10^(2,947) ~~ 886$

Hoeveel bedroeg de luchtdruk op de begane grond?

$h=0$ betekent $57 - 19log(p) = 0$ .

Dit los je net zo op als bij a:

$57 - 19log(p) = 0$ geeft $log(p) = 57/19 = 3$ en dus $p = 10^3 = 1000$ hPa.

Een andere formule voor het berekenen van de hoogte $h$ in km afhankelijk van de luchtdruk $p$ in hPa is:

$h = \ ^(0,886)log(p/1013)$

Laat zien dat je dit kunt schrijven als $h ~~ text(-)19*log(p/1013)$ .

$h = \ ^(0,886)log(p/1013) = (log(p/1013))/(log(0,886)) = 1/(log(0,886))*log(p/1013) ~~ text(-)19*log(p/1013)$ .

Hoeveel bedraagt de luchtdruk op de begane grond?

$text(-)19*log(p/1013) = 0$ geeft $log(p/1013) = 0$ en dus $p/1013 = 10^0 = 1$ .
Hieruit volgt $p=1013$ hPa.

Op welke hoogte wordt de luchtdruk in dit gebied lager dan $900$ hPa?

$h ge text(-)19*log(900/1013) ~~ 0,976$ km.

Een logaritmische functie is gegeven door $y = 2*log(x) - 2,5$ .

Maak de grafiek van deze functie.

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

Welke verticale asymptoot heeft de grafiek?

De $y$ -as.

Los op: $y le 0$ .

$2*log(x) - 2,5 = 0$ geeft $log(x) = (2,5)/2 = 1,25$ , dus $x=10^(1,25)~~17,78$ .

Grafiek: $0 lt x lt 17,8$ .

Gegeven is de formule $h = 32,8*\ ^(0,9)log(p/1050)$ .

Herleid deze formule tot een formule met een logaritme met het standaardgrondtal $10$ .

$h = 32,8*\ ^(0,9)log(p/1050) = 32,8 * (log(p/1050))/(log(0,9)) ~~ text(-)716,8*log(p/1050)$ .

Lichtgevoeligheid van fotografisch opnamemateriaal wordt uitgedrukt in een gevoeligheidsgetal. Het meest gebruikte systeem hiervoor is het ISO/ASA-systeem. Vroeger werd vaak een ander gevoeligheidsgetal gebruikt, de DIN-waarde. Het verband tussen ISO en DIN wordt gegeven door de formule:
$y=1 +a*log(x)$

Hierin geeft $x$ de lichtgevoeligheid in ISO aan en $y$ de lichtgevoeligheid in DIN. Een film van $100$ ISO heeft een DIN-waarde van $21$ .

Bereken $a$ .

$21$

$=$

$1 +a*log(100 )$

$21$

$=$

$1 +2 a$

$a$

$=$

$10$

Maak de bijbehorende grafiek. Laat $x$ lopen tot $1500$ .

Voer in $y_1=1+10*log(x)$ .

Venster bijvoorbeeld $0 le x le 1500$ en $0 le y le 50$ .

Welke ISO-waarde heeft een film met een gevoeligheid van $31$ DIN?

$31$

$=$

$1 +10 *log(x)$

$log(x)$

$=$

$3$

$x$

$=$

$1000$

De ISO-waarde is $1000$ .

Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
In deze opgave nemen we aan dat alle vliegtuigen hetzelfde geluidsniveau hebben. Dit geluidsniveau geven we aan met $L$ . De waarde van $L$ bepaalt hoeveel vliegtuigen jaarlijks maximaal mogen passeren. Dit maximale aantal noemen we $N$ . Voor een gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk gold aan het eind van de vorige eeuw de voorwaarde:

$20 * log ( N ) = 202 - 4/3 L$

Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau $L$ van vliegtuigen af.

In een zekere periode nam $L$ af van $75$ dB naar $70$ dB. Toon door berekening aan dat $N$ in die periode meer dan verdubbelde.

$L = 75$ geeft $20*log(N)=202-4/3*75=202-100=102$ en dus $N = 10^(5,1) ~~ 125893$ .
$L = 70$ geeft $20log(N)=202-4/3*70~~202-93,3~~108,67$ en dus $N ~~ 10^(5,43)~~271227$ .
$271227$ is ruim $2$ maal zo veel als $125893$ .

Bereken de maximale waarde van $L$ waarbij er een half miljoen ( $500000$ ) vliegtuigen mogen passeren.

$N = 500000$ geeft $202 - 4/3 L ≈ 113,98$ en daaruit volgt $L ≈ 66$ .

In 2001 werd een nieuwe milieuwet van kracht. Voor het gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk geldt sindsdien:
$20 * log ( N ) = 248 - 2 L$
De oude en de nieuwe formule leverden in 2001 dezelfde waarde van $N$ op.

Bereken welke waarde $L$ in 2001 had.

De waarde van $N$ geeft bij beide voorwaarden dezelfde waarde van $L$ , dus $202 - 4/3 L = 248 - 2 L$ . Deze vergelijking heeft als oplossing $L = 69$ .

Het gehoor is gevoelig voor de sterkte van het geluid. Zachte geluiden zijn vanaf een bepaald geluidsniveau te horen (gehoordrempel) en hele harde geluiden doen pijn aan je oren (pijngrens).
Het geluidsniveau ( $L$ ) wordt uitgedrukt in decibel (dB), de intensiteit van het geluid ( $I$ ) drukken we uit in W/m2.
Als de geluidsintensiteit $100$ keer zo groot wordt, geldt dit niet voor het geluidsniveau. Deze neemt dan met $20$ dB toe. De minimale geluidsintensiteit ( $I_0$ ) is $10^(text(-)12)$ W/m2.
Het verband tussen de geluidsintensiteit en het geluidsniveau is:

$L=10*log(I/I_0)=10*log(I/10^(text(-)12))$

Bereken het geluidsniveau bij de gehoordrempel ( $I=10^(text(-)12)$ W/m2).

$L=0$ dB

Vul de tabel in:

$I$ (W/m2)

$10^(text(-)12)$

$10^(text(-)11)$

$10^(text(-)10)$

$10^(text(-)9)$

$10^(text(-)8)$

$10^(text(-)7)$

$10^(text(-)6)$

$10^(text(-)5)$

$10^(text(-)4)$

$10^(text(-)3)$

$10^(text(-)2)$

$10^(text(-)1)$

$10^0$

$L$ (dB)

‌

$I$ (W/m2)	$10^(text(-)12)$	$10^(text(-)11)$	$10^(text(-)10)$	$10^(text(-)9)$	$10^(text(-)8)$	$10^(text(-)7)$	$10^(text(-)6)$	$10^(text(-)5)$	$10^(text(-)4)$	$10^(text(-)3)$	$10^(text(-)2)$	$10^(text(-)1)$	$10^0$
$L$ (dB)	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$	$80$	$90$	$100$	$110$	$120$

Kun je hier gemakkelijk een grafiek van tekenen?

Nee, $I$ is niet uit te zetten in een lineair assenstelsel.

Laat met een voorbeeld zien dat de geluidsintensiteit $100$ keer zo groot wordt als het geluidsniveau met $20$ dB toeneemt.

Lees dit in de tabel af.

Een logaritmische functie is gegeven door $y = 3 - 0,5*log(x)$ .

Maak de grafiek van deze functie.

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

Welke verticale asymptoot heeft de grafiek?

De $y$ -as.

Los op: $y ge 0$ .

$0 lt x le 10^6$ .

$3 - 0,5*log(x) = 0$ geeft $log(x) = (3)/(0,5) = 6$ , dus $x=10^6$ .

Grafiek: $0 lt x le 10^6$ .

Het verband tussen de (gemiddelde) lengte $L$ in cm en het (gemiddelde) gewicht $G$ in kg voor kinderen tussen $6$ en $13$ jaar wordt gegeven door de formule

$L=k*log(G/ (G_0) )$

De constanten $G_0$ en $k$ hangen af van de leefomstandigheden. Voor de westerse wereld geldt $G_0 =2,4$ (in één decimaal nauwkeurig).

Mark (8 jaar) en Helen (10 jaar) wonen in Nederland en zijn wat lengte en gewicht betreft gemiddelde Nederlandse kinderen.

Mark heeft een lengte van $1,30$ m en weegt $26,3$ kg. Bereken $k$ in gehelen nauwkeurig.

$k≈125$ .

$130 =k*log((26,3)/(2,4))$ geeft $k≈125$ .

Helen is $1,40$ m lang. Schat haar gewicht in kg.

$G≈31,6$ kg.

$140 =125 *log(G/(2,4))$ geeft $log(G/(2,4) )=1,12$ . Dus $G/(2,4)≈13,18$ en hieruit volgt $G≈31,6$ kg.