periodieke verschijnselen en hun periode herkennen;
rekenen met de periode bij het bepalen van uitkomsten bij een periodiek verschijnsel.
werken met (draai)hoeken die groter zijn dan .
werken met sinus, cosinus en tangens, ook bij hoeken die groter zijn dan .
In de figuur zie je een schematische weergave van een krukstang die aan een zuiger is bevestigd. Als de zuiger op en neer beweegt, draait de krukstang in seconde rond.
Punt zit helemaal rechts op de cirkel op .
Gegeven is centimeter.
De krukstang draait tegen de wijzers van de klok in, is de draaihoek.
Hoe groot is als ?
Hoe groot is als de zuiger voor het eerst na op zijn laagste punt zit?
En hoe groot is dan?
en s.
Op welke tijdstippen zit de zuiger nog meer op zijn laagste punt?
Als
De hoogte van punt boven de horizontale stippellijn verandert steeds.
Maak een schets van de grafiek van afhankelijk van .
Je zou een zich herhalende golflijn moeten hebben getekend.
Een wiel draait met steeds dezelfde snelheid rond (eenparige cirkelbeweging) en maakt één
omwenteling in seconden. Op tijdstip zit punt uiterst rechts.
Het draait tegen de wijzers van de klok in.
De positie van is een periodiek (zich herhalend) verschijnsel. De periode is s.
Op welke tijdstippen zit punt weer uiterst rechts?
Omdat het wiel in seconden ronddraait, is dat op
Als het wiel al aan het draaien was, is dat ook op
Kortweg op: met een geheel getal of nog korter:
.
Als dan geldt .
mag ook negatief zijn: als dan geldt
.
Op welke tijdstippen staat punt helemaal onderaan?
Dit gebeurt op drie vierde van een omwenteling, op seconden. Daar kan steeds weer bij of af.
Anders gezegd: met een geheel getal.
Omdat de periode van draaiing seconden is, draait het wiel per seconde deel.
Dit heet de frequentie van de draaiing.
Ga uit van het ronddraaiend rad in de Uitleg.
Op welke tijdstippen zit punt bovenaan?
, met een geheel getal.
Punt is rechts op , enzovoort. Als je in seconden rond bent, dan ben je in seconden bovenaan en dit herhaalt zich met een periode van seconden. Dus op , op , op , etc.
Dus op , met een geheel getal.
Geef in de figuur aan waar punt zit op .
Hierbij hoort een hoek van .
De frequentie van draaiing is per seconde.
Hoe groot is de frequentie van dit wiel per minuut?
Het rad draait met een periode van seconden, dat is minuut.
Dan is de frequentie omwentelingen per minuut.
Een wiel draait met dezelfde snelheid in seconden helemaal rond.
Bereken de frequentie per minuut.
De frequentie per minuut is , dus per minuut draait het wiel keer rond.
Bereken de frequentie per kwartier.
De frequentie per kwartier is .
Een ander wiel draait in minuten keer rond.
Hoe groot is de frequentie per seconde?
20 minuten 1200 seconden
De frequentie per seconden is .
Bekijk deze grafiek van een periodieke functie.
De grafiek loopt aan beide kanten oneindig ver door.
Bepaal de periode van dit periodieke verschijnsel.
Bepaal de uitkomst bij .
, dus dit is dezelfde uitkomst dan die bij .
Bij hoort .
Bij hoort dus ook .
Bij welke -waarden met geldt ?
voor (zie grafiek).
Dus voor , en .
De
In de grafiek zie je een zich herhalende golfbeweging. Er zijn verschillende intervallen voor de periode mogelijk:
van een maximum tot het eerstvolgend maximum.
van een minimum tot het eerstvolgend minimum.
een willekeurig punt tot het volgende punt waarop de grafiek dezelfde hoogte én dezelfde daling of stijging heeft als in het andere punt.
Voor de lengte van het interval waarop de grafiek zich herhaalt is het niet belangrijk uit welk deel van de grafiek het interval komt. Die lengte is altijd gelijk als de grafiek zuiver periodiek is.
Als op tijdstip een bepaalde uitkomst voorkomt, komt diezelfde uitkomst ook voor op , waarin een geheel getal is.
Het aantal periodes per tijdseenheid heet de
Een opslagtank bevat liter brandstof op dag . In dagen neemt die
hoeveelheid gelijkmatig af tot liter. Dan wordt de tank in een dag bijgevuld tot
liter, enzovoort.
Hoeveel liter brandstof bevat de tank na dagen?
De periode van de inhoud is dagen.
Er is een gelijke inhoud bij:
Omdat heeft de tank op dag dezelfde inhoud als op dag , want hier zitten precies drie periodes tussen.
In dagen gaat er liter uit de tank, dat is liter per dag minder. Van
naar gaat er liter uit.
Er was
liter. Er is liter over op en ook op .
Bekijk het leeglopen en weer vullen van de brandstoftank in
Hoeveel bedraagt de periode?
Het duurt dagen voordat de opslagtank wordt bijgevuld. Het bijvullen zelf duurt dag. Dit geeft een periodiek verschijnsel van dagen.
Leg uit waarom er liter in de tank zit op en op .
De afname verloopt met een snelheid van liter per dagen: liter/dag.
Het vullen verloopt volgens liter/dag.
Op is er liter verdwenen en er is liter over. Hetzelfde geldt voor .
De gegeven tijdstippen zijn halverwege het leeglopen en halverwege het vollopen van de tank en omdat beide verschijnselen volgens de grafiek lineair verlopen zit er op beide tijdstippen evenveel in.
Voor welke waarden van zit er liter in de tank?
Als er liter in de tank zit, is er liter uitgelopen. Dat gebeurt in dagen. Na dagen bevat de tank nog liter. Er is sprake van deze zelfde hoeveelheid na dagen en dagen, enzovoort.
dagen
Hoeveel zit er in de brandstoftank na dagen?
Er zijn na dagen periodes verstreken en dan is het dag van de volgende periode.
De tank bevat dan evenveel als na dagen:
liter
Bekijk de grafiek van deze periodieke functie.
Bepaal de periode van deze functie.
Bepaal de uitkomsten bij en .
Bij dus bij geldt .
Bij dus bij geldt .
Bepaal de -waarden bij als
voor en (zie grafiek)
Dus voor en .
Bepaal de uitkomst bij .
Bij heb je dezelfde uitkomst als bij .
Je vindt dus .
Bepaal de -waarden bij als
(zie grafiek).
Bekijk de figuur. Het geeft schematisch een waterrad weer dat in seconden
ronddraait.
Punt is helemaal rechts op de cirkel op het tijdstip
.
Gegeven is dat de straal van het waterrad centimeter
is.
Het waterrad draait tegen de wijzers van de klok in.
Meet de hoogte van punt ten opzichte van de as van het rad,
zodat op tijdstip de hoogte ook cm is.
Hoe hoog is het punt op
? Rond je antwoord af op centimeters.
De periode van is , de hoogtes zijn gelijk bij .
De hoogte bij is hetzelfde als bij .
Bij heeft punt van de cirkel doorlopen en is gedraaid:
geeft cm.
Op is de hoogte ongeveer cm.
Bestudeer
Op welke tijdstippen is punt op de top van het waterrad?
Na een kwart periode is punt voor het eerst op de top. Dat is na seconden. Dit herhaalt zich elke seconden, seconden.
Bereken in centimeter de hoogte van na seconden. Rond af op één decimaal.
De hoogte op is hetzelfde als de hoogte op .
geeft .
De hoogte is ongeveer cm.
Bereken in centimeter de hoogte van punt na seconden. Rond af op één decimaal.
De hoogte op is hetzelfde als de hoogte op of .
geeft .
De hoogte is ongeveer cm.
Met welke frequentie draait dit waterrad? Ga uit van een tijdseenheid van een uur.
In seconden draait het rad rond. De frequentie is keer per minuut, ofwel keer per uur.
Bekijk het punt op de tip van een rotorblad van een ronddraaiende windmolen.
De grafiek van als functie van is getekend, waarin de hoogte van punt boven de grond in meter voorstelt en de tijd in seconden.
Met welke periode draait het rotorblad van de windmolen? Met welke frequentie (per minuut) draait het rotorblad?
De periode is seconden, de frequentie is dan dus omwentelingen per minuut.
Hoe hoog zit de as van de windmolen boven de grond? En hoe lang is het rotorblad?
Deze gegevens lees je af in de grafiek.
De as zit m boven de grond,
een rotorblad is m lang.
Teken de grafiek van de hoogte van de tip van één van de twee andere rotorbladen.
De grafieken beginnen nu bij of en worden dus alleen iets verschoven naar rechts.
De wind neemt af, de windmolen gaat een half keer zo snel draaien. Teken de bijbehorende grafiek.
Teken de grafiek. De stand waaromheen wordt gedraaid (de evenwichtsstand) blijft hetzelfde. Ook de uitwijking van de bladen blijft gelijk. Alleen de periode wordt nu seconden.
Bekijk de grafiek van deze periodieke functie.
Bereken de uitkomst bij .
De uitkomst bij is hetzelfde als bij , dus .
Voor welke waarden van is ?
met een geheel getal.
Bepaal de waarden van waarvoor met
; ; ; ; en .
Een grafiek bestaat in een -assenstelsel uit rechte lijnstukken tussen de punten , , , , , enzovoort. Het patroon gaat oneindig ver door.
Hoe groot is de periode van deze grafiek?
Bekijk bijvoorbeeld de afstand tussen de -waarden van de toppen.
De periode is: .
Bereken de waarde van bij .
Bij heb je dezelfde uitkomst als bij , dus
Teken de grafiek met .
Gebruik de periode om de pieken en dalen door te trekken naar links, tot . Uit de gegeven punten en a is bekend dat de periode is.
De pieken gaan zo naar links:
;
De dalen:
; ;
Bereken de waarde van bij .
Bij heb je dezelfde uitkomst als bij , dus .
Hoeveel getallen met bestaan er bij
Lees uit de grafiek af dat de grafiek keer door gaat op dat interval.
Punt ligt op een wiel op afstand van het middelpunt. Noem de hoogte van punt ten opzichte van de horizontale as door het middelpunt met de tijd in seconden. Punt begint rechts, bij . Het wiel draait in seconden rond, linksom.
Hoe groot is als ?.
want na seconden is punt precies boven.
Bereken de hoogtes bij , en .
Na seconden is punt op van zijn periode; het punt zit dan precies onderaan: .
De periode is seconden, dus op de andere tijdstippen is ook .
Op welke tijdstippen zit punt even hoog als op ?
of
Op welke tijdstippen zit punt op een hoogte van ?
Bij hoort een hoek met .
Dit geeft en s.
De gevraagde tijdstippen zijn dus of .
Een torenklok heeft een grote wijzer met een lengte van m. De beide wijzers zitten bevestigd op de as van de klok op m boven de grond. Punt stelt de punt van deze grote wijzer voor. De hoogte in meter van boven de grond hangt af van de draaihoek . Neem aan dat om 12:00 uur. De wijzer draait rechtsom.
Hoe hoog zit boven de grond op 2:10 uur?
In een uur (60 minuten) is de wijzer rond. In minuten wordt afgelegd.
geeft .
zit op 45,75 m boven de grond.
Teken de grafiek van afhankelijk van .
Zie figuur.
Er zijn twee tijdstippen waarop . De bijbehorende punten waar dan zit zijn en . Hoe ver zitten die punten en van elkaar?
De hoogte boven meter is meter (namelijk totaal m). Dan geldt en dit geeft .
De halve afstand is ongeveer .
De afstand tussen de twee punten is ongeveer m.
In de figuur zie je opnieuw een schematische weergave van een krukstang die aan een zuiger is bevestigd. Als de zuiger op en neer beweegt, draait de krukstang in seconde rond.
Punt zit helemaal rechts op de cirkel op .
Gegeven is centimeter.
De krukstang draait tegen de wijzers van de klok in, is de draaihoek.
Je kunt je afvragen wat het verband is tussen de hoogte van de zuiger en de hoek waaronder het punt is gedraaid.
Of het verband tussen de hoogte van de zuiger en de tijd .
Kijk bij de krukstang eerst naar de hoogte van punt boven de horizontale stippellijn.
Hoe kun je berekenen vanuit de draaihoek ?
, dus .
Hoe kun je berekenen vanuit de tijd ?
De periode van seconde komt overeen met draaien, dus .
Dus .
Welke draaitijden horen bij ?
geeft en dus
heeft binnen de periode dezelfde uitkomst als
Rekening houdend met de periode vind je en .
De onderkant van de zuiger zit cm boven punt .
Noem de hoogte van de onderkant van de zuiger boven de horizontale stippellijn .
Welke formule kun je nu opstellen voor als functie van ?
Op welke tijdstippen geldt cm?
Dan moet punt bovenaan zitten, dus .
Op welke tijdstippen is zo klein mogelijk?
Dan moet punt onderaan zitten, dus .
Hoe ziet de grafiek van als functie van er uit?
Een grafiek die schommelt tussen en om met periode .
Bekijk de grafiek van deze periodieke functie. Binnen iedere periode is de grafiek symmetrisch.
Bepaal als .
Bij hoort
Voor welke waarden van is ?
met een geheel getal
De periode is en als .
Voor met een geheel getal is .
Bereken de uitkomst bij .
De periode is .
De uitkomst bij is hetzelfde als bij en dus is .
Een wiel met een straal van centimeter draait met constante snelheid linksom rond. Aan de buitenkant van het wiel zit een punt . De omlooptijd van het wiel is seconden. De hoogte (cm) van na seconden wordt gemeten ten opzichte van de horizontale lijn door het middelpunt van het wiel. Op zit boven aan het wiel zit, dus er geldt .
Met welke frequentie draait punt ? Gebruik minuten als tijdseenheid.
Punt draait keer per minuut.
Een rondgang van wordt in seconden afgelegd. In een minuut zitten seconden. In een minuut zijn er rondgangen.
Bereken de hoogte op s.
en op is .
Bereken de hoogte op s. Rond af op één decimaal.
cm.
cm.
Geef alle tijdstippen met waarvoor geldt .
Het wiel gaat in seconden rond en begint bovenaan bij cm.
Dit geeft hoogte voor en ook voor .
Dus: