grote of kleine getallen schrijven met behulp van machten van 10;

de wetenschappelijke notatie gebruiken en daarmee rekenen;

de technische notatie gebruiken en daarmee rekenen.

rekenen met positieve en negatieve decimale getallen met de juiste rekenvolgorde;

afronden en significante cijfers gebruiken;

het begrip macht en met machten werken.

Klik op de link om het filmpje te bekijken: Machten van $10$

Schrijf de getallen uit:

Drieduizend tweehonderdzesendertig

Driehonderdtwaalf miljard tweeduizend drieëndertig

Een lichtjaar in meters. Hoe spreek je dit uit?

Elfduizend elfhonderdelf

Vierduizend miljard

$3236$

$312002033$

$9460730472580800$ .
Negen biljard vierhonderdzestig biljoen zevenhonderddertig miljard vierhonderdtweeënzeventig miljoen vijfhonderdtachtigduizend achthonderd.

$111111$

$4000000000000$

Bekijk de advertentie hiernaast. De notatie van de getallen voor opslag, internetcapaciteit en internetsnelheid nemen nogal wat ruimte in beslag. De advertentiekosten kunnen omlaag als je dit korter kunt noteren.

Schrijf de getallen opnieuw uit en vervang de nullen van de drie getallen door een macht van $10$ .

Voor bepaalde machten van $10$ worden in de techniek voorvoegsels gebruikt. Vervang bij elk getal de macht van $10$ door het juiste voorvoegsel.

$64xx10^9$ ; $5xx10^9$ ; $225xx10^6$ .

$64$ Gigabyte; $5$ Gigabyte; $225$ Megabit/s.

Grote getallen met veel nullen kun je beter wat overzichtelijker noteren.

Neem bijvoorbeeld het aantal Nederlanders in 2016. Dat ligt rond de $17000000$ .
Je kunt dit korter schrijven als $17$ miljoen.
Maar ook als $17000000 = 17 * 1000000 = 17*10*10*10*10*10*10 = 17 * 10^6$ .

Daarbij gebruik je machten van $10$ : $10^2 = 10*10$ , $10^3 = 10*10*10$ , enzovoorts.
(Als vermenigvuldigingsteken gebruik je vanaf nu meestal de (hoge) punt.)
Het getal dat aangeeft hoe vaak je $10$ met zichzelf vermenigvuldigt, heet de exponent.

Als je met getallen in die vorm wilt rekenen, bedenk dan wel dat:

$10^6 * 10^2 = 10*10*10*10*10*10 * 10*10 = 10^8$ (exponenten optellen)

$10^6 // 10^2 = (10*10*10*10*10*10) // (10*10) = 10^4$ (exponenten aftrekken)

$10^2 // 10^2 = (10*10) // (10*10) = 1$ en $10^2 // 10^2 = 10^0$ (exponenten aftrekken), dus $10^0 = 1$

Rekenmachines:
wetenschappelijke notatie: SCI
technische notatie: ENG

Er zijn twee belangrijke notaties voor grote getallen:

De wetenschappelijke notatie: $17000000 = 1,7 * 10^7$ waarin het getal voor de macht altijd een getal vanaf $1$ tot kleiner dan $10$ is.

De technische notatie: $17000000 = 17 * 10^6$ waarin de exponent van de macht van $10$ altijd een drievoud is.

Rekenmachines gebruiken soms de E voor exponent. Dan wordt $17*10^6$ weergegeven als $17text(E)6$ .

Bekijk de uitleg.

Schrijf $100000$ als macht van $10$ .

$100000 = 10^5$

Leg uit waarom $304586 = 3 * 10^5 + 4 * 10^3 + 5 * 10^2 + 8 * 10^1 + 6 * 10^0$ .

Het getal $304586$ bestaat uit $3$ honderdduizendtallen, $0$ tienduizendtallen, $4$ duizendtallen, $5$ honderdtallen, $8$ tientallen en $6$ eenheden.

Schrijf $2050031$ met machten van $10$ op dezelfde manier als bij b.

$2050031 = 2 * 10^6 + 5 * 10^4 + 3 * 10^1 + 1 * 10^0$

Grote getallen zijn bijvoorbeeld $1$ miljoen en $1$ miljard.

Schrijf deze getallen als macht van $10$ .

$1$ miljoen is $10^6$ .
$1$ miljard is $10^9$ .

Schrijf $135$ miljard in de technische notatie

$135$ miljard $=135000000000 = 135 * 10^9$ .

Schrijf $135$ miljard in de wetenschappelijke notatie

$135$ miljard $=135000000000 = 1,35 * 10^11$ .

Enkele uitspraken met grote getallen.

Ongeveer $3$ miljoen jaar geleden zijn de dinosauriërs uitgestorven.

Volgens het ministerie komt ons nationaal inkomen uit op $468$ miljard.

De afstand van de aarde tot de zon is in januari ongeveer $147100000$ km.

Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie en in de technische notatie.

Wetenschappelijke notaties:
$3$ miljoen is $3 * 10^6$ .
$468$ miljard is $4,68 * 10^11$ .
$14710000$ km is $1,471 * 10^7$ km.

Technische notaties:
$3$ miljoen is $3 * 10^6$ .
$468$ miljard is $468 * 10^9$ .
$14710000$ km is $14,71 * 10^6$ km.

Voor kleine getallen gebruik je (denk om het aftrekken van de exponenten):

$0,1 = 1/10 = 10^0 / 10^1 = 10^ (text(-) 1)$

$0,01= 1/100 = 10^0 / 10^2 = 10^ (text(-) 2)$

$0,001 = 1/1000 = 10^0 / 10^3 = 10^ (text(-) 3)$

enzovoort.

Heel kleine getallen zoals $32$ miljoenste $= 0,000032$ kun je daarom als volgt in de wetenschappelijke notatie schrijven:

$0,000032 = 3,2 * 0,00001 = 3,2 * 1/100000 = 3,2 * 10^ (text(-) 5)$ .

Heel kleine getallen zoals $32$ miljoenste $= 0,000032$ kun je daarom als volgt in de technische notatie schrijven:

$0,000032 = 32 * 0,000001 = 32 * 1/1000000 = 32 * 10^ (text(-) 6)$ .

Bekijk de uitleg.

Schrijf $0,00001$ als macht van $10$ .

$0,00001 = 1/100000 = 1/(10^5) = 10^ (text(-) 5)$

Leg uit waarom $30,4596 = 3 * 10^1 + 4 * 10^ (text(-) 1) + 5 * 10^ (text(-) 2) + 9 * 10^ (text(-) 3) + 6 * 10^ (text(-) 4)$

Het getal $30,4586$ bestaat uit $3$ tientallen, $0$ eenheden, $4$ tienden, $5$ honderdsten, $9$ duizendsten en $6$ tienduizendsten.

Schrijf het getal $0,01035$ op dezelfde manier.

$0,01035 = 1 * 10^(text(-)2) + 3 * 10^(text(-)4) + 5 * 10^(text(-)5)$

Kleine getallen zijn bijvoorbeeld $1$ miljoenste en $1$ miljardste.

Schrijf deze getallen als macht van $10$ .

$1$ miljoenste is $10^ (text(-) 6)$ .
$1$ miljardste is $10^ (text(-) 9)$ .

Schrijf $135$ miljardste in de technische notatie

$135$ miljardste $=0,000000135 = 135 * 10^(text(-)9)$ .

Schrijf $135$ miljardste in de wetenschappelijke notatie

$135$ miljardste $=0,000000135 = 1,35 * 10^(text(-)7)$ .

Enkele uitspraken met kleine getallen.

Sommige eencelligen zijn slechts $2,5$ miljoenste mm breed.

Aluminiumfolie is ongeveer $150$ miljoenste meter dik.

Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie en in de technische notatie.

Wetenschappelijke notatie:
$2,5$ miljoenste is $2,5 * 10^ (text(-) 6)$ .
$150$ miljoenste is $1,50 * 10^(text(-)4)$ .

Technische notatie:
$2,5$ miljoenste is $2,5 * 10^ (text(-) 6)$ .
$150$ miljoenste is $150 * 10^(text(-)6)$ .

Rekenvoorbeelden:
$10^5 * 10^3 = 10^8$
$10^5 // 10^3 = 10^2$
$10^0 = 1$
$0,001 = 1/1000 = 10^(text(-)3)$

Bij het werken met hele grote en hele kleine getallen gebruik je machten van 10 zoals: $10000 = 10*10*10*10 = 10^4$ .
Het getal $4$ is de exponent van de macht van $10$ .

Er zijn twee belangrijke notaties voor grote/kleine getallen:

De wetenschappelijke notatie waarin het getal voor de macht van $10$ altijd een getal vanaf $1$ tot kleiner dan $10$ is.
$153$ miljard $= 153000000000 = 1,53 * 10^11$
$45$ miljoenste $= 0,000045 = 4,5 * 10^(text(-)5)$

De technische notatie waarin de exponent van de macht van $10$ altijd een drievoud is en het getal voor de macht van $10$ altijd een getal vanaf $1$ tot kleiner dan $1000$ is.
$153$ miljard $= 153000000000 = 153 * 10^9$
$45$ miljoenste $= 0,000045 = 45 * 10^(text(-)6)$

Als vermenigvuldigingsteken gebruik je meestal de (hoge) punt.

Bij getallen vanaf $1$ tot $1000$ gebruik je de gewone schrijfwijze.
Je gaat niet bijvoorbeeld $23$ schrijven als $23*10^0$ of $0,023*10^3$ .

De lichtsnelheid is in het vacuüm (het luchtledige) gelijk aan $299792458$ m/s.

Het licht legt dus ongeveer $300000000 = 3,0 *100000000$ meter per seconde af.
De wetenschappelijke notatie van de lichtsnelheid is $3,0 *10^8$ m/s.

Hoeveel km/h is dat? Geef je antwoord zowel in de wetenschappelijke als in de technische notatie.

Om de lichtsnelheid in m/s om te rekenen naar kilometer per uur moet je dit getal vermenigvuldigen met $3600$ (het aantal seconden in een uur) en vervolgens delen door $1000$ (het aantal meter in een kilometer).
Dus is de lichtsnelheid ongeveer $3,6 *3,0 *10^8=10,8 *10^8=1,08 *10^9$ km/h.
Hier zijn de technische en de wetenschappelijke notatie hetzelfde.

Bekijk in Voorbeeld hoeveel de lichtsnelheid in m/s bedraagt. Gebruik de wetenschappelijke notatie.

Het omrekenen van m/s naar km/h kan in twee stappen.
Bereken eerst de lichtsnelheid in m/h.

$1,08 *10^12$ m/h

$3600 *3.0 *10^8=10800 *10^8=1,08 *10^12$ m/h

Reken de lichtsnelheid in m/h nu om naar km/h.

$1,08 *10^9$ km/h

$0,001 *1,08 *10^12=10^ (-3) *1,08 *10^12=1,08 *10^9$ km/h

De omtrek van de aarde is $40000$ km. Als mensen hand in hand staan met de armen gespreid, zitten de middens van hun lichamen ongeveer $1,5$ meter van elkaar.

Hoeveel mensen moeten er hand in hand staan met de armen gespreid om de aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Ongeveer $2,7 *10^7$ .

$(4*10^7)/(1,5)= 4 /(1,5) *10^7≈2,7 *10^7$

Er zijn ongeveer 7 miljard mensen op de aarde.

Hoeveel keer kunnen zij op de beschreven manier de aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Ongeveer $2,6 *10^2$

$(7 *10^9)/(2,7 *10^7)≈2,6 *10^2$

Een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in $1/299792458$ seconde aflegt. Hoelang doet het licht over het afleggen van $1$ meter? Geef je antwoord in de wetenschappelijke en in de technische notatie in drie significante cijfers.

Als je deze deling met de rekenmachine uitvoert, dan krijg je waarschijnlijk $3,33564... * 10^ ( text(-) 9)$ seconden.

Je kunt de rekenmachine ook in de wetenschappelijke of de technische notatie zetten. Je vindt dan hetzelfde.

Met drie significante cijfers wordt dit ongeveer $3,34 * 10^ ( text(-) 9)$ .

Neem voor de lichtsnelheid $3,0 * 10^8$ m/s. De afstand van de aarde tot de zon is ongeveer $1,5 * 10^8$ km.

Hoelang is het licht onderweg vanaf de zon naar de aarde?

Ongeveer $8,3$ minuten.

Ongeveer $(1,5 * 10^8) / (3,0 * 10^5) = 0,5 * 10^3 = 500$ seconden.
Dat is ongeveer $8,3$ minuten.

Bekijk de foto van de huisstofmijt. Deze diertjes leven van menselijke huidschilfers. In een hoofdkussen van je bed kunnen er wel $12000$ voorkomen. Sommige mensen zijn allergisch voor huisstofmijt. Een huisstofmijt weegt gemiddeld slechts $1,5 * 10^ (text(-) 3)$ gram en heeft afmetingen van ongeveer $0,3$ mm breed tot $0,5$ lang. Je kunt ze met het blote oog niet zien.

Hoeveel wordt je kussen zwaarder tengevolge van de huisstofmijt er in?

Ongeveer $18$ gram.

Ongeveer $12000 * 1,5 * 10^ (text(-) 3) = 18$ gram.

Voor $1 * 10^100$ bestaat de naam googol.

Deze naam is omstreeks 1920 bedacht door een negenjarig neefje van de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner. De naam Google is hiervan afgeleid door Larry Page, één van de oprichters van deze zoekmachine.

Op veel rekenmachines is dit getal de grens voor de getallen die weergegeven kunnen worden.
Het getal is ongeveer zo groot als $70 * 69 * 68 * ... * 3 * 2 * 1$ .

$1$ googolplex $= 1 * 10^ (text(googol))$ , een $1$ met googol nullen.

Je weet nu hoeveel een googol is.

Hoeveel is $text(googol)^2$ ?

$1 * 10^200$ , dus een getal met $200$ nullen.

Hoeveel is $sqrt( text(googol) )$ ?

$1 * 10^50$ , dus een getal met $50$ nullen.

Schrijf als macht van $10$ :

$1000$

$10^{3}$

$100000000$

$10^{8}$

$10$ miljard

$10^{10}$

$0,001$

$10^{- 3}$

$\frac{1}{100000}$

$10^{- 5}$

$10$ miljardste

$10^{- 10}$

Schrijf in de wetenschappelijke en in de technische notatie:

$123$ miljoen

Wetenschappelijke notatie: $1,23*10^8$

Technische notatie: $123*10^6$

$614000000000$

Wetenschappelijke notatie: $6,14 * 10^11$

Technische notatie: $614*10^9$

$0,00001496$

Wetenschappelijke notatie: $1,496 * 10^(text(-)5)$

Technische notatie: $14,96 * 10^(text(-)6)$

$0,00000000000042$

Wetenschappelijke notatie: $4,2 * 10^(text(-)13)$

Technische notatie: $420 * 10^(text(-)15)$

Gebruik bij de volgende berekeningen de technische notatie. Geef je antwoord ook in die vorm.

In Nederland wonen ongeveer $16$ miljoen mensen. Het gemiddeld inkomen van een Nederlander is ongeveer 18.000,=. Bereken het nationaal inkomen (het inkomen van alle Nederlanders samen).

$16 * 10^6 * 18 * 10^3 = 288 * 10^9$ euro. Dat is ongeveer $288$ miljard euro.

In Nederland zijn er jaarlijks ongeveer $1,5$ miljoen middelbare scholieren. Zo'n scholier kost de overheid gemiddeld 4500,=. Hoeveel geeft de overheid jaarlijks ongeveer uit aan middelbaar onderwijs?

$1,5 * 10^6 * 4,5 * 10^3 = 6,75 * 10^9$ euro. Dus ongeveer $6,75$ miljard euro.

Bacteriën zijn micro-organismen. Een bepaald soort bacterie heeft een gewicht van $2,4 * 10^(text(-)8)$ kg.

Op een plant bevinden zich $3,2$ miljoen van deze bacteriën. Hoeveel wegen deze bacteriën samen?

$2,4 * 10^(text(-)8) * 3,2 * 10^6 = 7,68 * 10^(text(-)2) = 0,0768$ kg, dus ongeveer $76,8$ gram.

Hoeveel van deze bacteriën wegen samen $1$ kg?

$1 // (2,4 * 10^(text(-)8)) ~~ 4,17 * 10^7$ .

Uit Wikipedia (13-11-2009):

Een amoebe (spreek uit als ameube) is een eencellig organisme dat bestaat uit protoplasma met één of meerdere kernen. Het endoplasma (binnenste laagje) is troebel en korrelig terwijl het ectoplasma (buitenste laagje) meestal helder is. Het organisme behoort tot de wortelpotigen en varieert afhankelijk van de soort tussen de $0,003$ en $0,080$ mm.

$1$ mm $= 1/1000$ m.
Hoeveel meter is een amoebe van $0,080$ mm? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie en in de technische notatie.

$1$ mm $= 1/1000$ m. Dus zo'n amoebe is $0,080 * 1/1000 = 8 * 10^(text(-)2) * 10^(text(-)3) = 8 * 10^(text(-)5)$ m.
In de technische notatie is dat $80 * 10^(text(-)6)$ m.

Bereken en geef je antwoord in de technische notatie.

$4,5 * 10^(text(-)8) * 3 * 10^3$

$13,5 * 10^(text(-)5) = 1,35 * 10^(text(-)6)$

$(6 * 10^(text(-)3))/(3 * 10^(text(-)5))$

$2 * 10^(2) = 200$

$(2,5 * 10^(3) * 3 * 10^(text(-)2))/(5 * 10^4)$

$(7,5*10)/(5*10^4) = 1,5 * 10^(text(-)3)$

Metselwerk

Iemand wil de in de figuur afgebeelde steen kopen voor het metselwerk van de buitenspouwblad van zijn of haar woning. De totale oppervlakte van het metselwerk is $83,44$ m2 (zonder de voegen). Het wordt een halfsteens metselverband (zie figuur).

Hoeveel stenen zijn er nodig voor het metselwerk?

$397334$ stenen.

Opp. metselwerk $=83,44$ m2 $=83440000$ mm2. Opp. van een steen $=21xx10=210$ mm2. Aantal stenen: $83440000/210=397334$ .

Schrijf dit in een wetenschappelijke notatie.

$3,97334xx10^5$ .

Schrijf dit in een technische notatie.

$397,334xx10^3$ .

Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie en in de technische notatie. Gebruik twee significante cijfers.

$12 500 000$

Wetenschappelijke notatie: $1,3 *10^7$

Technische notatie: $13 *10^6$

$0,004078253$

Wetenschappelijke notatie: $4,1 *10^(text(-)3)$

Technische notatie: $4,1 *10^(text(-)3)$

Er worden per dag $750 000$ boterhammen met hagelslag in Nederland gegeten. Hoeveel zijn dat er per jaar? Geef je antwoord in de technische notatie.

$750000$ boterhammen $* 365$ dagen $= 2,74*10^8 = 274*10^6$ .

Een olifant krijgt per dag ongeveer $180$ kilogram aan voedsel binnen. Hiervan scheidt de olifant ongeveer $60$ kilogram uit als mest. Hier kan tegenwoordig papier van worden gemaakt. Per $10$ kilogram mest kan $8$ kilogram papier worden gemaakt.
Er zijn ongeveer $550000$ olifanten op de wereld. Als we van al die olifanten de mest zouden verzamelen om papier te maken, hoeveel papier zouden we dan in een jaar maken? Geef je antwoord in de technische notatie.

$9,6·10^9$

Per dag maakt een olifant gemiddeld $60$ kilogram mest, waarvan er $48$ kilogram papier kan worden gemaakt.

$48xx550000xx365=9636000000≈9,6·10^9$