een recht evenredig verband tussen twee variabelen herkennen;

bij een (in woorden beschreven) recht evenredig verband een passende formule opstellen;

de evenredigheidsconstante, het hellingsgetal (richtingscoëfficiënt) herkennen;

berekeningen met recht evenredige verbanden uitvoeren.

het begrip variabele en de basisbewerkingen met getallen en variabelen uitvoeren;

tabellen maken en grafieken tekenen bij formules van twee variabelen.

Volgens de wet van Hooke is de uitrekking $u$ in mm van een veer afhankelijk van de kracht $F$ in N (Newton) die op één kant van die veer wordt uitgeoefend. Er geldt: $F = c * u$ waarin $c$ de veerconstante is.
In de tabel zie je enkele meetgegevens:

$F$ (in N)	$4,90$	$7,36$	$9,81$	$19,62$	$29,43$	$98,10$
$u$ (in mm)	$4$	$6$	$8$	$16$	$24$	$80$

Laat zien dat bij deze tabel een veerconstante van ongeveer $1,23$ N/mm hoort.

Bereken $F/u$ . Je vindt steeds ongeveer $1,23$ N/mm.

De wet van Hooke wordt ook wel zo beschreven: De kracht op een veer is recht evenredig met de uitrekking ervan.. Wat wordt met recht evenredig bedoeld?

Dat de kracht een veelvoud van de uitrekking is, dat je de uitrekking met een vast getal moet vermenigvuldigen om de kracht te berekenen.

Welke uitrekking zou je moeten meten als je een massa van $m = 5$ kg aan deze veer hangt? Denk aan $F = m*g$ waarin de gravitatieconstante $g$ ongeveer $9,81$ N/kg is.

$F = 5 * 9,81 = 49,05$ geeft $1,23 * u = 49,05$ zodat $u = (49,05)/(1,23) ~~ 40$ mm.

In Denemarken wordt als betaalmiddel de Deense Kroon (DKK) gebruikt. Een Deense Kroon is ongeveer 0,13 waard.

Dit biljet van $50$ DKK heeft een waarde van $50*0,13 = 6,50$ euro.
Je berekent de waarde $E$ in euro van een aantal Deens Kronen $D$ met de formule $E = 0,13*D$ .

De variabele $E$ is recht evenredig met de variabele $D$ , omdat een verdubbeling van een waarde van de éne variabele ook leidt tot een verdubbeling van de bijbehorende waarde van de andere variabele. Het getal $0,13$ , de constante waar je steeds mee vermenigvuldigt, heet de evenredigheidsconstante.

Bij zo'n recht evenredig verband kun je gemakkelijk een tabel en een grafiek maken. De grafiek wordt een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel.

Bekijk de Uitleg.

Hoeveel euro bedraagt de waarde van $1250$ DKK?

$1250 xx 0,13 = 162,50$ euro.

Hoeveel DKK is 1000,= waard?

$1000,00 // 0,13 ~~ 7692$ DKK.

Laat met een voorbeeld zien dat $E$ verdubbelt als $D$ verdubbelt.

Eigen antwoord.

Als $D$ drie keer zo groot wordt, wat gebeurt er dan met $E$ ? Laat dit zien met een berekening.

Die wordt ook drie keer zo groot, want $0,13 * 3a = 3 * 0,13a$ .

Hier zijn $E$ en $D$ recht evenredig. Teken een bijpassende grafiek.

Maak een tabel. De grafiek is een rechte lijn door $(0, 0)$ en onder andere $(100, 13)$ .

Hoe kun je aan de grafiek zien dat het hier om een recht evenredig verband gaat?

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 0)$ , de oorsprong van het assenstelsel.

Als je in Nederland Deense Kronen koopt bij een bank, betaal je ook transactiekosten. Waarom is in dat geval het aantal DKK niet recht evenredig met het te betalen bedrag in euro?

De grafiek is nu geen rechte lijn door $(0, 0)$ , de oorsprong van het assenstelsel, want er zijn vaste kosten.

Een kopie maken met een kopieermachine kost 0,125 per velletje.

Hoeveel ben je kwijt als je in een jaar tijd $1750$ kopieën maakt?

$1750 xx 0,125 = 218,75$ euro.

Met welke formule kun je de kosten $K$ in euro afhankelijk van het aantal kopieën $a$ weergeven?

$K = 0,125 a$

Zijn deze twee variabelen recht evenredig met elkaar? Waarom?

Ja, als $a$ verdubbelt, verdubbelt ook $K$ .

Maak een tabel en teken de grafiek bij deze formule.

Doen. De grafiek gaat door $(0, 0)$ en onder andere $(100; 12,5)$ .

Een variabele $y$ is recht evenredig met variabele $x$ als een verdubbeling van $x$ ook een verdubbeling van $y$ tot gevolg heeft. De bijbehorende formule heeft dan de vorm

$y = a * x$ met $a$ een willekeurig reëel getal.

De bijbehorende grafiek is een rechte lijn die door de oorsprong gaat.

In de applet kun je met de schuifknop de waarde van $a$ veranderen.

$a$ heet de evenredigheidsconstante.

$a$ bepaalt hoe schuin de lijn omhoog of omlaag loopt. Als $a$ positief is, stijgt de lijn, is $a$ negatief dan daalt de lijn. Daarom wordt $a$ ook wel eens het hellingsgetal genoemd of de richtingscoëfficiënt.

Omgekeerd hoort ook bij elke rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel een recht evenredig verband tussen $x$ en $y$ .

Gegeven zijn de formules $y_{1} = 2 x$ en $y_{2} = 2 x + 3$ . Van welk van beide formules kun je met deze applet de grafiek maken? Bij welk van beide formules is sprake van een recht evenredig verband?

Door $a = 2$ te kiezen maak je de grafiek van $y_{1} = 2 x$ .
De grafiek van $y_{2} = 2 x + 3$ kun je niet maken want die grafiek gaat niet door $(0, 0)$ , omdat bij $x = 0$ de uitkomst $y = 3$ hoort.
Alleen bij $y_{1} = 2 x$ is sprake van een recht evenredig verband omdat de grafiek daarvan wel een rechte lijn door $(0, 0)$ is.

Bekijk het voorbeeld en werk met de applet.

Stel de juiste waarde van $a$ in en maak de grafiek van $y_{1} = 2 x$ .

Doen.

Waarom weet je zeker dat de grafiek van $y_{1} = 2 x$ door $(0, 0)$ gaat?

Als je $x = 0$ invult in $y_{1} = 2 x$ krijg je $y = 0$ .

De formule $y_{2} = 2 x + 3$ beschrijft geen recht evenredig verband. Laat met een getallenvoorbeeld zien dat een verdubbeling van de waarde van $x$ geen verdubbeling van de waarde van $y$ oplevert bij deze formule.

Bijvoorbeeld $x = 10$ geeft $y = 23$ .
Het dubbele van deze $x$ -waarde, dus $x = 20$ , geeft $y = 43$ en dat is niet het dubbele van $23$ .

Teken de grafieken van $y_{1} = 2 x$ en $y_{2} = 2 x + 3$ in één figuur.

Doen, maak eventueel eerst tabellen.

Hoe kun je aan de grafiek van $y_{2} = 2 x + 3$ zien dat er in dit geval geen sprake is van een recht evenredig verband?

De grafiek gaat niet door $(0, 0)$ .

Welke van de volgende formules beschrijven een recht evenredig verband? Licht je antwoord toe en geef in dat geval de evenredigheidsconstante. (Lees eventueel eerst in de Theorie na wat je daaronder verstaat.)

$y_{1} = x$

$y_{2} = - 0,5 x$

$y_{3} = - x + 1$

$y_4 = 1/x$

$y_{5} = x^{2}$

$y_{6} = 0$

Je moet nagaan of de formule de vorm $y = a*x$ heeft. Dat is het geval bij $y_{1}$ (met evenredigheidsconstante $1$ ), $y_{2}$ (met evenredigheidsconstante $- 0,5$ ) en $y_{6}$ (met evenredigheidsconstante $0$ ).

Een schaatser schaatst met een constante snelheid van Sneek naar Leeuwarden. Na $14$ minuten heeft hij $5$ kilometer afgelegd. Geef een formule voor de tijd $t$ die hij onderweg is (in minuten) afhankelijk van de afgelegde afstand $s$ in km.

De schaatser doet over elke km $14 // 5 = 2,8$ minuten. Over $s$ km doet hij $2,8 * s$ minuten, dus $t = 2,8 * s$ minuten. Dit is de gevraagde formule.

Bekijk Voorbeeld.

Welke twee variabelen zijn hier recht evenredig met elkaar? En waarom?

De variabelen $t$ en $s$ . Want als de geschaatste afstand $s$ twee keer zo groot wordt, wordt de tijdsduur $t$ dat ook, want de schaatser schaatst met een constante snelheid.

Je kunt de formule ook vinden door uit te gaan van $t = a*s$ en dan $a$ uit te rekenen door de gegeven waarden van $t$ en $s$ in te vullen.

Laat zien dat je daarmee op dezelfde formule uit komt.

$14 = a*5$ geeft $a=14//5=2,8$ .

Leeuwarden en Sneek liggen $26,4$ kilometer uit elkaar.

Hoe lang doet de schaatser over deze tocht?

$t = 2,8 * 24,6 = 73,92$ minuten, dus 1 uur, 13 minuten en 55,2 seconden.

Hoe lang duurt het voordat de schaatser de Elfstedentocht ( $200$ km) heeft afgelegd als zijn gemiddelde snelheid gelijk is aan de constante snelheid tussen Leeuwarden en Sneek?

$t = 2,8*200 = 560$ minuten, dus 9 uur en 20 minuten.

Bekijk Voorbeeld nog eens. Je kunt ook een formule maken van de vorm $s = a * t$ .

In de natuurkunde wordt vaak de letter $v$ gebruikt om de snelheid aan te geven.
Waarom stelt nu de evenredigheidsconstante $a$ de snelheid voor? In welke eenheden?

$a$ is dan het aantal km dat er per minuut wordt afgelegd, dus $a$ is de snelheid in km/minuut.

Bereken nu opnieuw de waarde van $a$ . Hoe ziet de formule er nu uit?

$5 = a * 14$ geeft $a = 5/14$ .
De formule wordt dan $s = \frac{5}{14} t$ .

Je kunt de formule die je in deze opgave hebt gevonden ook afleiden uit die van de vorige opgave.

Laat zien hoe dat gaat.

$t = 2,8 * s$ kun je aan beide zijden delen door $2,8$ . Je krijgt dan $s = t/(2,8) = 10/28 t = 5/14 t$ .

In Zwitserland wordt met de Zwitserse Frank (SFr) betaald. De omrekenkoers is op zeker moment: 1 SFr = 0,83 euro.

Je bent in Zwitserland op vakantie en je koopt een souvenir voor SFr.34,50. Hoeveel euro kost dit souvenir?

$34,50 xx 0,83 = 28,635$ , dus 28,64.

Met welke formule kun je omrekenen van SFr naar euro? Noem het aantal SFr $z$ en het aantal euro $e$ .

$e = 0,83 * z$

Als een ander souvenir anderhalf keer zo duur is in SFr, hoeveel keer zo duur is het dan in euro?

Ook anderhalf keer.

Voordat je op vakantie ging heb je waarschijnlijk Zwitserse Franks gekocht bij een bank in Nederland. Die bank rekent voor de aankoop van SFr nog 5,00 aan kosten. Wel gebruiken ze dezelfde wisselkoers.

Hoeveel kosten je SFr.250,00?

$250 xx 0,83 + 5,00 = 212,50$ euro.

Is bij een aankoop van SFr in de situatie beschreven bij d het aantal euro dat je betaalt recht evenredig met het aantal gekochte SFr? Licht je antwoord toe.

Nee, de aankoopkosten komen er nog bij en die veranderen niet als je meer SFr koopt.

De variabele $y$ is recht evenredig met de variabele $x$ . De bijbehorende evenredigheidsconstante is $5,8$ .

Welke formule beschrijft het verloop van $y$ afhankelijk van $x$ ?

$y = 5,8 x$

Hoe ziet de grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ er uit?

Een rechte lijn door $O (0, 0)$ en onder andere het punt $(10, 58)$ .

Als $x$ tien keer zo groot wordt, dan geldt dit ook voor $y$ . Toon dit aan.

$5,8 * 10x = 58x = 10 * 5,8x = 10y$

Van een cirkel is de omtrek $P$ recht evenredig met de diameter $d$ . De bijbehorende evenredigheidsconstante wordt $pi$ genoemd.

Welke formule geldt dus voor de omtrek van een cirkel?

$P = pi * d$

Is de omtrek van een cirkel ook recht evenredig met de straal $r$ ? Welke formule geldt er voor $P$ afhankelijk van $r$ ?

Ja, want de straal is de helft van de diameter, dus kun je de formule bij a herleiden tot: $P = pi * d = pi * 2r = 2pi r$ .

Is de oppervlakte $A$ van een cirkel ook recht evenredig met de diameter? Licht je antwoord toe.

Nee, voor de oppervlakte van een cirkel geldt $A = pi * r^2 = pi * (1/2 d)^2 = 1/4 pi d^2$ . En die formule hoort bij een kwadratisch verband. Als de diameter van een cirkel twee keer zo groot wordt, wordt de oppervlakte vier keer zo groot.

Alexandra krijgt van oma een spaarvarken. Ze doet er elke week 5,= in, voor het eerst één week nadat zij het heeft gekregen. Haar jongere zusje Clarabella krijgt precies drie jaar later net zo'n spaarvarken. Zij doet er elke week 8,= in, ook voor het eerst één week nadat zij het heeft gekregen. Clarabella vraagt zich af wanneer ze evenveel geld in het spaarvarken zal hebben als haar zus als die zo door gaat.

Vanaf het moment dat Clarabella begint te sparen, is het geld in haar spaarvarken recht evenredig met het aantal weken dat ze spaart. Waarom is Alexandra's spaargeld niet recht evenredig met het aantal weken na het moment waarop Clarabella begint te sparen?

Omdat zij dan al 780,= heeft gespaard.

Beantwoord Clarabella's vraag met behulp van een berekening.

Als $w$ het aantal weken is dat Clarabella spaart, dan geldt voor haar spaargeld: $C = 8 * w$ . Voor Alexandra's spaargeld vind je: $A = 780 + 5*w$ . Deze bedragen zijn gelijk als $780 + 5*w = 8*w$ . En dit levert op $w = 260$ . Dus na $260$ weken hebben ze evenveel in hun spaarvarken.

In welke van de volgende situaties is $y$ recht evenredig met $x$ ? Stel in dat geval een passende formule op.

De grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ is een rechte lijn door de oorsprong en door $(12, 39)$ .

Recht evenredig verband met formule $y = \frac{39}{12} x = 3,25 x$ .

De grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ is een rechte lijn door de punten $(4, 12)$ en $(12, 39)$ .

Geen recht evenredig verband, want het door $3$ delen van $x$ levert niet éénderde van $y$ op.

De grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ is een rechte lijn door de punten $(10, - 6)$ en $(15, - 9)$ .

Recht evenredig verband met formule $y = - 0,6 x$ .

De bijbehorende formule heeft de vorm $x * y = c$ en gaat door het punt $(10; 0,5)$ .

Geen recht evenredig verband, als $x$ twee keer zo groot wordt, wordt $y$ juist twee keer zo klein.

De bijbehorende formule heeft de vorm $\frac{y}{x} = c$ en gaat door het punt $(10; 0,5)$ .

Recht evenredig verband met formule $y = 0,05 x$ .

Volgens de geweldige wet van Hooke is de uitrekking $u$ in mm van een veer afhankelijk van de kracht $F$ in N (Newton) die op één kant van die veer wordt uitgeoefend. Er geldt: $F = c * u$ waarin $c$ de veerconstante is.

Van een bepaalde veer is de veerconstante $c = 2,4$ N/mm.

Je kunt dan berekenen hoeveel de veer uitrekt als je er een bepaald gewicht aan hangt.

Bekijk het verhaal over de wet van Hooke hierboven.
Bedenk dat een massa $m$ een kracht van $F = m*g$ op de veer uitoefent, met $m$ in kg en $F$ in N. Hierin is $g$ de gravitatieconstante: $g ~~ 9,8$ in N/kg.

Je hangt aan een veer met veerconstante $2,4$ N/mm een gewicht van $5$ kg.
Hoe groot is de uitrekking van deze veer in mm?

$5 * 9,8 = 2,4 * u$ geeft $u ~~ 20$ mm.

Laat zien dat voor de uitrekking van deze veer de formule $u ~~ 4,1*m$ geldt.

$F = 2,4*u$ geeft $m*9,8 = 2,4*u$ en dus $u = (9,8)/(2,4)*m ~~ 4,1*m$ .

Hoe ziet de grafiek bij de formule $u ~~ 4,1*m$ er uit?

Een rechte lijn door $(0, 0)$ met hellingsgetal $4,1$ .

Welke massa heeft een gewicht dat een uitrekking van $3$ cm veroorzaakt?

$m ~~ 30/(4,1) ~~ 7,3$ kg.

De massa $m$ (in kg) van een stalen steunbalk is afhankelijk van de lengte $L$ (in m). Hier zie je enkele meetgegevens:

$m$ (in kg)	$80$	$100$	$120$	$140$	$160$
$L$ (in m)	$3,01$	$3,75$	$4,49$	$5,26$	$5,98$

Kun je nu vaststellen dat $m$ recht evenredig is met $L$ ?

Ja, wel min of meer, er komt per $20$ kg steeds ongeveer $0,75$ m bij. En natuurlijk gaat de grafiek door $(0, 0)$ .

Stel ook een formule op voor $L$ afhankelijk van $m$ .

$L = 0,0375 * m$

Welke massa heeft een balk van $5$ m volgens de formule?

$5 = 0,0375 * m$ geeft $m = 5/(0,0375) ~~ 133$ kg.

De variabele $y$ is recht evenredig met de variabele $x$ . De bijbehorende evenredigheidsconstante is $0,35$ .

Welke formule beschrijft het verloop van $y$ afhankelijk van $x$ ?

$y = 0,35 x$

Hoe ziet de grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ er uit?

Een rechte lijn door $O (0, 0)$ en onder andere het punt $(100, 35)$ .

Als $x$ tien keer zo groot wordt, dan geldt dit ook voor $y$ . Toon dit aan.

$0,35 * 10x = 3,5x = 10 * 3,5x = 10y$

In welke van de volgende situaties is $y$ recht evenredig met $x$ ? Stel in dat geval een passende formule op.

De grafiek van $y$ afhankelijk van $x$ is een rechte lijn door $(4, 10)$ en door $(6, 15)$ .

Recht evenredig verband met formule $y = 2,5x$ .

De bijbehorende formule heeft de vorm $x * y = c$ en gaat door het punt $(2; 6)$ .

Geen recht evenredig verband, als $x$ twee keer zo groot wordt, wordt $y$ juist twee keer zo klein.

De bijbehorende formule heeft de vorm $\frac{y}{x} = c$ en gaat door het punt $(2; 6)$ .

Recht evenredig verband met formule $y = 3 x$ .