de omtrek en de oppervlakte van een cirkel berekenen;
de omtrek en de oppervlakte van een cirkelsector berekenen.
vlakke figuren, met name driehoeken en vierhoeken en hun eigenschappen;
lengtes van zijden in driehoeken berekenen met de stelling van Pythagoras en/of gelijkvormigheid;
de omtrek en de oppervlakte van veelhoeken berekenen;
werken met formules voor de oppervlakte van driehoeken en vierhoeken.
Dit is een rond tafelblad met een diameter van m.
Je wilt dit tafelblad bekleden met een fineerlaag en langs de omtrek een afdekrand maken. Je gebruikt voor de omtrek de vuistregel
Hoeveel cm afdekrand heb je dan nodig? Is dat genoeg, denk je?
m, maar dat is iets te weinig.
Je kunt beter ruim m nemen.
Hoeveel m
Je moet nu de oppervlakte van de cirkel bepalen.
Weet je de formule voor de oppervlakte van een cirkel nog?
Al in de Oudheid wilde men weten hoe je de omtrek van een cirkel berekent. Door een regelmatige veelhoek in de cirkel te passen en van die veelhoek de omtrek te bepalen, kun je de omtrek van de cirkel benaderen. Hoe meer hoeken de veelhoek heeft, hoe beter de benadering van de cirkel. De veelhoek gaat namelijk steeds meer op een cirkel lijken.
In de applet worden de omtrek van de cirkel en het getal waarmee je de diameter moet vermenigvuldigen om de omtrek te berekenen, benaderd.
De werkelijke omtrek van de cirkel is .
Het getal wordt
heeft oneindig veel decimalen zonder enige regelmaat.
Zo is al in de Oudheid ontdekt dat voor een cirkel met straal en diameter geldt:
Het getal is ook op je rekenmachine te vinden.
Schrijf de waarde van in negen decimalen op.
De Oude Grieken dachten dat een breuk was.
Ze gebruikten voor van een cirkel soms de breuk .
Hoeveel verschilt dit getal van ? Rond af op negen decimalen.
Je hebt een cirkel met en straal van cm.
Hoe groot is de diameter?
cm.
Bereken de omtrek van deze cirkel in tienden van millimeters nauwkeurig.
cm.
Eigenlijk is de cirkel alleen de lijn zelf, het middelpunt hoort er zelfs niet bij. Maar als je over de oppervlakte ervan spreekt bedoel je (natuurlijk) de oppervlakte van het binnengebied.
Bereken die oppervlakte in mm
mm
Ga uit van een cirkel met straal . De diameter is .
Welke formule kun je opschrijven voor de omtrek van die cirkel uitgedrukt in de straal?
, dus .
Laat zien dat voor de oppervlakte van deze cirkel geldt:
Omdat geldt: .
Dit kun je schrijven als .
Een
De
Voor een cirkel met straal en diameter geldt:
Een
Je kunt een cirkel in cirkelsectoren (taartpunten) opdelen. Bereken van deze cirkelsector de omtrek en de oppervlakte.
De omtrek van de cirkelsector bestaat uit twee lijnstukken van cm en een deel van de omtrek van een cirkel met een straal van cm.
Deze cirkel heeft een omtrek van cm.
De cirkelsector heeft een sectorhoek van .
Een hele cirkel beslaat . De lengte van de cirkelboog die hoort bij de cirkelsector is dus het deel van de omtrek van de hele cirkel. De lengte van de cirkelboog is cm.
De totale omtrek van de cirkelsector is in één decimaal nauwkeurig: cm
Om de oppervlakte van de cirkelsector te berekenen, bedenk je eerst dat de gehele cirkel een oppervlakte van cm
De oppervlakte van de cirkelsector is het deel van de oppervlakte van de gehele cirkel.
De oppervlakte van de cirkelsector is dus cm
Bekijk de berekening van de omtrek en de oppervlakte van een cirkelsector in
cm, dus cm
cm, dus cm
Het binnengebied van een rotonde is zuiver cirkelvormig met een straal van m. Het gebied is verdeeld in drie even grote cirkelsectoren. Langs alle randen van die sectoren worden drie verschillende soorten struiken geplant. Eén van die drie sectoren wordt langs de complete rand met rozenstruikjes beplant. De afstand tussen de rozenstruikjes (tussen de middens) is m.
Bereken de omtrek van deze cirkelsector in meters. Hoeveel rozenstruikjes zijn er nodig?
Omtrek ongeveer m.
Daarvoor zijn rozenstruikjes nodig.
Het binnengebied van elke cirkelsector wordt een grasveldje.
Hoeveel m
m
Bereken de straal van een cirkel met een omtrek van cm in millimeters nauwkeurig.
Voor de omtrek van een cirkel geldt:
Hier is de omtrek cm.
Dus geldt voor de straal van de cirkel: cm
De straal is daarom: cm
Bekijk de berekening van de straal van een cirkel met een gegeven omtrek in het voorbeeld.
Bereken de straal van een cirkel met een omtrek van cm in twee decimalen nauwkeurig.
cm
Let op dat je hierbij dan wel door de complete factor deelt. Zet daar dus op de rekenmachine haakjes omheen: .
Bereken nu de diameter van een cirkel met een omtrek van cm in twee decimalen nauwkeurig.
cm
Het binnengebied van een rotonde is zuiver cirkelvormig. Langs de rand van dit binnengebied staan rozenstruiken met een onderlinge afstand tussen de middens van m.
Hoeveel meter is de omtrek van deze rotonde (ongeveer)?
m
m
Bereken de straal van deze rotonde. Rond af op één decimaal.
Of bereken eerst de diameter met m, en deel het antwoord door .
m
Of bereken eerst de diameter met m, en deel het antwoord door .
m
Bereken de straal van een cirkel met een oppervlakte van cm
Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:
De oppervlakte van de cirkel is cm
Dus geldt:
Dat is mm.
Bekijk de berekening van de straal van een cirkel met een gegeven oppervlakte in het voorbeeld.
Voer zelf de berekening uit en geef het antwoord in tienden van millimeters nauwkeurig.
mm
Op je rekenmachine zou je dit bijvoorbeeld kunnen uitrekenen met .
Afgerond wordt dit mm. Let op de haakjes om de hele uitdrukking waar de wortel van moet worden berekend.
Bereken de diameter van een cirkel met een oppervlakte van cm
Noem de straal , dan geldt: , dus en diameter
Het binnengebied van een rotonde is zuiver cirkelvormig. De oppervlakte van dit binnengebied is m
Hoe groot is de straal van deze rotonde in meters nauwkeurig? Rond af op twee decimalen.
invullen levert: .
Hieruit vind je m.
invullen levert: .
m
Bereken de omtrek van dit binnengebied in één decimaal nauwkeurig.
De grote wijzer van een kerkklok is m lang.
Bereken de lengte van de weg die de punt van de wijzer in een kwartier aflegt in meters nauwkeurig.
m
In minuten legt de wijzer deel van een volle hoek af, waarvan m. Deze vraag lijkt op het berekenen van de omtrek van een cirkelsector, behalve dan dat hier alleen het gedeelte van de cirkelboog wordt gevraagd, dus:
Legt de wijzerpunt in een jaar tijd ongeveer km af? Licht je antwoord toe.
Elk rondje is m en duurt uur. De rondjes per jaar leveren een afgelegde weg op van m en dat is minder dan km, dus het antwoord is: nee.
Let op! Rond het tussenantwoord voor de omtrek niet af, of reken verder met genoeg decimalen. Je kunt ook het exacte antwoord in één keer berekenen met: m
Ga ervan uit dat de aarde precies bolvormig is en dat de omtrek km is.
Bereken de straal van de aarde in gehele kilometers nauwkeurig.
km
De diameter is km.
Dus de straal van de aarde is km.
Stel je voor dat om de evenaar een touw is gespannen. Als je dat touw nu overal op de evenaar op meter boven het aardoppervlak wilt bevestigen, hoeveel extra meter touw heb je dan nodig? Rond af op gehele meters.
Slechts m.
Maak eventueel zelf eerst een schets van de situatie. Het gaat om twee cirkels. Noem de diameter van de aarde , dan gaat het om een cirkel op het aardoppervlak met en een cirkel m boven het aardoppervlak met . Het touw steekt namelijk aan weerszijden van de aarde m boven het aardoppervlak uit. Gevraagd wordt naar het verschil in omtrek van deze cirkels. Je kunt natuurlijk eerst de twee losse omtrekken uitrekenen, en vervolgens het verschil.
Een handigere manier is, om het bijvoorbeeld eerst zo op te schrijven:
Een andere manier om het handig uit te rekenen, is om te kijken naar het algemene verband tussen omtrek en diameter:
Op een spaak van een fietswiel zit een vlieg, op een andere spaak zit een mug. De vlieg zit cm van de as, de mug cm. Het wiel draait precies één keer rond, zodat de vlieg en de mug allebei een cirkel draaien.
Hoeveel gehele centimeters is de cirkel van de mug groter dan die van de vlieg?
cm
De cirkel van de mug heeft een omtrek van cm.
De cirkel van de vlieg heeft een omtrek van cm.
Het verschil is:
Of bereken het verschil meteen:
cm
Een cd-rom heeft een diameter van cm. Het gaatje in het midden heeft een diameter van mm.
Bereken de oppervlakte van de cd-rom in cm
cm
De straal van de cd-rom is cm en die van het gaatje is cm.
De oppervlakte is dus
cm
Je ziet een blik sardines. In het bovenaanzicht zijn de afmetingen getekend. De afgeronde hoeken zijn kwartcirkels.
Bereken de oppervlakte van de bovenkant van zo'n sardineblik in cm
cm
De straal van elke kwartcirkel is cm (zie figuur).
Deel de figuur bijvoorbeeld op in een brede rechthoek (in het midden) van cm bij cm, rechthoeken (boven en onder) van cm bij cm en hele cirkel. Dan geldt:
Dit is het bovenaanzicht van zeven gelijke balletjes die precies binnen een grote cirkelvormige doos passen. Elk balletje heeft een diameter van cm. Bereken de oppervlakte van de lege ruimte die overblijft in dit bovenaanzicht. Geef je antwoord in hele mm
mm
Trek in gedachten de diameter van de grote cirkel (zie figuur). Hierin past precies maal de diameter van één balletje, dus de straal van de hele cirkel is cm en die van een balletje is cm. Er geldt:
cm
Een cirkel heeft een oppervlakte van m
Bereken de omtrek van deze cirkel in meters nauwkeurig.
m
Als de straal is, dan is en dus is m.
De omtrek is dan
m.
De toegang van een productiebedrijf is beveiligd met een slagboom die, gemeten vanuit het hart van het draaipunt, een lengte heeft van meter. In de geopende stand staat de slagboom precies verticaal en in de gesloten stand precies horizontaal. De slagboom sluit met een constante snelheid in precies seconden.
Bereken de snelheid die de top van de slagboom tijdens het sluiten heeft. Geef je antwoord in cm/s.
De top van de slagboom legt gedeelte van een volledige cirkel af in seconden.
Omtrek volledige cirkel is .
De afgelegde afstand van het uiteinde van de slagboom is derhalve: cm.
De snelheid is ( cm in seconden): cm/s.
Dat is afgerond cm/s.
Een transportbaan door een fabriek is (totaal) meter lang en bestaat uit vier stukken van gelijke lengte: twee rechte stukken en twee halve cirkels.
In de tekening is dit schematisch weergegeven.
Hoever liggen de rechte stukken van elkaar af?
Ieder stuk is meter.
De ronde stukken zijn elk de halve omtrek van een cirkel.
Samen vormen zij een cirkel met omtrek meter. De diameter is meter.
De afstand tussen de beide rechte stukken is derhalve meter.
De omtrek van een bloempot is circa cm.
Bereken de diameter van deze bloempot in cm, in mm nauwkeurig.
cm
Hoe groot is de straal van deze bloempot in cm, in mm nauwkeurig?
Ongeveer cm.
cm
(Of in één keer: cm)
Van een pizza met een diameter van cm wordt op de normale manier
acht gelijke punten gesneden. Bereken de
oppervlakte van één zo'n punt in hele mm
mm
In de afbeelding zie je een cirkel met een diameter van centimeter. Daarvan is een deel groen gemarkeerd. Bereken de oppervlakte van het deel binnen de cirkel dat niet gemarkeerd is.
Het groene deel is op te delen in drie halfcirkels. Als je de totale oppervlakte van het groene deel weet, kun je dat van de oppervlakte van de hele cirkel af halen, en hou je alleen de oppervlakte van het niet-gemarkeerde deel over.
oppervlakte witte deel oppervlakte hele cirkel oppervlakte grote halfcirkel oppervlakte twee kleine halfcirkels
oppervlakte witte deel
oppervlakte witte deel
oppervlakte witte deel
oppervlakte witte deel cm²