gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras en goniometrie toepassen.

werken met gelijkvormigheid van driehoeken;

de stelling van Pythagoras;

goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens.

Wist je dat sinus, cosinus en tangens gewoon verhoudingsgetallen zijn?
Hieronder staan de zijaanzichten van vier trappen. Elke trede heeft een optrede en een aantrede. De steilheid van de trap is hetzelfde als de verhouding tussen optrede en aantrede.

Welke trap is het steilst? Hoe groot is de steilheid van deze trap?

Trap 2, steilheid $18/18=1$ .

Welke trappen zijn even steil? Leg uit hoe je dat aantoont.

Trap 1 en trap 3

Teken een trap die even steil is als trap 4. Zet de afmetingen in de tekening en laat de berekening zien waarmee je aantoont dat deze trap even steil is als trap 4.

Eigen tekening.

Teken een trap met een aantrede van $20$ cm en met dezelfde steilheid als trap $3$ .

Eigen tekening.

Toon aan dat de hellingshoek van trap 2 gelijk is aan $45^@$ .

$tan(alpha) = (text(optrede))/(text(aantrede)) = 18/18 = 1$ . De verhouding tussen de optrede en aantrede is dus $1$ . Om hoek $(alpha)$ te berekenen type je op je rekenmachine INV tan $1$ of $tan^(-1)$ $(1)$ . De uitkomst: $alpha = 45^@$ .

Bereken de hellingshoek van trap 1 en van trap 3.

Trap 1: $tan(alpha) = 16/32 = 0,5$ , dus $alpha ~~ 26,6^@$ .

Trap 3: $tan(alpha) = 14/28 = 0,5$ , dus $alpha ~~ 26,6^@$ .

Je ziet een rechthoekige driehoek $APB$ . De hoogtelijn $PQ$ stelt de afstand van punt $P$ tot lijnstuk $AB$ voor.

Deze afstand $PQ$ kun je berekenen met behulp van gelijkvormigheid: twee driehoeken zijn gelijkvormig als hun hoeken gelijk zijn. Dat is het geval bij de driehoeken $APB$ en $PQB$ . Je noteert $Delta APB ∼ Delta PQB$ met de overeenkomstige hoekpunten op dezelfde plaats.
Je weet dan dat de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn:

$AP = 10$	$PB = 5$	$AB$
$PQ$	$QB$	$PB = 5$

Je ziet nu dat je van $Delta APB$ nog de lengte van $AB$ moet berekenen.
Daarvoor gebruik je de stelling van Pythagoras in $Delta APB$ :
$AP^2 + PB^2 = AB^2$ geeft $10^2 + 5^2 = 125 = AB^2$ , zodat $AB = sqrt(125) ~~ 11,180$ .

Deze waarde van $AB$ kun je in de tabel invullen. Er geldt: $(PQ)/(AP) = (PB)/(AB)$ , dus $(PQ)/10 ~~ (5)/(11,180) ~~ 0,447$ .
Dit levert op $PQ ~~ 4,47$ m.

Bekijk Uitleg.
Er wordt gesteld dat $Delta APB ∼ Delta PQB$ omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Welke hoeken zijn dat?

$/_APB = /_PQB = 90^@$ en $/_B = /_B$ en dus (hoeken van een driehoek zijn samen $180^@$ ) ook $/_PAB =/_QPB$ .

Driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
Geldt dat ook voor andere figuren?

Nee, bijvoorbeeld zijn niet alle rechthoeken gelijkvormig terwijl ze wel dezelfde hoeken hebben.
Alleen bij driehoeken is het gelijk zijn van de (overeenkomstige) hoeken voldoende. Bij andere figuren moet je ook nagaan of de overeenkomstige zijden ook gelijke verhoudingen hebben.

Je kunt deze berekening ook uitvoeren met de driehoeken $APB$ en $APQ$ .

Laat zien, dat je dan op dezelfde waarde van $PQ$ uitkomt.

Omdat $/_APB = /_PQA = 90^@$ en $/_A = /_A$ zijn alle hoeken van de driehoeken $APB$ en $AQP$ gelijk en zijn de driehoeken gelijkvormig. Dit betekent dat de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn. In schema:

$AP = 10$	$PB = 5$	$AB ~~ 11,180$
$AQ$	$PQ = ?$	$AP = 10$

Dus is $(AP)/(AB) ~~ 10/(11,180) = (PQ)/(PB) = (PQ)/5$ .
Uit $10/(11,180) ~~ (PQ)/5$ vind je $PQ ~~ 4,47$ m.

Je ziet hier hoe iemand een ladder tegen een $5,5$ m hoge muur plaatst over een schuurtje heen waarvan de hoogte $3$ m en de diepte tot de muur $2$ m is.

Hoe ver minimaal van de muur moet die ladder op de grond worden geplaatst?

Voorzie de figuur van letters bij hoekpunten, bijvoorbeeld zo.

$Delta ABC ∼ Delta CEF$ .

$AB = ?$	$BC = 3$	$AC$
$CE = 2$	$EF = 2,5$	$CF$

Hieruit volgt: $(AB)/(CE) = (BC)/(EF)$ , dus $(AB)/(2) = (3)/(2,5)$ en $AB = 6/(2,5) = 2,4$ m.
Dus de ladder moet op minstens $4,4$ m van de muur op de grond komen.

Hoe lang moet de ladder minimaal zijn?

Gebruik de stelling van Pythagoras: $AD^2 + DF^2 = AF^2$ geeft $4,4^2 + 5,5^2 = AF^2$ .
Dus $AF=sqrt(4,4^2 + 5,5^2) ~~ 7,04$ m, dus de ladder moet minstens $7,05$ m lang zijn.

Dit is dezelfde figuur als in Uitleg.
De afmetingen die je daar hebt berekend, staan nu in de figuur.

Als je hierin hoeken wilt berekenen, maak je gebruik van de bekende goniometrische verhoudingen sinus, cosinus of tangens.

Bijvoorbeeld kun $/_QPB$ berekenen in de rechthoekige driehoek $PQB$ .
Je weet dan de aanliggende rechthoekszijde $PQ$ van $/_QPB$ en je weet de langste zijde $PB$ .
Dus: $cos(/_QPB) ~~ (4,47)/5 ~~ 0,894$ .
En daarmee bereken je $/_QPB ~~ 26,6^@ ~~ 27^@$ .
Daarbij moet je terugrekenen vanuit cosinus. Op rekenmachines wordt daarvoor $arccos$ , of $text(inv)cos$ , of $cos^(text(-)1)$ gebruikt.

Belangrijk is dat goniometrie vooralsnog alleen in rechthoekige driehoeken kan worden toegepast.
Je moet daarom telkens goed opletten waar zo'n driehoek is te vinden. En dan moet je de goniometrische verhoudingen nog weten, je vind ze nog eens in de Theorie.

Bekijk Uitleg.
Je ziet hoe $/_QPB$ wordt berekend.

Misschien moet je eerst even de goniometrische verhoudingen even opzoeken.
Schrijf even op wat je verstaat onder sinus, onder cosinus en onder tangens.

Zie in de theorie.

Waarom kun je bij de gegevens in de figuur de grootte van $/_QPB$ alleen met behulp van cosinus berekenen?

Je weet de overstaande rechthoekszijde niet, dus sinus en tangens vallen af.

Bereken met behulp van goniometrie en de gegevens in de figuur de grootte van $/_A$ op twee manieren.

In $Delta APB$ geldt: $tan(/_A) = (PB)/(AP) = 5/10 = 0,5$ en dus $/_A ~~26,6^@ ~~ 27^@$ .

In $Delta APQ$ geldt: $sin(/_A) = (PQ)/(AP) = (4,47)/10 = 0,447$ en dus $/_A ~~26,6^@ ~~ 27^@$ .

Overigens volgde uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $APB$ en $PQB$ ook al dat $/_A = /_QPB$ .

$Delta ABC$ heeft zijden $AB = 6$ cm en $AC = BC = 10$ cm.

Bereken de grootte van elk van de hoeken van deze driehoek in graden nauwkeurig.

Maak eerst een schets van de driehoek.
Door hoogtelijn (loodlijn) $CD$ te tekenen, verdeel je de driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken.
In $Delta ADC$ is $cos(/_A) = (AD)/(AC) = 3/10 = 0,3$ , dus $/_A ~~ 72,5^@ ~~ 73^@$ .
Verder is $/_B = /_A ~~ 73^@$ .
En is $/_C ~~ 180^@ - 2*73^@ = 34^@$ .

Je ziet hier een rechthoekige driehoek. De lengtes van de zijden worden met kleine letters aangeduid die corresponderen met de hoofdletters van de hoekpunten er tegenover. De groottes van de hoeken worden met griekse letters aangeduid die corresponderen met de hoekpunten. In dit geval is $beta = 90^@$ . In zo'n rechthoekige driehoek geldt:

De stelling van Pythagoras:
$(text(éne rechthoekszijde))^2 + (text(andere rechthoekszijde))^2 = (text(hypothenusa))^2$ .

De goniometrische verhoudingen:

$sin(alpha) = (text(overstaande rechthoekszijde))/(text(hypothenusa))$

$cos(alpha) = (text(aanliggende rechthoekszijde))/(text(hypothenusa))$

$tan(alpha) = (text(overstaande rechthoekszijde))/(text(aanliggende rechthoekszijde))$

Verder gebruik je vaak het feit dat driehoeken gelijkvormig zijn als hun overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Hun overeenkomstige zijden hebben dan gelijke verhoudingen. De éne driehoek is een vergroting van de andere. Er is een vaste vergrotingsfactor van de lengtes van de éne driehoek naar de overeenkomstige lengtes van de andere driehoek.

Hiernaast zie je hoe iemand de hoogte van een flatgebouw berekent.
Hij gaat $100$ van een verticale gevel van de flat staan en meet de hoek waaronder hij de top van die gevel ziet. Dat is de hoek tussen een horizontale lijn en de kijklijn vanuit zijn oog naar de top van de gevel. Zo'n hoek heet een hellingshoek. Hier wordt een hellingshoek van $40^@$ gemeten.

Hoe hoog is het flatgebouw als de hellingshoek op $1,50$ m boven de grond wordt gemeten?

In de rechthoekige driehoek $OAB$ geldt: $tan(/_AOB) = (AB)/(OA)$ .
Dit betekent $tan(40^@) = (AB)/100$ .
Nu is $tan(40^@) ~~ 0,839$ , dus $0,839 ~~ (AB)/100$ zodat $AB ~~ 83,9$ m.

De hoogte van het flatgebouw is dus ongeveer $83,9+1,5=85,4$ m.

Een landmeter staat $50$ m van een cilindervormige koeltoren af en meet de hellingshoek naar de top. Hij vindt $31^@$ . Zijn hoekmeter staat op een statief en zit $1,50$ m boven de grond.

Bereken de hoogte van deze koeltoren.

$tan(31^@) = h/50$ geeft $h = 50*tan(31^@) ~~ 30,04$ .
De hoogte van de koeltoren is ongeveer $31,54$ m.

Een vuurtorenwachter zit boven in zijn vuurtoren $40$ m boven de zeespiegel. Hij ziet twee schepen die zich met de vuurtoren precies in één vlak bevinden. De man ziet deze boten onder hellingshoeken van $22^@$ en $16^@$ .

Bereken de afstand tussen beide schepen.

Noem de afstanden tot de schepen $a_1$ en $a_2$ .
Dan is $tan(22^@)= 40/(a_1)$ en $tan(16^@)= 40/(a_2)$ .
Hieruit volgt dat $a_1 ≈ 99,0$ m en $a_2 ≈ 139,5$ m. Hun onderlinge afstand is daarom ongeveer $40,5$ m.

Je ziet hier een symmetrisch profiel, alle afmetingen zijn in mm.
Bereken de afmeting waar het vraagteken bij staat.

Zoek weer eerst een geschikte rechthoekige driehoek, bijvoorbeeld $Delta ABC$ .

Van deze driehoek weet je $/_A = 70^@$ en $BC = 7,5$ mm.

Dus is $tan(70^@) = (BC)/(AB) = (7,5)/(AB)$ .
En dit betekent: $AB = (7,5)/(tan(70^@)) ~~ 2,7$ mm.

De gezochte afmeting is daarom $15,4$ mm.

Bekijk het profiel in Voorbeeld.

Waarom is $BC = 7,5$ ?

De diepte van het profiel is $20 - 5 = 15$ mm en $BC$ is daar de helft van.

Waarom is de gevraagde afmeting $15,4$ mm?

$2,7 + 10 + 2,7 = 15,4$ mm.

Hoeveel bedraagt de totale omtrek van dit profiel?

Daarvoor moet je $AC$ berekenen.
Dat kan nu met de stelling van Pythagoras, of opnieuw met goniometrie, wat jij wilt...
Je vindt $AB ~~ 8,0$ mm.
De totale omtrek is dan $2*30 + 2*20 + 2*10 + 4*8,0 = 132,0$ mm.

Hoe groot zijn de twee hoeken onderin de zeshoek?

$90^@ + 20^@ = 110^@$ .

Een driehoekige plaat $ABC$ heeft als hoogte $CD = 1,2$ m.
Verder is $AC = 1,8$ m en $/_C = 70^@$ .

Hoe lang zijn de overige zijden van deze driehoek?

Maak een schets van de situatie.
In de rechthoekige driehoek $ADC$ is $AD = sqrt(1,8^2 - 1,2^2) ~~ 1,34$ m.
Verder is $sin(/_A) = (1,2)/(1,8)$ en dus is $/_A ~~ 41,8^@$ , zodat $/_ACD ~~ 48,2^@$ .
In de rechthoekige driehoek $DBC$ is $/_DCB ~~ 70^@ - 48,2^@ = 21,8^@$ .
Verder is $tan(21,8^@) = (DB)/(1,2)$ zodat $DB ~~ 0,48$ m.
De lengte van $BC$ kun je nu berekenen met de stelling van Pythagoras of met goniometrie, je vindt $BC ~~ 1,29$ m.

$AB ~~ 1,34 + 0,48 = 1,82$ m en $BC ~~ 1,29$ m.

Je ziet hier vier driehoeken.

Bereken alle onbekende zijden in één decimaal nauwkeurig.

$B C = 5 \cdot \tan (10) \approx 0,9$ .
$A B \approx \sqrt{5^{2} + {0,88}^{2}} \approx 5,1$

$D F = 12 \cdot \cos (72) \approx 3,7$ .
$F E = 12 \cdot \sin (72) \approx 11,4$ .

$H I = 10 / \tan (37) \approx ~ 13,3$ .
$H G \approx \sqrt{10^{2} + {13,27}^{2}} \approx 16,6$ .

Hoogtelijn $M N$ tekenen.
$M N = 14 \cdot \sin (27) \approx 6,36$ en $L N = 14 \cdot \cos (27) \approx 12,47$ .
$K N \approx \sqrt{7^{2} - {6,36}^{2}} \approx 2,56$ , dus $K L \approx 12,47 + 2,56 \approx 13,0$ .

Je ziet hier drie driehoeken.

Bereken alle onbekende hoeken in graden nauwkeurig.

$tan(/_B) = 3/7$ geeft $/_B ≈ 23^@$ . En dus is $/_C ≈ 67^@$ .

$cos(/_E) = 5/17$ geeft $/_E ≈ 73^@$ . En dus is $/_D ≈ 17^@$ .

$K I = 3$ (stelling van Pythagoras).
$cos(/_H) = 4/5$ geeft $/_H ≈ 37^@$ .
$sin(/_G) = 6/7$ geeft $/_G ≈ 59^@$ .
$/_I = 180^@ - 59^@ - 37^@ = 84^@$ .

De toren van Pisa staat al jaren scheef. De toren is $82$ m lang, maar als je een steen neerlaat aan een touw vanaf het laagste punt van de scheve bovenrand, dan raakt de steen de grond als het touw $80$ m lang is.

Hoe groot is dan de hoek die de scheve toren van Pisa met de begane grond maakt?

Teken de situatie en zet de gegevens er in. Maak een rechthoekige driehoek.

Als $alpha$ de gevraagde hoek is, dan is $sin(alpha) = 80/82$ en daaruit volgt $alpha ≈ 77,3^@$ .

Je ziet hier het SmartCover van een iPad2. Dit SmartCover bedekt de iPad volledig, de afmetingen ervan zijn $18,5$ bij $24$ cm. Hij bestaat (zoals je ziet) uit vier aaneengesloten banen van $24$ cm lengte, die echter niet allemaal even breed zijn. De tweede baan van links is ongeveer $5,6$ cm breed en de andere drie zijn $4,3$ cm breed.

Als je het SmartCover oprolt zoals in de figuren hieronder is te zien, dan maakt het scherm een hoek met de tafel waar hij op ligt. Neem voor deze opgave aan dat de iPad en de SmartCover geen dikte hebben.

Hoe groot is de hellingshoek van de iPad met de tafel?

Teken de situatie en zet de gegevens er in.

De hoogte van het driehoekje dat het zijaanzicht van de hoofdsteun van de iPad voorstelt bereken je met de stelling van Pythagoras: $h = \sqrt{{4,3}^{2} - {2,8}^{2}} \approx 3,26$ .
Voor de gevraagde hellingshoek $alpha$ geldt: $sin(alpha) = (3,26)/(18,5)$ , zodat $alpha ≈ 10^@$ .

Je kunt de driehoekige steun nog verder scharnieren en zo de iPad in de kijkstand zetten. Een strook van $4,3$ cm breedte ligt nu op het tafelblad en de tablet leunt tegen een andere strook van $4,3$ cm. Welke hoek maakt de iPad nu met het tafelblad? En hoe hoog zit de bovenrand van de iPad nu boven het tafelblad?

Zie figuur.

De gevraagde hoek is twee keer de grootte van $beta$ en $sin(beta) = (2,8)/(4,3)$ . Dus is de gevraagde hoek ongeveer $81^@$ .

De bovenrand van de tablet zit dan $18,5 * sin(81,3^@) ≈ 18,3$ cm boven tafel.

Je ziet hier een dwarsdoorsnede van een profiel.
Alle afmetingen zijn in mm.

Bereken de afmeting waar het vraagteken bij staat in tienden van mm nauwkeurig.

Zet in de figuur een rechthoekige $Delta ABC$ met $/_A = 80^@$ en $/_B = 90^@$ . Punt $C$ ligt dan bovenaan het schuine profiel.

$tan(/_A) = (BC)/(AB) = 10/(AB)$ geeft $AB ~~ 10/(tan(80^@)) ~~ 1,76$ .
Dus de gevraagde afmeting is ongeveer $10 + 2*1,76 ~~ 13,5$ mm.

Je ziet hier een dwarsdoorsnede van een zinken goot.
Alle afmetingen zijn in mm.
De omtrek van een cirkel met diameter $d$ is $pi*d$ .

Bereken de breedte van de plaat zink die nodig is om deze goot te vormen en bereken de grootte van de hoeken waaronder de plaat moet worden gebogen.

De totale breedte is de omtrek van een cirkel met diameter $20$ mm en vier rechte stukken waarvan niet alle lengtes bekend zijn plus rechtsboven een omgebogen rand van $8$ mm.
Het schuine rechte stuk $AB$ heeft een lengte van $AB = sqrt(180^2 + 40^2) ~~ 184$ mm.
Het schuine rechte stuk $CD$ heeft een lengte van $CD = sqrt(180^2 + 140^2) ~~ 228$ mm.
De totale breedte van de plaat zink is $pi*20 + 40 + 184 + 140 + 228 + 8 ~~ 663$ mm.

$tan(alpha) = 180/40$ geeft $alpha ~~ 77,5^@$ .
$tan(beta) = 180/140$ geeft $beta ~~ 52,1^@$ .
Ga ervan uit dat de buigmachine zo is ingesteld, dat steeds over een zo klein mogelijke hoek wordt gebogen.
Bij $A$ moet over een hoek van $77,5^@$ worden gebogen.
Bij $B$ moet over een hoek van $77,5^@$ worden gebogen.
Bij $C$ moet over een hoek van $52,1^@$ worden gebogen.
En bij $D$ moet over een hoek van $180^@$ worden gebogen.

Theodoliet

Bekijk de tekening. Een vliegtuig begint op $4$ km hoogte aan zijn landing.

Bereken de vliegafstand die hij nog moet gaan voordat hij de landingsbaan bereikt.

Noem de vliegafstand $a$ , dan is $sin(20^@) = 4/a$ , zodat $a = 4/(sin(20^@)) ~~ 11,7$ km.

Bekijk de tekening. Landmeters gebruiken een theodoliet om hellingshoeken te meten.
Een theodoliet is op een statief $1,40$ m boven de grond geplaatst en staat op $15$ m voor een gebouw.

Bereken de hoogte van het gebouw.

Er geldt $tan(30^@) = h/15$ , dus $h = 15*tan(30^@) ~~ 8,66$ m.
De hoogte van het gebouw is ongeveer $8,66+1,40 = 10,06$ m.

Een vliegtuig vliegt $2500$ m vanaf de startbaan onder een vaste hoek naar een hoogte van $800$ m.
Onder welke hellingshoek verliep dat deel van de vlucht?

$~~ 18,7^@$ .

Nu geldt $sin(alpha) = 800/2500$ , dus de hellingshoek is $alpha ~~ 18,7^@$ .

Een spoorwegovergang wordt omgebouwd tot een spooronderdoorgang.
Het wegdek dat ongeveer horizontaal over de spoorwegovergang loopt moet daartoe onder een hoek van $4^@$ naar beneden worden gelegd tot het laagste punt op $5$ m onder het spoor. Vanaf dat punt moet het onder dezelfde hoek weer omhoog gaan.

Hoe lang zijn de twee hellende stukken wegdek samen?

Ongeveer $143,4$ m lang.

Noem de lengte van het wegdek dat onder een hoek van $4^@$ naar beneden loopt $l$ .

Er geldt $sin(4^@) = 5/l$ .
Hieruit volgt $l = 5/(sin(4^@)) ~~ 71,7$ m.
De totale lengte van het hellende wegdek wordt $143,4$ m lang.

Een plaatje in de vorm van een rechthoekige driehoek $ABC$ heeft een rechte hoek bij $C$ en rechthoekszijden $AC = 12$ cm en $BC = 8$ . Het plaatje wordt in twee rechthoekige driehoeken $ADC$ en $DBC$ gezaagd.
Bereken de lengtes van de rechthoekszijden van die twee rechthoekige driehoeken in mm nauwkeurig en bereken de hoeken ervan.

$/_A ~~ 33,7^@$ en $/_B ~~ 56,3^@$ .

$AD ~~ 10,0$ cm, $CD ~~ 6,7$ cm en $BD ~~ 4,4$ cm.

Eerst $AB = sqrt(12^2+8^2) ~~ 14,4$ .

Verder is $tan(/_A) = 8/12$ , dus $/_A ~~ 33,7^@$ en $/_B ~~ 90^@ - 33,7^@ = 56,3^@$ .

Dus is $AD ~~ 12*cos(33,7^@) ~~ 10,0$ cm en $CD ~~ 12*sin(33,7^@) ~~ 6,7$ cm.

Tenslotte is $BD ~~ 8*cos(56,3^@) ~~ 4,4$ cm.