waarnemingen weergeven in tabellen en diagrammen;

klassenindeling, klassenbreedte, absolute en relatieve frequentie;

verschillende soorten diagrammen herkennen en benoemen.

onderscheid maken tussen kwalitatieve en kwantitatieve statistische variabelen;

manieren om een steekproef uit een populatie te trekken en het belang van herhaalbaarheid van een steekproef.

Je ziet hier de voetlengtes van $100$ mannen. Erg overzichtelijk weergegeven zijn deze gegevens zo niet.

Ruwe data zoals deze probeer je overzichtelijker weer te geven.

Daarbij gebruik je vaak een frequentietabel. In dit geval ligt het voor de hand om de voetlengtes onder te brengen in klassen met een klassenbreedte van $1,0$ cm, dus klassen als $20,5 - lt 21,5$ , $21,5 - lt 22,5$ , enzovoort. De klassenmiddens zijn dan $21$ , $22$ , ...
Het aantal keer dat een bepaalde voetlengte in zo'n klasse voorkomt heet de absolute frequentie.
Je krijgt zo een goed overzicht van de verschillende voetlengtes en kunt er eenvoudig een staafdiagram bij maken. Een staafdiagram met op de horizontale as aaneengesloten oplopende getallen en op de verticale as frequenties heet ook wel een histogram.

Er bestaan nog veel meer soorten diagrammen.
Met behulp van Excel kun je de meeste eenvoudig maken.

Bekijk de Uitleg. Je ziet de voetlengtes van $100$ mannen.

Maak een frequentietabel met de aangegeven klassenbreedte en het bijbehorende staafdiagram.

Het is verstandig om maar meteen met Excel te gaan werken, dus gebruik het Excelbestand.
Tabel:

In het bijgevoegde bestand vind je ook de voetlengtes van $100$ vrouwen.
Maak ook daarvan een staafdiagram. Gebruik dezelfde klassenbreedte.

Is het gemakkelijk om beide staafdiagrammen te vergelijken en daar conclusies uit te trekken?

Je kunt wel zeggen dat de grootste voetlengtes bij de vrouwen zo rond de $26$ cm zitten en bij de mannen zitten die rond de $28$ cm. Maar verder...
De persoon met de kleinste voetlengte is daarentegen een man.

Je kunt ook in plaats van een staafdiagram een lijndiagram maken. Daartoe verbind je de middens van de bovenkanten van de staven door rechte lijnstukjes met elkaar. Maak voor de voetlengtes van de mannen zo'n lijndiagram.

Zie figuur.

De uitslag van de Tweede Kamer verkiezingen van 2017 zie je in dit cirkeldiagram.
Er zijn $150$ zetels te verdelen en de grootste partij (de VVD) heeft er $33$ gekregen.

Reken na dat dit (ongeveer) met de figuur klopt.

$33/150 * 100 = 22$ % en daarbij hoort een sectorhoek van $0,22 * 360^@ = 79,2^@$ .

Zie je in een cirkeldiagram absolute of relatieve frequenties?

Altijd alleen maar relatieve frequenties. Soms staan de absolute frequenties er wel bij.

Je ziet een gestapeld staafdiagram over de wereldwijde investeringen (in miljarden dollars) per type duurzame energiebron. De rode lijn geeft het gemiddelde van de investeringen in het voorgaande jaar.

Waarom zou hier een gestapeld staafdiagram zijn gebruikt?

Je kunt dan goed zien hoeveel er in totaal in duurzame energiebronnen is geïnvesteerd wereldwijd.

Welke informatie vind je, buiten de investeringen in dollars die boven de staven staan, nog meer in het diagram?

In welke duurzame energiebron geïnvesteerd is.

Wat betekent het als in een bepaald kwart de totale staaf onder de rode lijn ligt?
Laat dit voor het eerste kwart van 2009 met een berekening zien.

Dat in dat bepaalde kwart de investeringen in duurzame energiebronnen is gedaald t.o.v. het gemiddelde van het voorafgaande jaar.

In het eerste kwart van 2009 is er $26,2$ mld dollar geïnvesteerd.
In het voorgaande jaar (vier kwarten inclusief dit kwart) gemiddeld $(45,9+41,0+43,1+26,2)//4 = 39,05$ mld dollar.

Bij veel statistische variabelen kun je een frequentietabel maken. Door te tellen hoe vaak een bepaalde waarde van die variabele voorkomt, krijg je de absolute frequentie van die waarde. Deel je die absolute frequentie door het totale aantal waarden, dan krijg je de relatieve frequentie van die waarde. Relatieve frequenties (vaak in procenten uitgedrukt) maken het vergelijken van twee datasets gemakkelijker.

Vaak gebruik je daarbij een klassenindeling. Bij metingen heb je vanwege de meetonnauwkeurigheid eigenlijk altijd met klassen te maken.

In een tabel heb je vaak alle data nauwkeurig voorhanden, maar een diagram geeft vaak beter overzicht en duidelijker een bepaald verloop weer. Er zijn veel soorten diagrammen:

in een beelddiagram worden de waarden of de frequenties weergegeven door figuren;

in een staafdiagram worden de waarden of de frequenties weergegeven door de lengtes van rechthoekige staven;

in een lijndiagram worden de waarden of de frequenties weergegeven door punten in een assenstelsel die door rechte lijnstukken met elkaar worden verbonden;

in een cirkeldiagram worden de waarden of de frequenties weergegeven door de oppervlakte van een cirkelsector; je rekent daarbij relatieve frequenties in procenten om naar hoeken ( $100$ % is $360^@$ );

in een steelbladdiagram worden in de steel de waarden aangegeven, behalve hun laatste cijfer; die laatste cijfers staan naast de steel in oplopende volgorde vanaf de steel;

in een kaartdiagram worden de gegevens in de vorm van een kaart gepresenteerd;

in een puntenwolk of spreidingsdiagram worden twee variabelen tegen elkaar uitgezet en worden de gegevens aangeduid door punten in een assenstelsel.

Bij statistiek probeer je de gegevens zo eerlijk en overzichtelijk mogelijk weer te geven en de lezer/kijker niet te beïnvloeden of voor de gek te houden.

In 1947 hebben de wiskundigen Freudenthal en Sittig een grootscheeps onderzoek gehouden naar de lichaamsmaten van $5001$ vrouwen in opdracht van De Bijenkorf. Daaruit wilde het bedrijf conclusies kunnen trekken betreffende de maatvoering van kleding voor hun vrouwelijke klanten.

Bekijk de tabel van de mouwlengte en de kniehoogte van $5001$ vrouwen die Freudenthal en Sittig maakten bij hun onderzoek. Maak een staafdiagram van de mouwlengtes. Wat zijn de voordelen van een tabel en wat die van een staafdiagram?

Werk met het bestand in Excel en je krijgt dit staafdiagram.

Bij een tabel staan de exacte aantallen waar je mee kunt gaan rekenen. Bijvoorbeeld absolute of relatieve frequenties.

Bij een staafdiagram zie je het verloop van de mouwlengte beter. Je kunt heel makkelijk zien welke lengtes veel of weinig voorkomen.

Bekijk Voorbeeld.

Welke klassenindeling wordt hier vanwege de meetnauwkeurigheid in hele cm gebruikt?

Er zijn klassen van $48,5 - lt 49,5$ , $49,5 - lt 50,5$ , enz.

Je kunt ook een staafdiagram van de mouwlengtes maken met relatieve frequenties.

Leg uit hoe dat gaat.

Je deelt eerst alle absolute frequenties door $5001$ , het totaal aantal vrouwen.

Maak een staafdiagram van de relatieve frequenties van de mouwlengtes.

Werk met Excel.

Maak een lijndiagram van de relatieve frequenties van de kniehoogtes.

Werk met Excel.

Je wilt de concentratie nitraat in landbouwgrond op een bepaald stuk land vaststellen.
Je neemt $50$ monsters, waarvan je hier de resultaten ziet.

Waarom is het nu niet gemakkelijk om een goede waarde voor de nitraatconcentratie door te geven?

De gegevens zijn ongeordend.

Maak een frequentietabel en een staafdiagram bij deze gegevens.
Welke klassenbreedte is daarbij handig?

Een handige klassenbreedte is een klassenbreedte waarbij alle waarden die op hetzelfde gehele getal worden afgerond in dezelfde klasse komen. Dus $20,5 - lt 21,5$ , $21,5 - lt 22,5$ , enz.
Je krijgt dan dit staafdiagram.

Welke waarde voor de concentratie nitraat geef je voor dit stuk landbouwgrond op?

Bijvoorbeeld tussen $23$ en $27$ mg/L.

Je kunt de gegevens van de $50$ monsters ook in een steelbladdiagram weergeven. Je ziet dat hiernaast.

Hoe vaak is er $24,6$ mg/L gemeten?

Drie keer.

Wat is het grote voordeel van zo'n diagram?
Waarom worden er dan niet steeds van deze diagrammen gemaakt?

Je ziet zowel de gemeten waarden als de frequenties.

Ze worden weinig gemaakt omdat het veel werk is om de getallen op volgorde te zetten.
Bovendien staan de getallen niet altijd bij de gehele waarde waarop ze worden afgerond en dat is weer vervelend bij een klassenindeling.

Biogas is een gasmengsel dat ontstaat als gevolg van biologische enzymatische processen.
De samenstelling ervan ziet er meestal zo uit:

product	formule	percentage
methaan	CH4	$60$
koolstofdioxide	CO2	$35$
waterstofdisulfide	H2S	$0-2$
ammoniak	NH3	$0-2$
waterdamp	H2O	$0-2$

Geef deze samenstelling weer in een cirkeldiagram.
Voeg daarin alle stoffen die voor minder dan $5$ % voorkomen samen tot reststoffen.

Je tabel wordt:

product	formule	percentage	sectorhoek
methaan	CH4	$60$	$216^@$
koolstofdioxide	CO2	$35$	$126^@$
reststoffen	H2S	$5$	$18^@$

Je kunt natuurlijk ook gewoon Excel gebruiken, dan hoef je geen sectorhoeken om te rekenen.

Bekijk het maken van een cirkeldiagram in Voorbeeld.

Hoe bereken je de sectorhoeken?

Omdat bijvoorbeeld methaan $60$ % van de cirkel moet krijgen en elke cirkel $360^@$ is, is de sectorhoek $0,60 * 360^@ = 216^@$ . En zo gaat dat bij de andere sectorhoeken ook.

Maak zelf het cirkeldiagram in het voorbeeld.

Werk met een geodriehoek en een passer. Of werk met Excel.

Van $15$ gram tin en $80$ gram koper kun je $95$ brons maken.

Geef de samenstelling van brons weer met een cirkeldiagram.

Het percentage tin moet $15/95*100~~15,8$ zijn, dat is een sectorhoek van ongeveer $59^@$ . De rest wordt koper.

Een spreidingsdiagram (puntenwolk) gebruik je als je twee statistische variabelen wilt vergelijken. Hier gaat het om het vergelijken van de lengtes in cm met de gewichten in kg van een groep jonge mannen.

Tussen welke waarden ligt het gewicht van een jonge man van $180$ cm?

Kun je zeggen dat een langer iemand altijd zwaarder is dan een kleiner iemand?

Allereerst moet je aannemen dat deze steekproef representatief is voor alle jonge mannen om zo'n uitspraak te kunnen doen.

Je ziet dat bij de mannen die $180$ cm het laagste gewicht $56$ kg en het hoogste gewicht $70$ kg is. Maar bij net iets kortere en net iets langere mannen zijn gewichten te vinden van $49$ kg en $80$ kg.
Een redelijke schatting zou dus zijn: tussen $50$ en $80$ kg.

Je kunt niet zeggen dat een langer iemand altijd zwaarder is dan een kleiner iemand. Maar er lijkt wel een tendens dat langere jonge mannen ook in het algemeen zwaarder zullen zijn dan kleinere.

Je zult later nog meer leren over hoe je uit spreidingsdiagrammen conclusies kunt trekken.

Bekijk het werken met een spreidingsdiagram in Voorbeeld.

Is deze steekproef van $100$ jongeren representatief als hij bestaat uit alle jongeren van één opleiding?

Nee, waarschijnlijk niet, je moet een goede doorsnede van de samenleving hebben en dan nog gaat het waarschijnlijk om alleen jongeren die in een beperkt gebied wonen. Als je het over de hele wereldbevolking wilt hebben moet je een veel grotere steekproef samenstellen.

Verwacht je bij jonge vrouwen net zo'n spreidingsdiagram?

Ja en nee. Er zal een vergelijkbare spreiding zijn, maar vrouwen zijn in het algemeen wat kleiner dan mannen.

Hoe zwaar zal een jonge man van $1,65$ m ongeveer zijn?

Tussen de $50$ en de $60$ kg.

In een laboratorium wordt de hoeveelheid eiwit in eiersalade gemeten. Van een bepaalde fabrikant worden $20$ kuipjes eiersalade onderzocht. Een laborant meet daarin de volgende percentages eiwit afgerond op gehele procenten.

Je wilt hier voor de overzichtelijkheid een staafdiagram bij maken.
Welke klassenindeling gebruik je?

Bij voorkeur gewoon de meetnauwkeurigheid van gehele procenten, dus dan heb je eigenlijk klassen van $59,5 - lt 60,5$ , $60,5 - lt 61,5$ , enzovoort.

Maak een frequentietabel.
Gaat het om absolute of relatieve frequenties?

Het gaat om relatieve frequenties.

Maak het bijbehorende staafdiagram.

Welk percentage eiwit bevat deze eiersalade?

Ongeveer $65 +- 5$ % is een veilige uitspraak.

Je ziet de medaillespiegel van de Olympische Spelen van 2012 in Londen, met alleen de beste twaalf landen.

Welke statistische variabelen zie je in het diagram?

Je ziet de variabelen: land, en (metaal)kleur.

Zijn de variabelen kwantitatief of kwalitatief?

Kwalitatief.

Wat geeft elke staaf in het diagram weer?

Het aantal behaalde medailles van elke kleur.

Waarom is er een 3D-diagram gebruikt?

Omdat de frequenties van twee variabelen tegelijk worden weergegeven: land en medaillekleur.

Welk land heeft de meeste gouden medailles gewonnen?

De Verenigde Staten ( $46$ stuks).

Welk land won de meeste bronzen medailles?

Rusland ( $32$ stuks).

Deze gegevens kun je ook in een (gestapeld) staafdiagram weergeven.
Wat is daarvan het voordeel? En wat is het nadeel?

Bij een gestapeld diagram had je direct kunnen zien welk land de meeste medailles in totaal heeft; de verdeling voor de verschillende kleuren onderling tussen de landen valt een beetje weg (op de onderste kleur na).

De diagrammen geven een beeld van de groei van de Nederlandse bevolking.

Wat voor soort diagrammen zijn het?

Lijndiagrammen.

Beschrijf wat je hieruit kunt aflezen.

Over de jaren 1960 t/m 2005 kan de groei van de Nederlandse bevolking afgelezen worden: in totaal, door natuurlijke aanwas en door migratie.

Hoe leid je het diagram van de totale bevolkingsgroei uit de andere twee diagrammen af?

$text(totale bevolkingsgroei) =$ $text(natuurlijke aanwas) + text(migratiesaldo)$

Welke conclusie kun je trekken uit het diagram?

Het inwoneraantal van Nederland neemt toe, maar de groei gaat steeds minder snel.

In deze twee cirkeldiagrammen wordt het bodemgebruik per hectare van Zuid-Holland met dat van heel Nederland vergeleken.

Welke statistische variabele zie je?
Is deze variabele kwantitatief of kwalitatief?

Het oppervlaktegebruik van Zuid-Holland en Nederland. Deze variabele is kwalitatief, de getallen zijn frequenties.

Laat met een berekening zien hoe groot de relatieve frequentie en de sectorhoek van bebouwde grond in Zuid-Holland is.

$50450/344585 * 360^@ ~~ 0,146*360^@ ~~ 53^@$ .
De relatieve frequentie is ongeveer $14,6$ % en de sectorhoek is ongeveer $53^@$ .

De getallen in beide diagrammen verschillen nogal, toch kun je in één oogopslag zien dat er in Zuid-Holland relatief gezien veel minder bossen zijn dan in Nederland. Hoe zie je dat?

Doordat de cirkelsector bossen bij Zuid-Holland duidelijk kleiner is dan bij Nederland als geheel.

Bij een cirkeldiagram gaat het eigenlijk om de oppervlakte van een cirkelsector. Wat is er dan mis als je de eerste figuur met de tweede figuur vergelijkt?

Het cirkeldiagram van Zuid-Holland had veel kleiner getekend moeten zijn dan dat van heel Nederland.

Dezelfde gegevens kun je ook in een staafdiagram met absolute frequenties weergeven. Wat geeft deze figuur beter weer?

De figuur laat de absolute verschillen tussen Zuid-Holland en Nederland beter zien.

Je ziet hier een steelbladdiagram van een aantal snelheidsmetingen binnen de bebouwde kom van A. De maximale snelheid binnen de bebouwde kom is $50$ km/h. De politie accepteert een meetonnauwkeurigheid van $3$ km/h.

Hoeveel metingen zijn er verricht?

$20$ metingen.

Hoeveel overtredingen van de maximumsnelheid waren daar bij?

Er is van een overtreding sprake als er meer dan $53$ km/h wordt gemeten.
Dan is bij $10$ metingen het geval.

Hoeveel procent van de snelheidsovertreders reed meer dan $5$ te snel?

Er moet dan meer dan $58$ km/h worden gemeten.

$5/10 * 100 ~~ 50$ %.

Hoeveel procent van de snelheidsovertreders reed op een scooter of een motor?

$3/10 * 100 ~~ 30$ %.

Bekijk het diagram van het aantal ongevallen op de werkplek in Vlaanderen in de periode 1980-2008.

Welk soort diagrammen zie je in dit overzicht?

Lijndiagram en staafdiagram.

Wat is de populatie en wat zijn de statistische variabelen?

Populatie: werkenden in Vlaanderen.

Variabelen: aantal ongevallen en het aantal ernstige ongevallen.

Hoeveel bedroeg het aantal ongevallen op de werkplek in 2000? Hoeveel daarvan waren ernstig? Hoeveel procent is dat?

$210000$ ongevallen, waarvan $13250$ ernstig. Dat is $6$ % (of $6,3$ %).

$13250/210000 * 100 ~~ 6,3$ , dus ongeveer 6,3%

Welk misverstand kan bij het diagram heel snel ontstaan?

Je kunt denken dat het staafdiagram het aantal ongevallen betreft. Het staafdiagram gaat echter over het aantal ernstige ongevallen. Ook lijkt het in eerste instantie alsof er meer ernstige ongevallen zijn dan het totaal aantal ongevallen. Dit komt doordat er een verschillende schaalverdelingen zijn.

Tussen welke statistische variabelen probeert het diagram een verband te leggen?

Een verband tussen het aantal ongevallen en het aantal ernstige ongevallen in Vlaanderen.

Noem een voor- en een nadeel van het diagram.

Voordeel: je kunt het percentage ernstige ongevallen van het totale aantal ongevallen bepalen zoals bij vraag c.

Nadeel: het diagram kan misverstanden opleveren en is niet echt duidelijk; er staat wel erg veel informatie in.

RVS (roestvast staal) van een bepaald type bestaat uit $16$ % chroom, $10$ % nikkel, $2$ % molybdeen en de rest ijzer met een heel klein beetje koolstof.

Hoeveel procent ijzer met koolstof bevat dit RVS?

$72$ %

$100 - 16 - 10 - 2 = 72$ %

Teken een bijpassend cirkeldiagram.

Zie figuur.

Chroom, sectorhoek $0,16*360^@ = 57,6^@$ .
Nikkel, sectorhoek $0,10*360^@ = 36^@$ .
Molybdeen, sectorhoek $0,02*360^@ = 7,2^@$ .
En de rest is ijzer met een klein beetje koolstof.

Van gegevens die in Excel beschikbaar zijn kun je gemakkelijk diagrammen maken, zie Statistiek: Data presenteren.