een lineair verband tussen twee variabelen herkennen;

bij een (in woorden beschreven) lineair verband een passende formule opstellen;

het hellingsgetal (richtingscoëfficiënt) herkennen;

berekeningen met lineaire verbanden uitvoeren.

het begrip variabele en de basisbewerkingen met getallen en variabelen uitvoeren;

tabellen maken en grafieken tekenen bij formules van twee variabelen;

werken met recht evenredige verbanden.

In het deel van de atmosfeer waarin het menselijk leven plaats vindt daalt de luchttemperatuur elke km dat je hoger komt gemiddeld met ongeveer $6,5$ °C. Onder bepaalde weersomstandigheden kan met de formule $T = 25 - 0,0065 h$ temperatuur $T$ in graden celsius op een hoogte van $h$ meter worden berekend. Dat is handig voor bijvoorbeeld bergbeklimmers, dan weten ze welke temperaturen ze tijdens de klim kunnen verwachten.

Hoe ziet de grafiek van $T$ afhankelijk van $h$ er uit?

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 25)$ en bijvoorbeeld $(1000; 18,5)$ .

Is er sprake van een recht evenredig verband tussen $T$ en $h$ ? Waarom?

Nee, want als de hoogte twee keer zo groot wordt, wordt de temperatuur niet twee keer zo klein.

Bereken de temperatuur op $7500$ meter hoogte.

$T = 25 - 0,0065*7500 =text(-)23,75$

Op welke hoogte komt de temperatuur voor het eerst onder het vriespunt?

Als $25 - 0,0065 h = 0$ en dit levert op $h = 25 // 0,0065 ~~ 3846$ . Dus ergens tussen de $3840$ en $3850$ m hoogte.

De grafiek bij de formule $y = \frac{1}{3} x + 1$ is een rechte lijn.
Want als je begint met de uitkomst voor $x = 0$ te berekenen ( $y = 1$ ), dan wordt daarna elke keer dat je de $x$ -waarde met $1$ verhoogt, de $y$ -waarde met $\frac{1}{3}$ verhoogd. En als je de $x$ -waarde met $1$ verlaagt, dan wordt de $y$ -waarde met $\frac{1}{3}$ verlaagd. Dat getal $\frac{1}{3}$ is de coëfficiënt van $x$ en bepaalt de richting van de lijn. Het is de richtingscoëfficiënt of ook wel het hellingsgetal van de lijn.

Bij een formule die in de vorm $y = ...$ (met op de stippeltjes een uitdrukking met alleen $x$ als variabele) staat, zeg je dat $y$ een lineaire functie is van $x$ .

Door in de formule $x=0$ in te vullen vind je het snijpunt van de grafiek met de $y$ -as.
Voor het snijpunt van de grafiek met de $x$ -as moet je $1/3 x + 1 = 0$ oplossen. Dat geeft $x = text(-)3$ , dus het snijpunt met de $x$ -as is $(text(-)3, 0)$ .

Bekijk de Uitleg.

Leg uit hoe je bij de formule $y = \frac{1}{3} x + 1$ snel een grafiek kunt tekenen.

Je berekent eerst het punt op de $y$ -as door $x = 0$ in te vullen. Je tekent dan het punt $(0, 1)$ en vervolgens zet je het volgende punt bij $x = 1$ op $y = 1 \frac{1}{3}$ (dus $\frac{1}{3}$ hoger dan het vorige punt) en zo ga je door. Het punt bij $x = 3$ komt dan precies $3 * 1/3 = 1$ hoger te liggen dan je beginpunt. Enzovoorts...

Teken snel een grafiek bij de formule $y = - 0,25 x + 4$ . Welke richtingscoëfficiënt heeft deze rechte lijn?

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 4)$ en $(4, 3)$ . De richtingscoëfficiënt is $- 0,25$ .

Teken snel een grafiek bij de formule $y = 4 x - 6$ . Welke richtingscoëfficiënt heeft deze rechte lijn?

De grafiek is een rechte lijn door $(0, - 6)$ en $(1, 2)$ . De richtingscoëfficiënt is $4$ .

Teken snel een grafiek bij de formule $y = 5 - x$ . Welke richtingscoëfficiënt heeft deze rechte lijn?

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 5)$ en $(1, 4)$ . De richtingscoëfficiënt is $- 1$ .

Hoe kun je aan de richtingscoëfficiënt zien of de grafiek daalt of stijgt?

De grafiek stijgt als de richtingscoëfficiënt positief is en daalt als hij negatief is.

Hoe ziet de grafiek er uit als de richtingscoëfficiënt $0$ is? Geef een voorbeeld van een formule waarin dit zo is.

De grafiek is dan een rechte lijn evenwijdig aan de $x$ -as. Bijvoorbeeld $y = 4$ is een formule waarbij de richtingscoëfficiënt $0$ is.

Gegeven is de lineaire functie $y = text(-)1/3 x + 6$ .

Welk punt op de $y$ -as ligt op de grafiek van deze functie? Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van de bijbehorende rechte lijn?

Punt $(0, 6)$ , r.c.= $text(-)1/3$ .

Teken de grafiek van deze functie.

Teken $(0, 6)$ . Omdat de $y$ -waarde met $text(-)1/3$ toeneemt telkens als de $x$ -waarde met $1$ toeneemt, gaat de grafiek ook door $(3, 5)$ . Trek een rechte lijn door die twee punten.

Bereken het snijpunt met de $x$ -as van deze grafiek.

$text(-)1/3x+6=0$ oplossen geeft $x = 18$ . Dus $(18, 0)$ .

Voor welke waarde van $x$ geldt $y = 30$ ?

$text(-)1/3x+6=30$ oplossen geeft $x = text(-)72$ .

Een variabele $y$ is een lineaire functie van $x$ als er een formule bijhoort van de vorm

$y = a*x + b$

met $a$ en $b$ willekeurige reële getallen.

De bijbehorende grafiek is een rechte lijn.
De formule $y = a*x + b$ is de vergelijking van de lijn.

In de applet kun je met de schuifknop de waarden van $a$ en $b$ veranderen.

$a$ heet de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal van de lijn. Dit getal geeft de toename of afname van $y$ als $x$ met $1$ wordt verhoogd. $a$ bepaalt hoe schuin de lijn omhoog of omlaag loopt.

$b$ bepaalt het snijpunt met de $y$ -as, dat is $(0, b)$ .

Bij elke rechte (niet verticale) lijn in een $x y$ -assenstelsel hoort een lineaire functie die het verband tussen $x$ en $y$ beschrijft. Bij een verticale lijn kun je geen functie maken.

Gegeven is de formule $y = 1,5 x + 3$ .
Omdat deze formule de vorm $y = a*x + b$ heeft, is $y$ een lineaire functie van $x$ . De grafiek is een rechte lijn die je snel kunt tekenen omdat

hij door het punt $(0, 3)$ moet gaan;

het hellingsgetal $1,5$ is, wat betekent dat het vergroten van de $x$ -waarde met $1$ een toename van de $y$ -waarde met $1,5$ tot gevolg heeft.

Zo kun je gemakkelijk meer punten van de rechte lijn vinden en hem tekenen.
De formule heet ook wel de vergelijking van de lijn.

Door in de applet de waarden van $a$ en $b$ te veranderen, kun je van andere lineaire functies de grafiek maken.

Bekijk het voorbeeld hierboven en werk met de applet.

Stel de juiste waarde van $a$ en $b$ in en maak de grafiek van de lijn met vergelijking $y = 2 x + 1$ .

Doen.

Waarom weet je zeker dat de grafiek van $y = 2 x + 1$ door $(0, 1)$ gaat?

Als je $x = 0$ invult in de formule krijg je $y = 1$ .

Het punt $(100, 201)$ ligt op deze lijn. Ga dat na en bereken met behulp van de richtingscoëfficiënt van de lijn het punt dat hoort bij $x = 101$ .

Als je $x = 100$ invult in de formule krijg je $y = 201$ . Ga je naar $x = 101$ , dan neemt de $y$ -waarde met $2$ toe en die wordt dus $y = 203$ .

Teken de grafieken van de volgende lineaire functies. Controleer je antwoorden met behulp van de applet.

$y_{1} = x - 3$

$y_{2} = - 0,5 x$

$y_{3} = - x + 1$

$y_{4} = 5 - 2 x$

$y_{5} = 3$

Doen. Let op: eerst zelf tekenen en achteraf pas controleren!
Eventueel kun je dit samen met een medeleerling nog meer oefenen door elkaar lineaire functies op te geven.

Gegeven zijn de lineaire functies $y = 0,5 x + b$ . Voor welke waarde van $b$ gaat de grafiek door het punt $(3, 5)$ ?

Vul $x = 3$ en $y = 5$ in de gegeven formule in. Je vindt: $5 = 0,5*3 + b$ .

Dit levert op: $b = 3,5$ .

Bekijk ook met behulp van de applet wat dit voor de grafiek betekent. Stel eerst $a = 0,5$ in en varieer daarna de waarde van $b$ tot de grafiek door het gegeven punt gaat.

Gegeven zijn de lineaire functies $y = a x + 6$ .

Voor welke waarde van $a$ gaat de grafiek door het punt $(3, 5)$ ?

Vul $x = 3$ en $y = 5$ in de gegeven formule in. Je vindt: $5 = a*3 + 6$ .

Dit levert op: $3 a = - 1$ en dus $a = - \frac{1}{3}$ .

Met de applet in Voorbeeld kun je de waarde van $a$ benaderen.

De functies $y = a x + 1$ hebben als grafiek een rechte lijn.

Voor welke waarden van $a$ loopt de grafiek van zo'n functie evenwijdig met de lijn $y = 6 - 0,5 x$ ?

De lijn $y = 6 - 0,5 x$ heeft als richtingscoëfficiënt $- 0,5$ .

Evenwijdige lijnen hebben dezelfde richting en dus dezelfde richtingscoëfficiënt. Dus moet $a = - 0,5$ .

Vier lineaire functies zijn gegeven door de vergelijkingen $y_{1} = 2 x + 1$ , $y_{2} = - 2 x + 1$ , $y_{3} = 2 x + 5$ en $y_{4} = - 0,5 x + 5$ .

Teken de vier bijbehorende rechte lijnen in één assenstelsel.

Doen.

Bij welke van deze lineaire functies hoort een rechte lijn die evenwijdig loopt met die van $y_{1} = 2 x + 1$ ? Hoe kun je dat aan de formule zien?

Dat geldt voor $y_{3} = 2 x + 5$ . Aan de formules zie je dit omdat de richtingscoëfficiënten gelijk zijn, allebei $2$ .

Wat valt op aan de twee lijnen die horen bij $y_{3}$ en $y_{4}$ ?

Die twee lijnen staan loodrecht op elkaar.

Black Diamond Mine

In mijnen geldt als vuistregel dat de temperatuur $0,025$ °C stijgt voor elke meter die je in de mijn afdaalt. Op een bepaald moment is de buitentemperatuur bij de ingang van een mijnschacht vast op $20$ °C.

Welke temperatuur verwacht je dan op een diepte van $300$ meter?

$20 + 300*0,025 = 27,5$ °C.

Stel bij de buitentemperatuur van $20$ °C een formule op voor $T$ (de temperatuur in de mijn in °C) afhankelijk van $d$ (de diepte in meters).

$T = 20 + 0,025 d$

Een mijnwerker meet op dat moment een temperatuur van $34,3$ °C. Hoe diep zit hij?

$20 + 0,025 d = 34,3$ betekent $0,025 d = 14,3$ en dus $d = 572$ m. Hij zal dus ongeveer $572$ m diep zitten.

Op een ander tijdstip meet een mijnwerker die op $684$ meter diepte zit een temperatuur $37,8$ °C.

Wat is op dat tijdstip de buitentemperatuur?

$b + 0,025*684 = 37,8$ geeft $b = 20,7$ °C.

Een kaars met een lengte van $40$ cm brandt elk uur nadat hij is aangestoken $0,125$ cm op. De lengte $l$ (in cm) van deze kaars hangt af van de brandtijd $t$ (in uur).

Welke formule geldt voor $l$ afhankelijk van $t$ ? Waarom is hier sprake van een lineaire functie?

$l = 40 - 0,125 t$ is een lineaire functie van $t$ . Dat dit zo is, komt door de aanname dat de kaars elk uur $0,125$ cm opbrandt.

Welke vergelijking hoort er bij de vraag: Na hoeveel uur is de kaars opgebrand??

$40 - 0,125 t = 0$

Los deze vergelijking op en geef antwoord op de bij b gestelde vraag.

Je vindt $t = 320$ uur, dus na $320$ uur is deze kaars op.

Door de formule $y = 2 x + b$ is een hele serie lineaire functies gegeven.

Als $b = 5$ krijg je één van die functies. Teken de bijbehorende grafiek.

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 5)$ en $(2, 9)$ .

Voor welke waarde van $b$ gaat de grafiek door het punt $(7, 12)$ ?

$2*7 + b = 12$ geeft $b = - 2$ .

Voor welke waarde van $b$ is $(12, 0)$ het snijpunt van de grafiek met de $x$ -as?

$2*12 + b = 0$ geeft $b = - 24$ .

Door de formule $y = a x + 10$ is een hele serie lineaire functies gegeven.

Door welk punt gaan alle grafieken van deze functies?

Door $(0, 10)$ .

Voor welke waarde van $a$ gaat de grafiek door het punt $(7, 12)$ ?

$a*7 + 10 = 12$ geeft $a = \frac{2}{7}$ .

Voor welke waarde van $a$ is zo'n functie evenwijdig met de lijn die hoort bij de formule $x + 2 y = 4$ ?

De formule $x + 2 y = 4$ kun je herleiden tot $y = - 0,5 x + 2$ . Alleen als $a = - 0,5$ zijn beide lijnen evenwijdig.

electriciteitsmeter

Ieder huishouden verbruikt energie. Meestal betreft dat gas en elektra. De prijs daarvoor hangt natuurlijk af van de leverancier en bestaat uit twee gedeelten: een prijs voor het verbruik en een vaste leveringsprijs, die het vastrecht wordt genoemd. In huis heb je meters die het verbruik registreren. Hiernaast zie je een electriciteitsmeter.

Bij een bepaalde energieleverancier betaal je bijvoorbeeld:

voor het verbruik van gas:
een vastrecht van 45,00 per jaar en daar boven op 0,38 per verbruikte m3

voor het verbruik van electriciteit:
een vastrecht van 52,00 per jaar en daar boven op 0,07 per verbruikte kWh (kiloWattuur)

Hierboven vind je enkele gegevens over de kosten voor het energieverbruik van huishoudens.

Een gemiddeld vierpersoons huishouden verbruikt ongeveer $1950$ m3 gas per jaar. Hoeveel moeten ze daarvoor bij deze leverancier betalen?

$45 + 1950*0,38 = 786$ euro.

Een gemiddeld vierpersoons huishouden verbruikt ongeveer $4800$ kWh electriciteit per jaar. Hoeveel moeten ze daarvoor bij deze leverancier betalen?

$52 + 4800*0,07 = 388$ euro.

Leid uit de tekst een formule af voor de kosten $K_{g}$ per jaar afhankelijk van het aantal verbruikte m3 gas $g$ . Leid ook een formule af voor de kosten $K_{e}$ per jaar afhankelijk van het aantal verbruikte kWh electriciteit $e$ .

$K_{g} = 45 + 0,38 g$ en $K_{e} = 52 + 0,07 e$

Jordi woont op een studentenkamer en verbruikt jaarlijks ongeveer $430$ m3 gas en $1100$ kWh electriciteit. Zijn vriendin Amira heeft een eigen appartement en verbruikt jaarlijks ongeveer $680$ m3 gas en $1600$ kWh electriciteit. Jordi trekt bij Amira in. Hun gezamenlijk verbruik is nu ongeveer $760$ m3 gas en $1840$ kWh electriciteit. Ze zijn allebei bij deze energieleverancier.

Zijn ze nu goedkoper uit?

Jordi alleen is 337,40 per jaar kwijt en Amira alleen is 467,40 per jaar kwijt. Samen zijn ze 514,60 per jaar aan energiekosten kwijt. Ze besparen dus 290,20 per jaar.

Bij een bepaalde waterleidingmaatschappij betaal je 1,20 per kubieke meter water. Daarnaast betaal je ook een bedrag voor vaste lasten zoals administratie en onderhoud van de leidingen. Die vaste lasten bedragen bij deze maatschappij 40,00 per jaar.

Je verbruikt per jaar $a$ m3 water. Waarom zijn de kosten voor het waterverbruik exclusief de vaste lasten recht evenredig met $a$ ?

Als je de vaste lasten niet meetelt, dan betaal je bij een twee keer zo groot verbruik ook twee keer zoveel.

Welke formule geldt voor de totale jaarlijkse kosten voor het waterverbruik $K$ inclusief de vaste lasten?

$K = 40 + 1,20 a$

Iemand moet over 2010 voor het waterverbruik 810,40 betalen. Hoeveel m3 water heeft hij dat jaar verbruikt.

Los de bijbehorende vergelijking op. Je vindt een waterverbruik van $642$ m3.

Gegeven is de lineaire functie met vergelijking $y = 0,25x + 4$ .

Welk punt op de $y$ -as ligt op de grafiek van deze functie? Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van de bijbehorende rechte lijn?

Punt $(0, 4)$ , r.c.= $0,25$ .

Teken de grafiek van deze functie.

Teken $(0, 4)$ . Omdat de $y$ -waarde met $0,25$ toeneemt telkens als de $x$ -waarde met $1$ toeneemt, gaat de grafiek ook door $(4, 5)$ . Trek een rechte lijn door die twee punten.

Bereken het snijpunt met de $x$ -as van deze grafiek.

$0,25x+4=0$ oplossen geeft $x = text(-)16$ . Dus $(text(-)16, 0)$ .

Voor welke waarde van $x$ geldt $y = 1000$ ?

$0,25x+4=1000$ oplossen geeft $x = 3984$ .

Van een andere lineaire functie loopt de grafiek evenwijdig met die van de gegeven functie. Die grafiek gaat door $(2, 0)$ . Welke formule hoort er bij die functie?

$y = 0,25x - 0,5$ . (Teken de grafiek en lees het snijpunt met de verticale as af.)

Voor het verbruik van water betaalt elk huishouden een vast bedrag per jaar plus een prijs met verbruikte m3 water. Bij een bepaalde aanbieder is het vaste bedrag 45,= en moet je 1,05 per m3 betalen.

Welke formule kun je hierbij opstellen voor de jaarlijkse kosten $K$ bij een verbruik van $a$ m3?

$K = 1,05a + 45$ .

Hoeveel betaalt een huishouden aan deze aanbieder voor een verbruik van $120$ m3 water in een bepaald jaar?

$K = 1,05*120 + 45 = 171$ euro.

Als een bepaald huishouden 200 moet betalen voor het waterverbruik in een bepaald jaar, hoeveel water hebben ze dan dat jaar verbruikt?

$1,05a + 45=200$ oplossen geeft $a ~~ 147,6$ . Dus ongeveer $148$ m3.