Formules en grafieken — Lineaire functies — Totaalbeeld

Met formules heb je al leren werken. In dit onderwerp is het begrip lineaire functie ingevoerd en je hebt geleerd hoe je een formule moet maken bij een lineaire functie als twee punten van de grafiek zijn gegeven. Ook het werken met (lineaire) vergelijkingen om snijpunten en nulpunten te berekenen is voorbij gekomen.

Je hebt nu alle theorie van Lineaire verbanden doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

recht evenredigevenredigheidsconstante lineaire functiehellingsgetal = richtingscoëfficiënt begingetal vergelijking van een lijn lineaire vergelijking een recht evenredig verband en de evenredigheidsconstante herkennen en de grafiek ervan tekenen; een lineaire functie en de richtingscoëfficiënt herkennen en de grafiek ervan tekenen; formule, vergelijking opstellen van een lijn door twee gegeven punten; snijpunten en nulpunten bij grafieken van lineaire functies berekenen en interpreterenlineaire vergelijkingen oplossen.

Hier zie je enkele lijnen getekend. De meeste rechte lijnen zijn de grafiek van een lineaire functie.

Welke van de getekende rechte lijnen is dat niet? En waarom niet?

De lijn m want die is verticaal en daarvoor geldt x=-1 , dus je kunt er geen formule van de vorm y=... bij maken.

Bij lijn n kun je gemakkelijk de richtingscoëfficiënt aflezen. Stel een vergelijking op bij deze lijn.

De richtingscoëfficiënt is 3.

De lijn gaat door het punt (4,1) , dus de bijpassende formule is y=3x-11 .

Stel ook een formule op bij de lijn l.

Deze lijn gaat door (1,8) en (4,0) , dus de richtingscoëfficiënt is 0-84-1=-83 .

De lijn gaat door het punt (4,0) , dus de bijpassende formule is y=-83x+323 .

Welke formule hoort er bij lijn p?

y=3

In de figuur bij Opgave zie je enkele lijnen getekend. Bij de meeste rechte lijnen heb je een vergelijking opgesteld.

Bereken het exacte snijpunt van de lijnen l en n.

3x-11=-83x+323 geeft x=6517 .
Het snijpunt wordt (6517,817) .

Lijn q gaat door het snijpunt van de lijnen m en p en door het punt (5,0) . Onderzoek of de lijnen q, l en n door één punt gaan.

Bij lijn q hoort de lineaire functie y=-0,5x+2,5

Als het snijpunt van l en n aan deze formule voldoet, dan ligt het op lijn q en gaan de drie lijnen door één punt. Door invullen van het bij a berekende snijpunt kun je nagaan dat dit niet het geval is.

Bereken de exacte coördinaten van het nulpunt van de lineaire functie die bij lijn n hoort.

3x-11=0 geeft x=113 . Het nulpunt is (113,0) .

Gegeven zijn de lineaire formules x-3y=9 en 4x+2y=9 .

Laat zien dat beide formules te herleiden zijn tot lineaire functies van x.

x-3y=9 wordt y=13x-2 .
4x+2y=9 wordt y=-2x+4,5 .

De lijn p is evenwijdig met de grafiek van x-3y=9 en gaat door het punt (3;5) . Welke lineaire functie past er bij lijn p?

y=13x+4

De jaarlijkse kosten K (in euro) voor het rijden met een auto met benzinemotor bestaan uit:

Brandstofkosten B (in euro).

Onderhoud (in euro).

Overige vaste kosten voor afschrijving, APK-keuring, wegenbelasting en verzekering (in euro).

Mevrouw Jansen heeft een auto die ze voor haar werk gebruikt. Gemiddeld verbruikt haar auto 8 liter benzine per 100 gereden kilometer en is de benzineprijs 1,75 per liter. a is het aantal gereden km per jaar.

Leg uit waarom bij deze gegevens de brandstofkosten voor mw. Jansen recht evenredig zijn met het aantal gereden km per jaar.

Per gereden km is mw. Jansen euro kwijt. Rijdt ze twee keer zoveel, dan zijn ook haar brandstofkosten twee keer zo hoog. Haar brandstofkosten zijn een veelvoud van het aantal afgelegde km.

Stel een formule op voor B afhankelijk van a.

B=0,14a

In de totale autokosten K moeten ook de overige kosten worden verwerkt. Mw. Jansen schat de onderhoudskosten op 0,01 per km. En de overige vaste kosten op 2500,= per jaar.

Stel nu een formule op voor K afhankelijk van a.

K=0,15a+2500

Waarom is K niet recht evenredig met a?

Als mw. Jansen twee keer zoveel rijdt, dan zijn haar totale kosten niet twee keer zo groot geworden vanwege het constante getal 2500.

Van haar werkgever krijgt Mw Jansen een kilometervergoeding van 0,19 per werkkilometer.

Bereken bij welke aantallen gereden kilometer per jaar mw. Jansen geld over houdt van haar kilometervergoeding.

2500+0,15a=0,19a geeft km. Bij houdt ze geld over van haar kilometervergoeding.

In de zeventiger jaren van de vorige eeuw bestonden er verschillende tarieven voor het gebruik van aardgas. (Voor het gemak zijn de bedragen omgerekend in euro). In het Westland werd als volgt betaald:

bij een jaarverbruik tot 600 m3 gas : vaste kosten 21,= per jaar en daarbij 0,13 per verbruikte m3 gas;

bij een jaarverbruik vanaf 600 m3 gas : vaste kosten 48,= per jaar en daarbij 0,08 per verbruikte m3 gas.

Teken een grafiek van de jaarlijkse kosten K voor een gasverbruik a lopend van 0 tot 1500 m3.

Van 0 tot 600 m3 krijg je een rechte lijn vanaf (0,21) tot (600,99) .
Vanaf 600 tot 1500 m3 krijg je een rechte lijn vanaf (600,96) tot (1500,168) .

De grafiek van K valt in twee delen uiteen. Voor elk van die delen zijn de jaarlijkse kosten K een lineaire functie van a, de hoeveelheid verbruikte m3 gas.

Geef voor elk van die lineaire functies een formule.

Als , dan K=21+0,13a .
Als , dan K=48+0,08a .

Een tuinder die aan de meterstand zag dat hij op een jaarverbruik van ongeveer 590 m3 uit zou komen, ging gas afbranden, dus onnodig extra gas verbruiken. Waarom deed hij dat?

Extra stoken om in het tarief van boven de 600 m3 te komen.

Vanaf welk jaarverbruik leverde toen het onnodig meer gas verbruiken toch een besparing op?

Groot en klein verbruik even duur als 21+0,13a=48+0,08a , dus als a=540 . Dus vanaf m3.

Welke prijsmaatregelen kon het gasbedrijf nemen om onnodig gas verbruiken te voorkomen?

Bijvoorbeeld door het vastrecht van mensen die meer dan 600 m3 gas verbruiken te verhogen, of dat voor kleinverbruikers te verlagen, etc.

Snelkookpan

In een hogedrukpan neemt tijdens het koken de druk in de pan toe. Daardoor wordt de kooktemperatuur hoger, zodat het eten sneller gaar is. In de tabel vind je enige meetgegevens.

druk (in atmosfeer) 1 1,23 1,51 1,70 1,94
temperatuur (in °C) 100 105 110 115 120

Teken je deze meetgegevens als punten in een assenstelsel, dan kun je daar bij redelijk goede benadering een rechte lijn door tekenen. Neem op de verticale as, dan gaat die lijn door . Bij de tabel past dan een lineaire functie van de vorm . De rechte lijn gaat ook ongeveer door bijvoorbeeld .

Stel zelf de gegeven formule voor als functie van op. Welke eenheden worden er gebruikt?

Je vindt . De temperatuur is in °C en de druk in atmosfeer.

Bij welke temperatuur zou de druk atmosfeer worden?

 °C.

Bij welke druk kun je een temperatuur van  °C bereiken?

geeft , dus atmosfeer.

Uitzetting van een metalen staaf

De uitzetting van een metalen staaf verloopt lineair met de temperatuur als deze gelijkmatig wordt verhit. In de natuurkunde wordt daarvoor de formule: gebruikt, waarin de lengte (in m) van de staaf na het verhitten met  K (kelvin) is. De constante heet de lineaire uitzettingscoëfficiënt.

Wat stelt voor?

De beginlengte van de staaf, dus voor verhitten of afkoelen.

Voor ijzer geldt: .
Ga uit van een ijzeren staaf met m bij kamertemperatuur ( K).

Hoe lang is deze staaf als hij tot  K wordt verhit?

De lengte van de staaf wordt dan m.

Met hoeveel K moet je deze staaf verhitten om hem mm langer dan te laten worden?

geeft en dus .

Je moet de ijzeren staaf ongeveer  K verhitten.