Formules en grafieken — Kwadratische functies — Ontbinden in factoren

een kwadratische functie herkennen aan de formules en ;

nulpunten en top van een kwadratische functie berekenen door ontbinden in factoren.

nulpunten, symmetrieas en top van een kwadratische functie van de vorm berekenen;

haakjes wegwerken;

tabellen maken en grafieken tekenen bij formules van twee variabelen waarin een kwadraat voorkomt.

Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een stuk grond afzetten met 100 m hekwerk. Zie figuur hieronder. Langs de vijver komt geen hek.
b is de lengte van AB . Door b te veranderen kun je de oppervlakte veranderen.

Hoe groot is de oppervlakte A van het landje maximaal?

AB+BC+CD=100 geeft b+BC+b=100 en dus BC=100-2b .
En dus is A=AB⋅BC=b(100-2b)=100b-2b2 .

Om de grootste waarde van A te bepalen, maak je een grafiek van A. Eerst maak je een tabel, neem voor b getallen als 10, 20, 30, ..., 100.

De maximale oppervlakte is m3.
Meer in het voorbeeld.

Een kwadratisch verband kan ook de vorm hebben, bijvoorbeeld als de haakjes zijn weggewerkt. Maar ook dan wil je de nulpunten kunnen berekenen, dus oplossen.

In de figuur zie je dat .
Je hebt zo van een optelling van twee termen een vermenigvuldiging gemaakt. De vergelijking wordt daardoor . En van zo'n vergelijking kun je bijna meteen de oplossingen zien.

De uitkomst van het vermenigvuldigen van twee getallen kan namelijk alleen maar zijn als één van die twee getallen zelf is of beide getallen zijn.
Voor betekent dit dus: of of beide zijn .

Kortweg: geeft en/of .
Omdat voor en/of het teken wordt gebruikt, kan het zelfs nog korter:
geeft .

De vergelijking levert op.
En de oorspronkelijke vergelijking heeft daarmee de oplossing .
Dat zijn twee waarden voor die beide de gegeven vergelijking waar maken.

De gebruikte techniek heet een factor buiten haakjes halen.

In Uitleg zie je hoe de vergelijking kan worden opgelost. Je haalt dan een buiten haakjes. De volgende vergelijkingen kun je ook op die manier oplossen. Laat zien hoe.

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:
Oplossing:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:
Oplossing:

Dit wordt:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:
Oplossing:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:
Oplossing:

Los de vergelijkingen op door een factor buiten haakjes te halen.

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:

Dit betekent:
Oplossing:

Eerst beide zijden  geeft:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:

Dit betekent:
Oplossing:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:

Dit betekent:
Oplossing:

Eerst haakjes wegwerken geeft:

Dan beide zijden geeft:

Een buiten haakjes halen geeft:
Dit betekent:

Oplossing:

De nulpunten van een kwadratische functie als kun je vinden door op te lossen.

In de figuur zie je dat .
Immers en . Je hebt zo van een optelling van drie termen een vermenigvuldiging van twee factoren gemaakt. De vergelijking wordt daardoor . En van zo'n vergelijking kun je bijna meteen de oplossingen zien.

betekent namelijk: of of beide zijn .

Kortweg: is gelijkwaardig met .

De vergelijking levert op.
En de vergelijking levert op.
De oorspronkelijke vergelijking heeft daarmee de oplossing .
Dat zijn twee waarden voor die beide de gegeven vergelijking waar maken.

De gebruikte techniek heet de somproductmethode, omdat de twee waarden en kunnen worden gevonden uit het feit dat hun som is en hun product is.

Als je een factor buiten haakjes haalt of de som- en productmethode gebruikt, noem je dat ontbinden in factoren. Dat is een manier om sommige vergelijkingen snel op te lossen. Maar dan moet het ontbinden in factoren wel kunnen. En dat is lang niet altijd het geval.

In Uitleg zie je hoe de vergelijking wordt opgelost zonder een kwadraat af te splitsen. Er wordt een figuur gebruikt. Maar je kunt de som- en productmethode ook toepassen zonder een figuur te maken.

Werk in de uitdrukking de haakjes weg en herleid hem zover mogelijk.

Wat valt je op aan het getal voor de als je de haakjes hebt weggewerkt? En wat valt op aan de term waar geen in voorkomt?

en

Maak een tabel van alle mogelijke combinaties van twee gehele getallen (ook negatieve) die als product hebben.

Zie de tabel.

product

Hoe vind je met behulp van de tabel bij c de juiste ontbinding van ?

Je zoekt uit de lijst die je bij c hebt gemaakt de twee getallen die ook nog samen opgeteld opleveren. Dat zijn en .

Gebruik een vergelijkbare tabel om een ontbinding te vinden van .
product

Zoek nu de twee getallen die als som hebben. Dat zijn en .

Je krijgt:

Los op:

Dit geeft:

Los de vergelijkingen op door de som- en productmethode te gebruiken.

Je kunt het ontbinden in factoren met de som- en productmethode ook toepassen als er negatieve getallen in je vergelijking voorkomen. Los daarmee de volgende vergelijkingen op.

product

Kwadratische functies kunnen verschillende vormen aannemen:

y=a⋅(x-p)2+q waarin (p,q) de top van de parabool is.

y=a(x-m)(x-n)

y=ax2+bx+c

Dat het hier voor bij alledrie om kwadratische functies gaat, wordt duidelijk als je bij de eerste twee vormen de haakjes uitwerkt. De hoogste macht van x die dan in de formule voorkomt is 2.

In de applet kun je met de schuifknoppen de waarden van a, b, c, m en nveranderen.

Bij kwadratische functies van de vorm y=a⋅(x-p)2+q is de top van de parabool meteen uit de formule af te lezen. Het berekenen van de snijpunten met de x-as, de nulpunten doe je door de vergelijking y=0 op te lossen.

Bij kwadratische functies van de vorm y=a(x-m)(x-n) kun je juist de nulpunten meteen zien: (m,0) en (n,0) . De top bepaal je dan door te bedenken dat hij op de symmetrieas ligt, dus een x-coördinaat heeft midden tussen m en n in.

Bij kwadratische functies van de vorm y=ax2+bx+c probeer je door ontbinden in factoren in de vorm te brengen waarin je de nulpunten meteen kunt zien. Dat lukt echter niet altijd...

Bereken de nulpunten en het minimum van de kwadratische functie

Begin met de nulpunten: .

Beide termen bevatten een factor .
Die kun je buiten haakjes halen: .

Er blijft een product over waar uit komt: .

Omdat een product van twee getallen alleen kan zijn als een van beide of beide getallen zijn, kun je dit schrijven als . De gezochte oplossingen zijn daarom en .

De nulpunten zijn en , dus de symmetrieas is .

Het minimum is bij .

In Voorbeeld zie je hoe je de vergelijking snel kunt oplossen.

Waaraan zie je dat deze vergelijking kan worden opgelost door een buiten haakjes te halen?

Alle termen aan de linkerzijde van het isgelijkteken bevatten een factor en rechts staat dat er uit moet komen.

Laat zien hoe je aan het antwoord komt.

Haal de factor buiten de haakjes:

Dit geeft:

Dit geeft:

Dit geeft:

Los de volgende vergelijkingen zo handig mogelijk op.

Factor buiten haakjes halen geeft:

geeft en dus .
Factor buiten haakjes halen: .
Splitsen: , dus .

Direct worteltrekken:

Gegeven is de kwadratische functie .
Bereken de snijpunten met de assen en de top van de bijbehorende parabool.

Stel in de applet de juiste waarden voor a, b en c in. Je kunt dan de snijpunten van de parabool met beide assen zien.

Het snijpunt met de y-as kun je berekenen door x=0 in te vullen:
geeft het punt .

Met de x-as heeft de parabool twee snijpunten die je vindt door y=0 te nemen.
Dat geeft de vergelijking .
Met de somproductmethode vind je:
en dus:
zodat .
Nu kun je beide snijpunten wel opschrijven.

De top van de parabool ligt op de symmetrieas: .
De top is dus .

In Voorbeeld zie je hoe een vergelijking wordt opgelost met de somproductmethode.

Waarom maak je bij de somproductmethode een tabel voor het product en niet voor de som ?

Omdat er voor het product maar een beperkt aantal mogelijkheden is. Voor de som kunnen er steeds oneindig veel combinaties worden gemaakt.

Laat zien dat de ontbinding klopt door zelf die tabel te maken.

Voor het product zijn er maar twee mogelijkheden met gehele getallen: en of en .

Kun je de vergelijking oplossen door ontbinden in factoren?

Nee, een tabel met getallen die als product hebben levert geen combinatie op waarbij de som is.

Los de volgende vergelijkingen op met de som- en productmethode.

product

Bedenk dat er staat:

In dit geval is het sneller om te kiezen voor:

Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een rechthoekig stuk grond afzetten met 100 m hekwerk. Zie figuur hiernaast. Langs de vijver komt geen hek.
b is de lengte van AB .
Bereken de maximale oppervlakte van dit weiland.

Voor krijg je dan een lengte van .
Voor de oppervlakte van het weiland krijg je dan de formule:

A=b(100-2b)=100b-2b2

Dit is een kwadratische functie met als grafiek een bergparabool.
De top van die parabool kun je berekenen vanuit de nulpunten.
Voor de nulpunten geldt: .
Dit levert na splitsen op: .
De symmetrieas zit daarom bij .
Het bijbehorende maximum is en dit is dus de maximale oppervlakte van het weiland in m2.

Bekijk het probleem in het voorbeeld.

Waarom is de lengte van gelijk aan ?

De totale lengte van het hekwerk is m en daar gaan twee breedtes van van af.

De oppervlakte van het weiland wordt .
Hoe zie je aan die formule dat er sprake is van een maximum?

De kwadratische functie is , dus het getal voor is negatief. Daarom is de grafiek een bergparabool.

Voer zelf de berekening van de maximale oppervlakte uit zonder naar het voorbeeld te kijken.

In het voorbeeld vind je de uitwerking wel.

Los de vergelijkingen op door ontbinden in factoren.

Van twee getallen is het verschil en het product .

Bereken beide getallen.

Stel het ene getal is , dan is het andere getal of .

Het product is .

Dus je krijgt de vergelijking: . Of .

Dus krijg je twee oplossingen: en en en

Los de vergelijkingen op, als dat mogelijk is door ontbinden in factoren.

geeft en .
Ontbinden: en daarom: .

geeft .
Ontbinden: en .

Er is al een ontbinding, dus en .

geeft .
Ontbinden: en dus

geeft en dus .

Er zijn dus geen reële oplossingen, want je kunt de wortel uit een negatief getal niet trekken.

Een parabolische boog is gegeven door de formule .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze parabool met de -as.

Je moet oplossen:

De snijpunten met de -as zijn: en

Bereken de coördinaten van de top van deze parabool.

De symmetrieas zit bij . Dus de top is .

Los de kwadratische vergelijking op.

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking ?

Precies één, omdat de lijn door de top gaat.

Je ziet hier de baan van een tennisbal die door een tennisser op de baseline wordt geraakt en aan de andere kant van het net op de grond komt. Veronderstel dat de baan van de bal een zuivere parabool is. Er geldt:

Op welke hoogte wordt de bal boven de baseline geraakt?

Vul x=0 in de formule in. Je vindt h=0,42 .

De bal wordt op 42 cm hoogte geraakt.

Na hoeveel m vanaf de baseline komt de bal (voor de andere baseline) weer op de grond?

geeft en .
Je vindt voor de nulpunten: .

De snijpunten met de -as zijn (-2,0) en (21,0) .

De bal komt na 21 m weer op de grond.

Waar zit het hoogste punt van de bal?

De nulpunten zijn .

De symmetrieas is daarom x=9,5 .

De top van de parabool is (9,5;1,3225)

Ook in de economie komen kwadratische functies voor. Bekijk dit (sterk vereenvoudigde) economische model maar eens.

Een sportclub verkoopt in zijn kantine koppen erwtensoep. De kantinebeheerder heeft gemerkt dat het aantal koppen soep dat ze dagelijks verkopen afhangt van de prijs die ze ervoor vragen: hoe duurder een kop soep, hoe lager het aantal koppen soep dat ze op een dag verkopen. Deze tabel laat dat zien.

prijs per kop (in centen)120115110105100
aantal verkocht per dag100110120130140

Als je hierbij een grafiek tekent, dan zie je dat het aantal verkochte koppen soep per dag q afhangt van de prijs p (in centen) volgens een lineair verband: q is een lineaire functie van p.
Ga na, dat q=340-2p .

De kantinebeheerder bedenkt nu dat de opbrengst R kan worden berekend door de prijs per kop te vermenigvuldigen met het aantal verkochte koppen soep: R=p⋅q .

Dit levert een kwadratische formule op: R=p⋅(340-2p) .

Nu kan de kantinebaas berekenen bij welke prijs zijn opbrengst zo groot mogelijk is.

Bekijk het verhaal van de verkoop van erwtensoep in Toepassen.

Leid zelf de lineaire formule voor q als functie van p af.

In de tabel kun je zien, dat elke keer als de prijs met 5 toeneemt, het aantal verkochte koppen soep met -10 toeneemt (dus eigenlijk afneemt). De richtingscoëfficiënt van de lijn die je door de punten in de tabel kunt tekenen is daarom -10/5=-2 .
De formule wordt daarmee q=-2p+b en het invullen van één van de punten in de tabel geeft b=340 .
En daarmee vind je de formule die is gegeven.

Ga met behulp van de tabel na, dat de opbrengst stijgt als de prijs naar beneden gaat.

Bereken steeds p⋅q en ga na dat de uitkomst daarvan groter wordt als p kleiner wordt.

Als de kantinebeheerder de prijs verder laat zakken worden er nog meer koppen soep verkocht. Blijft zijn opbrengst dan alsmaar stijgen?

Nee, op zeker moment wordt zijn prijs per kop zo laag, dat hij nauwelijks inkomsten overhoudt.

Waaraan zie je dat de opbrengst R een kwadratische functie van p is? En waaraan zie je dat de opbrengst een maximum heeft?

R=-2p2+340p als je de haakjes uitwerkt. Deze formule past bij een bergparabool, dus er is een maximum.

Bereken het maximum van R. Welke prijs moet de kantinebeheerder vragen als hij een zo groot mogelijk opbrengst wil hebben?

De nulpunten van R vind je uit R=p(340-2p)=0 en dat levert op p=0∨p=170 .
De symmetrieas van de bergparabool die bij deze formule past is p=85 . De maximale opbrengst vind je dus bij p=85 en die is 14450, dus 144,50.

Voor een zo groot mogelijke opbrengst moet hij 0,85 per kop vragen.

Is het verstandig om een zo groot mogelijk opbrengst te willen hebben?

Nee, want je moet ook rekening houden met de kosten voor het maken van de erwtensoep. Zie volgende opgave.

Nu ga je niet kijken naar een zo groot mogelijk opbrengst, maar naar een zo groot mogelijke winst.

Wat is het verschil tussen opbrengst en winst?

Bij winst houd je ook rekening met de gemaakte kosten en bij opbrengst let je alleen op de inkomsten als gevolg van de verkoop.

Neem aan dat het maken van elke kop soep 0,50 kost.

Leg uit, waarom dan voor de winst geldt W=(p-50)(340-2p) .

De winst per kop soep is p-50 cent en het aantal verkochte koppen soep is 340-2p . Om de winst uit te rekenen moet je deze twee uitdrukkingen vermenigvuldigen.

Ook bij deze formule is de grafiek een parabool. Bepaal de twee nulpunten van deze parabool. Wat betekenen deze getallen voor de winst?

(p-50)(340-2p)=0 geeft p-50=0∨340-2p=0 en dus p=50∨p=170 . Bij deze prijzen is de winst op de verkoop van de koppen soep 0, dus dan wordt er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleden.

Bereken het maximum van W. Welke prijs moet de kantinebeheerder vragen als hij een zo groot mogelijk winst wil hebben?

De symmetrieas van de bergparabool die bij de formule voor de winst past is p=110 . De maximale winst vind je dus bij p=110 en die is 7200, dus 72,00.

Voor een zo groot mogelijke winst moet hij 1,10 per kop vragen.

Los de volgende vergelijkingen op de handigste wijze op.

Er zijn dus geen reële oplossingen want je kunt niet worteltrekken uit een negatief getal.

Er zijn dus geen reële oplossingen want je kunt niet worteltrekken uit een negatief getal.

Een parabolische boog is gegeven door de formule .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze parabool met de -as.

De snijpunten met de -as zijn en .

Je moet oplossen:

De snijpunten met de -as zijn en .

Bereken de coördinaten van de top van deze parabool.

Symmetrieas: .
Top: .

Los de kwadratische vergelijking op.

.

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het oplossen van vergelijkingen met behulp van ontbinden in factoren. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.