een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule.

nulpunten, symmetrieas en top van een kwadratische functie berekenen;

kwadratische vergelijkingen oplossen door terugrekenen (balansmethode) en/of ontbinden in factoren.

Wanneer je van een kwadratische functie de nulpunten wilt berekenen, moet je een vergelijking oplossen. Neem bijvoorbeeld $y = x^{2} + 6 x + 8$ . Wil je van deze kwadratische functie de nulpunten berekenen dan moet je $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ oplossen.

Los deze vergelijking op met behulp van ontbinden in factoren.

$x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4) = 0$ geeft $x = - 2 \lor x = - 4$ .

Bekijk nu de functie $y = x^{2} + 6 x + 7$ . Wil je van deze kwadratische functie de nulpunten berekenen dan moet je $x^{2} + 6 x + 7 = 0$ oplossen.

Kun je deze vergelijking exact oplossen?

Dat kun je (waarschijnlijk) niet. In deze paragraaf ga je leren hoe dit kan: je leert de abc-formule te gebruiken.

Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits $a != 0$ ) omdat de hoogste macht van de onbekende $x$ die voorkomt $2$ is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)

Soms kun je een kwadratische vergelijking oplossen, bijvoorbeeld door ontbinden of door terugrekenen. Maar dat lukt lang niet altijd. Wiskundigen hebben zich al honderden jaren geleden over dit probleem gebogen. Ze hebben de abc-formule gevonden:

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ is $x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ als $a != 0$ .

Als je nu $x^{2} + 6 x + 7 = 0$ wilt oplossen, dan maak je van de bovenstaande oplossing gebruik. Je leest af $a = 1$ , $b = 6$ en $c = 7$ . Deze drie getallen vul je in de oplossing van de algemene vergelijking in en je krijgt de oplossing van jouw vergelijking:

$x = \frac{- 6 + \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} \lor x = \frac{- 6 - \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ofwel:

$x = \frac{- 6 + \sqrt{8}}{2} \lor x = \frac{- 6 - \sqrt{8}}{2}$

Het is handiger om de vorm $b^{2} - 4 a c$ die onder het wortelteken staat afzonderlijk te berekenen. Je noemt deze uitdrukking de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ .

Bekijk in de Uitleg hoe je een kwadratische vergelijking oplost met de abc-formule.

Los zelf de vergelijking $x^{2} + 6 x + 7 = 0$ op met behulp van de abc-formule.

Doen.

Vergelijk je antwoord met dat in de Uitleg. Komen ze overeen?

Ja, ze komen overeen.

Geef benaderingen van beide $x$ -waarden van de oplossing in drie decimalen nauwkeurig.

$x \approx - 1,586 \lor x \approx - 4,414$

In Opgave werd de oplossing van $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ gevraagd.

Bepaal de oplossing van deze vergelijking met de abc-formule. Ga na, dat je oplossing overeen komt met de oplossing die je eerder hebt gevonden.

Lees af: $a = 1$ , $b = 6$ en $c = 8$ .

Oplossing: $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$ .

Dit kun je herleiden tot $x = \frac{- 6 \pm 2}{2}$ en dat betekent $x = - 2 \lor x = - 4$ . Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.

Bij het gebruik van de abc-formule moet je er wel op letten dat de vergelijking die je oplost kwadratisch is en de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ heeft.

Waarom betekent dit dat $a != 0$ ?

Omdat als $a = 0$ het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.

Los op: $4 + 2 x^{2} = 6 x$ .

Je schrijft de vergelijking eerst als $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ .

Lees af: $a = 2$ , $b = - 6$ en $c = 4$ .

Oplossing: $x = \frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{4}$ .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x = \frac{6 + 2}{4} = 2 \lor x = \frac{6 - 2}{4} = 1$ .

Los de volgende vergelijkingen op met de abc-formule.

$x^{2} + 12 x + 4 = 0$

Lees af: $a = 1$ , $b = 12$ en $c = 4$ .

Oplossing: $x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2}$ .

Dit kun je herleiden tot $x = \frac{- 12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{- 12 \pm 8 \sqrt{2}}{2} = - 6 \pm 4 \sqrt{2}$ .

$2 x^{2} + 5 x - 10 = 0$

Lees af: $a = 2$ , $b = 5$ en $c = - 10$ .

Oplossing: $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 10}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{105}}{4}$ .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

$5 x - x^{2} + 7 = 0$

Schrijf de vergelijking eerst als $x^{2} - 5 x - 7 = 0$ .

Lees af: $a = 1$ , $b = - 5$ en $c = - 7$ .

Oplossing: $x = \frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{53}}{2}$ .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

$9 x^{2} = 17 - 10 x$

Schrijf de vergelijking eerst als $9 x^{2} + 10 x - 17 = 0$ .

Lees af: $a = 9$ , $b = 10$ en $c = - 17$ .

Oplossing: $x = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 9 \cdot - 17}}{2 \cdot 9} = \frac{- 10 \pm \sqrt{712}}{18}$ .

Dit hoef je niet verder te herleiden.

$2 x^{2} + 16 = - 12 x$

Je schrijft de vergelijking eerst als $2 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ . (Eventueel deel je ook nog beide zijden door $2$ .)

Lees af: $a = 2$ , $b = 12$ en $c = 16$ .

Oplossing: $x = \frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 16}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{4}$ .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x = \frac{12 + 2}{4} = 3,5 \lor x = \frac{12 - 2}{4} = 2,5$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$

Lees af: $a = 3$ , $b = 8$ en $c = - 3$ .

Oplossing: $x = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3} = \frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{6}$ .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x = \frac{- 8 + 10}{6} = \frac{1}{3} \lor x = \frac{- 8 - 10}{6} = - 3$ .

Bekijk in de Uitleg wat de discriminant van een kwadratische vergelijking is.

Bekijk de vergelijking $2 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ .

Bereken de discriminant van deze vergelijking.

Lees af: $a = 2$ , $b = - 6$ en $c = - 1$ .

En dus is $D = b^{2} - 4 a c = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 1 = 44$ .

Bereken vervolgens de oplossing.

De oplossing is $x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{4}$ .

Geef een benadering van de oplossing van deze vergelijking in één decimaal nauwkeurig.

De oplossing is $x \approx 3,2 \lor x \approx - 0,2$ .

Bekijk nu de vergelijking $2 x^{2} - 6 x + 4,5 = 0$ .

Bereken eerst de discriminant. Leg uit dat je aan de discriminant kunt zien dat de oplossing van de vergelijking maar één waarde heeft. Bereken vervolgens die éne oplossing.

Lees af: $a = 2$ , $b = - 6$ en $c = 4,5$ .

En dus is $D = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4,5 = 0$ . De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.

De oplossing is $x = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{4} = 1,5$ .

Bekijk nu de vergelijking $2 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Laat met behulp van de discriminant zien, dat de vergelijking geen reële oplossing heeft.

Lees af: $a = 2$ , $b = - 6$ en $c = 6$ .

En dus is $D = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = - 12$ . De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.

Bepaal van de volgende kwadratische vergelijkingen eerst het aantal oplossingen (dus het aantal waarden in de oplossing). Los ze vervolgens op.

$2 x^{2} + 5 x - 20 = 0$

Lees af: $a = 2$ , $b = 5$ en $c = - 20$ .

En dus is $D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 20 = 185$ .

De oplossing is $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{185}}{4}$ .

$11 + 3 x^{2} = 9 x$

Schrijf de vergelijking als $3 x^{2} - 9 x + 11 = 0$ .

Lees af: $a = 3$ , $b = - 9$ en $c = 11$ .

En dus is $D = {(- 9)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 11 = - 51 < 0$ .

Geen reële oplossing.

$3 x^{2} = 4 x - 1$

Schrijf de vergelijking als $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

Lees af: $a = 3$ , $b = - 4$ en $c = 1$ .

En dus is $D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 > 0$ .

De oplossing is $x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}$ en dat geeft $x = 1 \lor x = \frac{1}{3}$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Lees af: $a = 4$ , $b = - 20$ en $c = 25$ .

En dus is $D = {(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 0$ .

De oplossing is $x = \frac{20}{8} = 2,5$ .

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a != 0$ is

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Deze oplossing noem je de abc-formule.

Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe $a x^{2} + b x + c = 0$ in algemene zin oplossen. Je schrijft die formule daartoe eerst in de vorm $a {(x - p)}^{2} + q = 0$ waarin $(p, q)$ de top van de parabool is.

Die top ga je eerst berekenen. Daartoe bepaal je de symmetrieas. Deze lijn is de middelloodlijn tussen twee punten op gelijke hoogte op de parabool, bijvoorbeeld op hoogte $y = c$ . Die twee punten bereken je dus uit $a x^{2} + b x + c = c$ , ofwel $a x^{2} + b x = 0$ . Dit geeft $x = 0 \lor x = - \frac{b}{a}$ . De symmetrieas is daarom $x = - \frac{b}{2 a}$ . Dit invullen levert de top op: $T (- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b^{2}}{4 a})$ .

Dus moet je oplossen

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a} = 0$ . Dit geeft ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

Worteltrekken:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$

En nu een beetje herleiden:

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En hiermee is de abc-formule gevonden.

Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ te berekenen.

Als $D gt 0$ heb je twee waarden in de oplossing.

Als $D = 0$ heb je één waarde in de oplossing.

Als $D lt 0$ heb je geen reële waarden in de oplossing.

Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven:

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ is $x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ .

Bekijk ook de (engelstalige) videoclip quadratic formula in het Practicum.

Los de vergelijking $(x - 2) (x - 3) = 3$ op.

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden levert de vergelijking $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ op.

Deze vergelijking kun je oplossen met de abc-formule. Je berekent dan liever eerst de discriminant, dan weet je of er een oplossing is.

Lees af: $a = 1$ , $b = - 5$ en $c = 3$ .

En dus is $D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 13$ . De discriminant is positief en de oplossing bestaat dus uit twee waarden.

De oplossing is $x = \frac{- - 5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$ .

Bekijk in Voorbeeld hoe een kwadratische vergelijking wordt opgelost met de abc-formule. Leer deze formule uit het hoofd en zorg dat je de manier van werken beheerst!

Bekijk eventueel bij het Practicum een (engelstalige) videoclip over de quadratic formula.

Herleiden op $0$ is een belangrijke stap voordat je de abc-formule gaat toepassen. Waarom voer je deze stap eigenlijk uit?

Omdat je de vergelijking in de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.

Laat zien, dat je door haakjes uitwerken en op $0$ herleiden inderdaad op $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ komt.

Doen.

Waarom staat bij de berekening van de discriminant de $- 5$ eigenlijk tussen haakjes?

Het kwadraat van $- 5$ is $- 5 \cdot - 5 = 25$ en niet $- 5^{2} = - 5 \cdot 5$ .

Schrijf beide waarden van de oplossing afzonderlijk op en benader ze in twee decimalen nauwkeurig.

$x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \approx 4,30 \lor x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \approx 0,70$

Los de volgende vergelijkingen op indien mogelijk.

$3 x^{2} + 4 = 7$

$3x^2 + 4 = 7$ geeft $x^2 = 1$ en dus $x = +-1$ .

$(x + 1) (2 x - 1) = 4$

$(x+1)(2x-1) = 4$ geeft $2x^2 + x - 5 = 0$ .
Met de abc-formule $x = (text(-)1 +- sqrt(41))/4$ .

$4 x = x^{2} + 7$

$4x = x^2 + 7$ geeft $x^2 - 4x + 7 = 0$ .
Met de abc-formule vind je geen antwoord, want de discriminant is negatief.

${(x + 3)}^{2} = 4$

$(x+3)^2=4$ geeft $x+3 = +-2$ en dus $x = text(-)5 vv x = text(-)1$ .

${(2 x + 4)}^{2} = 32 x$

$(2x+4)^2 = 32x$ geeft $4x^2 - 16x + 16 = 0$ en dus $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ zodat $x=2$ .

${(2 x + 4)}^{2} = 32$

$(2x+4)^2 = 32$ geeft $2x+4 = +-sqrt(32)$ en dus $x = (text(-)4 +- sqrt(32))/2 = text(-)2 +- 2sqrt(2)$ .

De oppervlakte van een rechthoek is $23,6$ cm2 en zijn breedte is $3,10$ cm korter dan zijn lengte.

Bereken de afmetingen van deze rechthoek in drie significante cijfers.

Noem de lengte $x$ cm, dan is de breedte $x-3,10$ cm.
De oppervlakte is $x(x-3,10) = 23,6$ cm2.
Deze vergelijking los je na op $0$ herleiden op met de abc-formule.
$x^2 - 3,10x - 23,6 = 0$ geeft $x ~~ text(-)3,55 vv x ~~ 6,65$ .
De gevraagde afmetingen zijn $6,65 xx 3,55$ cm.

Gegeven zijn een kwadratische functie met formule $y_{1} = x^{2} + 8 x + 1$ en een lineaire functie met formule $y_{2} = 2 x - 4$ . Bereken de coördinaten van de snijpunten van hun grafieken.

In de snijpunten geldt $x^{2} + 8 x + 1 = 2 x - 4$ .

Deze vergelijking kun je oplossen door eerst op $0$ te herleiden en dan de abc-formule toe te passen. Aan de grafieken zie je dat er twee $x$ -waarden uit moeten komen.

Uit $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ lees je af: $a = 1$ , $b = 6$ en $c = 5$ .

De oplossing is $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$ . En dus vind je $x = - 5 \lor x = - 1$ .

Om beide snijpunten te vinden, moet je deze $x$ -waarden nog invullen. Ga na, dat dit de snijpunten $(- 5, - 14)$ en $(- 1, - 6)$ oplevert.

Bekijk in Voorbeeld hoe je de snijpunten van een parabool en een rechte lijn berekent.

In dit voorbeeld is de abc-formule gebruikt om de kwadratische vergelijking op te lossen. Dit kan ook met de somproductmethode. Laat dat zien.

$x^{2} + 6 x + 5 = (x + 5) (x + 1) = 0$ levert de juiste $x$ -waarden op.

Waarom is hier het werken met de discriminant overbodig?

Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.

Als je de twee $x$ -waarden hebt gevonden, moet je de bijbehorende $y$ -waarden berekenen. Laat zien hoe je dat doet.

Bijvoorbeeld door invullen in $y_{2} = 2 x - 4$ . Bij $x = - 5$ krijg je dan $y = 2 \cdot - 5 - 4 = - 14$ en bij $x = - 1$ krijg je dan $y = 2 \cdot - 1 - 4 = - 6$ .

Maakt het uit in welke van beide formules je de gevonden waarden van $x$ invult? Waarom?

Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende $y$ -waarden opleveren.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken bij de volgende formules.

$y_{1} = x^{2} + 3 x + 1$ en $y_{2} = - x - 2$ .

Eerst $x^{2} + 3 x + 1 = - x - 2$ op $0$ herleiden tot $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft $x = - 3 \lor x = - 1$ .

De snijpunten zijn $(- 3, 1)$ en $(- 1, - 1)$ .

$y_{1} = (x + 2) (x - 3)$ en $y_{2} = 2 x + 4$ .

Eerst $x^{2} - x - 6 = 2 x + 4$ op $0$ herleiden tot $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft $x = - 2 \lor x = 5$ .

De snijpunten zijn $(- 2,0)$ en $(5,14)$ .

$y_{1} = x^{2}$ en $y_{2} = 2$ .

Je moet nu $x^{2} = 2$ oplossen.

Zo'n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt $x = \pm \sqrt{2}$ .

De snijpunten zijn $(- \sqrt{2}, 2)$ en $(\sqrt{2}, 2)$ .

In de voorgaande opgave en ook in Voorbeeld waren de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken gehele getallen. Maar dat hoeft niet.

Neem bijvoorbeeld de functies $y_{1} = {(x + 1)}^{2}$ en $y_{2} = 4 - x^{2}$ .

Met welke vergelijking bereken je de snijpunten van de twee bijbehorende grafieken?

${(x + 1)}^{2} = 4 - x^{2}$

Hoe kun je aan de discriminant van deze vergelijking zien dat er twee snijpunten zijn waarvan de coördinaten geen gehele getallen zijn?

Eerst $x^{2} + 2 x + 1 = 4 - x^{2}$ op $0$ herleiden tot $2 x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

De discriminant is $D = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 = 28$ en dat is een positief getal maar geen kwadraat.

Bereken de snijpunten van beide parabolen op twee decimalen nauwkeurig.

Met de abc-formule vind je $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{4}$ , dus $x \approx - 1,823 \lor x \approx 0,823$ .

De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) $(- 1,82; 0,68)$ en $(0,82; 3,32)$ .

Bereken de oplossing van de volgende kwadratische vergelijkingen.

$x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Oplossing: $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{21}}{2}$

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Oplossing: $x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$ dus $x = 2 \lor x = - 0,5$ .

$- 5 x^{2} - 7 x = 1$

Eerst op $0$ herleiden: $- 5 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ .
Oplossing: $x = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{- 10}$ .

$x (2 x + 3) = 3$

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$ .
Oplossing: $x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{4}$ .

$x (2 x + 3) = 3 x$

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2 x^{2} = 0$ .
Oplossing: $x = 0$ .

$x (2 x + 3) = 0$

Nu kun je meteen splitsen: $x = 0 \lor 2 x + 3 = 0$ .
Oplossing: $x = 0 \lor x = - 1,5$ .

$(x + 3) (x - 5) = 2$

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $x^{2} - 2 x - 17 = 0$ .
Oplossing: $x = \frac{2 \pm \sqrt{72}}{2} = 1 \pm 3 \sqrt{2}$ .

$(x + 3) (x - 5) = 0$

Nu kun je meteen splitsen: $x + 3 = 0 \lor x - 5 = 0$ .
Oplossing: $x = - 3 \lor x = 5$ .

${(2 x + 5)}^{2} = 5$

Nu kun je meteen worteltrekken: $2 x + 5 = \pm \sqrt{5}$ .
Oplossing: $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Onderzoek hoeveel oplossingen de volgende kwadratische vergelijkingen hebben (dus uit hoeveel waarden de oplossing bestaat).

$2 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 1 = 33$ , dus twee oplossingen.

$5 x^{2} - x = 1$

Eerst op $0$ herleiden: $5 x^{2} - x - 1 = 0$ .
$D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 1 = 21$ , dus twee oplossingen.

$- 2 x^{2} + 6 x = 18$

Eerst op $0$ herleiden: $- 2 x^{2} + 6 x - 18 = 0$ .
$D = 6^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot - 18 = - 108$ , dus geen reële oplossingen.

${(1 - 2 x)}^{2} = 12$

Hier kun je meteen worteltrekken: $1 - 2 x = \pm \sqrt{12}$ .
Er zijn dus twee oplossingen.

${(x - 1)}^{2} + 4 = 0$

Als je dit schrijft als ${(x - 1)}^{2} = - 4$ zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.

Je ziet hier de grafieken van twee kwadratische functies en een lineaire functie. Ga er van uit dat de roosterpunten die op de grafieken lijken te liggen dat ook inderdaad doen.
Bij het berekenen van snijpunten of nulpunten, moet je telkens een vergelijking oplossen. Aan de discriminant van die vergelijking kun je zien hoeveel snijpunten er zijn. Geef in de volgende gevallen aan of die discriminant negatief, positief of $0$ is en ook of die discriminant een kwadraat is.

$y_{1} = y_{3}$

Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is $D gt 0$ en een kwadraat.

$y_{1} = y_{2}$

Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is $D gt 0$ , maar geen kwadraat.

$y_{2} = y_{3}$

Er zijn geen snijpunten. Dus is $D lt 0$ en dus geen kwadraat.

$y_{3} = 0$

Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is $D gt 0$ en een kwadraat.

$y_{2} = 0$

Er zijn geen nulpunten. Dus is $D lt 0$ en dus geen kwadraat.

$y_{2} = 4$

Er is één snijpunt met gehele coördinaten. Dus is $D = 0$ en dat is een kwadraat.

Hieronder zijn telkens twee formules gegeven. Bereken de eventuele snijpunten van de bijbehorende grafieken. Geef waar nodig benaderingen in één decimaal nauwkeurig.

$y_{1} = - 2 x^{2} + 8 x$ en $y_{2} = 2 x - 36$ .

$- 2 x^{2} + 8 x = 2 x - 36$ geeft $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ en dus $x = - 3 \lor x = 6$ . De snijpunten zijn $(- 3, - 42)$ en $(6, - 24)$ .

$y_{1} = {(x - 10)}^{2} - 50$ en $y_{2} = 10 - 5 x$ .

${(x - 10)}^{2} - 50 = 10 - 5 x$ geeft $x^{2} - 15 x + 40 = 0$ en dus $x = \frac{15 \pm \sqrt{65}}{2}$ . De snijpunten zijn $(3,5; - 7,3)$ en $(11,5; - 47,7)$ .

Bereken de diameter van een massieve cilinder met een hoogte van $82,0$ cm en een totale oppervlakte van $2,0$ m2.

De oppervlakte $A$ van een cilinder met diameter $d$ en hoogte $h$ is: $A = pi dh + 0,5pi d^2$ .

Los op: $pi d*0,82 + 0,5pi d^2 = 2,0$ .
Op $0$ herleiden en de abc-formule: $d^2 + 1,64d - 4 = 0$ geeft $d ~~ text(-)2,214 vv d ~~ 0,574$ .
De gevraagde diameter is ongeveer $57,4$ cm.

Oefen nu het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule via Practicum.

Je oefent jezelf met behulp van AlgebraKIT. Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer maakt.

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Kwadratische vergelijkingen komen veel voor in situaties waarin het over oppervlakte gaat.
Dat is niet zo vreemd: kwadraat is eigenlijk een ander woord voor vierkant.
Hier zie je drie situaties die over oppervlakte gaan en waarin kwadratische vergelijkingen voorkomen.

Annemie heeft een zwembad in haar tuin. De lengte van haar zwembad is drie keer zo lang als de breedte. Aan een lange kant van het zwembad staan bomen, dat laat ze zo. Aan de andere drie kanten laat ze tegels leggen. Aan de twee korte kanten van het zwembad komen de tegels $1$ m breed te liggen, en aan de lange kant komen de tegels $3$ m breed te liggen zodat ze daar ligstoelen neer kan zetten.

De oppervlakte van het zwembad met de tegels erbij wordt anderhalf keer de oppervlakte van het zwembad zonder tegels.

Bereken de afmetingen van het zwembad in meters op twee decimalen nauwkeurig.

Oppervlakte zwembad: $x*3x=3x^2$

Oppervlakte zwembad met tegels: $(x+3)(3x+2)$

De oppervlakte van zwembad met tegels is $1,5$ keer zo groot als het zwembad zonder tegels.

Dus je krijgt de vergelijking: $4,5x^2=(x+3)(3x+2)$ .

Haakjes wegwerken geeft $1,5x^2-11x-6=0$ .

Met de abc-formule: $x=(11±sqrt(157))/3$ , dus $x~~7,84 vv x~~-0,51$

Alleen de eerste oplossing voldoet.

De afmetingen van het zwembad zijn dus $7,84$ m bij $23,52$ m.

Om een vierkante foto komt een brede rechthoekige lijst. De breedte van de lijst aan de onderkant van de foto is $16$ cm. Aan de andere drie kanten is de lijst $12$ cm breed. De foto met lijst krijgt daardoor een twee keer zo grote oppervlakte dan de foto zonder lijst heeft.

Schrijf een bijpassende formule op voor de oppervlakte van de foto met lijst. Noem de lengte en de breedte van de foto $x$ .

$A = (28 + x)(24 + x)$

De lengte van de foto met lijst is $12+x+16=28+x$

De breedte van de foto met lijst is $12+x+12=24+x$

Dus de oppervlakte bereken je met de formule: $A=(28+x)(24+x)$

Bereken de waarde van $x$ in mm nauwkeurig.

De oppervlakte van de foto zonder lijst is $x*x=x^2$ .

De oppervlakte van de foto met lijst is twee keer zo groot als de oppervlakte van de foto zonder lijst.

Dus je krijgt de vergelijking: $(28+x)(24+x)=2x^2$

Oplossen doe je door haakjes wegwerken en daarna de abc-formule.

Je vindt: $x ~~ 62,7$ cm.

Los de volgende vergelijkingen op de handigste wijze op. Gebruik de abc-formule alleen als dat nodig is.

$3x^2 = 16x$

$x = 0 vv x = 16/3$

$3x^2=16x$

$3x^2-16x=0$

$x(3x-16)=0$

$x=0 vv 3x-16=0$

$x=0 vv x=16/3$

$x^2 = 8x + 17$

$x = (8+-sqrt(132))/2$

$x^2 = 8x + 17$

$x^2-8x-17=0$

$x = (8+-sqrt(132))/2$

$x(2x-3)=6x-9$

$x = 1,5 vv x = 3$

$x(2x-3)=6x-9$

$2x^2-9x+9=0$

$x = (9+-sqrt(9))/4 = (9+-3)/4$

$x = 1,5 vv x = 3$

$2x(6 - x) = 12x - 16$

$x = +- sqrt(8)$

$2x(6 - x) = 12x - 16$

$12x-2x^2=12x-16$

$text(-)2x^2=text(-)16$

$x^2=8$

$x=±sqrt(8)$

$(2x + 3)(x + 8) = 24$

$x=0 vv x=text(-)19$

$(2x + 3)(x + 8) = 24$

$2x^2+16x+3x+24=24$

$2x^2+19x=0$

$x(x+19)=0$

$x=0 vv x=text(-)19$

De parabolische baan van een afgeschoten voorwerp is gegeven door de formule $y = text(-)0,04x^2 + 4x + 8$

Hierin is:

$y$ de hoogte van het voorwerp boven de grond in m

$x$ de afstand over de grond tot recht onder het voorwerp in m

Het voorwerp wordt afgeschoten bij $x=0$ .

Na hoeveel m komt het voorwerp weer op de grond?

Na $102,0$ m.

Je moet oplossen:

$text(-)0,04x^2 + 4x + 8 = 0$

$x^2 - 100x - 200 = 0$

$x = (100+-sqrt(10800))/(2)$

$x~~102,0 vv x~~text(-)2,0$

Dus na $102,0$ m.

Hoe hoog komt het voorwerp maximaal?

$108$ m.

Symmetrieas: $x=50$ .
Top: $(50, 108)$ .

Tussen welke waarden van $x$ is $y gt 90$ ?

Tussen $35,9$ en $64,1$ m.

Je moet oplossen:

$text(-)0,04x^2 + 4x + 8 = 90$

$text(-)0,04x^2 + 4x - 82 = 0$

$x^2 - 100x + 2050 = 0$

$x = (100+-sqrt(1800))/(2)$

$x~~71,2 vv x~~ 28,8$

Dus tussen $28,8$ en $71,2$ m.

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.

Videoclip: abc-formule

In het engels spreek je van de quadratic formula, maar met een muziekje er onder is het leren werken met de abc-formule misschien toch wel aangenaam. De uitdrukking square root betekent wortel, eigenlijk vierkantswortel. Maar verder spreekt de videoclip voor zich.