een kwadratische vergelijking of ongelijkheid handig oplossen;

de top van een parabool snel bepalen.

nulpunten, symmetrieas en top van een kwadratische functie berekenen;

kwadratische vergelijkingen oplossen met ontbinden in factoren en/of de abc-formule.

Je wilt de vergelijking $2 x^{2} + 12 x = - 10$ oplossen.

Doe dit op zoveel mogelijk verschillende manieren. Welke manier is het handigst?

Manier I, de abc-formule gebruiken:
Eerst op $0$ herleiden: $2 x^{2} + 12 x + 10 = 0$ .
Oplossing: $x = \frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{4}$ en dus $x = - 2 \lor x = - 3$ .

Manier II, ontbinden in factoren:
Eerst op $0$ herleiden en delen door $2$ : $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ .
Dit geeft $(x + 2) (x + 3) = 0$ en dus $x = - 2 \lor x = - 3$ .

Eigenlijk zou manier II het snelst moeten gaan...

Bekijk nu de functie $y = x^{2} + 6 x + 7$ .

Hoe bereken je de top van de bijbehorende parabool?

Eerst de nulpunten berekenen (hopelijk zijn die er) en dan daarmee de symmetrieas bepalen.

Een kwadratische functie is gegeven door $y = 2x^2 - 6x - 1$ .
De grafiek is een dalparabool waarvan je snel de top wilt weten. Dat doe je door de nulpunten te bepalen met de abc-formule:
$2x^2 - 6x - 1 = 0$ geeft $x = (6+-sqrt(44))/4$ .
Dus je krijgt $x = 6/4+(sqrt(44))/4$ en $x = 6/4-(sqrt(44))/4$ .

De symmetrieas is daarom $x = 6/4 = 1,5$ .
Dat is direct uit de abc-formule af te lezen: bij een kwadratische functie als $y=ax^2+bx+c$ zit de symmetrieas altijd bij $x = text(-)b/(2a)$ , want de nulpunten zijn $x = text(-)b/(2a) + (sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)$ en $x = text(-)b/(2a) - (sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)$ .
Belangrijk is vooral dat dit ook geldt als er helemaal geen nulpunten zijn omdat de discriminant negatief is.

Met de applet kun je dit voor veel gevallen controleren.

Bij het oplossen van de vergelijking die nodig is om de nulpunten te berekenen is de abc-formule vaak handig. Maar zeker niet altijd, je zult ook regelmatig werken met ontbinden in factoren en terugrekenen. En er zijn nog meer handige methoden.

Bekijk in de Uitleg hoe je snel de top van een parabool bepaalt.
Gegeven is de kwadratische functie $y = 2x^2 + 4x + 5$ .

Bepaal de top van de bijbehorende parabool.

Voor de symmetrieas geldt $x = text(-)(4)/(2*2) = text(-)1$ .
De top is dus $(text(-)1, 3)$ .

Leg uit hoe je aan de top van deze parabool kunt zien dat de kwadratische functie geen nulpunten heeft.

De top ligt boven de $x$ -as en het is een dalparabool.

Hoe kun je aan de parabool zien dat de vergelijking $2x^2 + 4x + 5 = 5$ twee oplossingen heeft?

De lijn $y=5$ ligt hoger dan de top van de parabool.

Los de vergelijking $2x^2 + 4x + 5 = 5$ zo handig mogelijk op.

$2x^2 + 4x + 5 = 5$ geeft $2x^2 + 4x = 2x(x + 2) = 0$ , dus $x=0 vv x=text(-)2$ .

Los de vergelijking $2x^2 + 4x + 5 = 21$ zo handig mogelijk op.

$2x^2 + 4x + 5 = 21$ geeft $2x^2 + 4x - 16 = 2(x^2 + 2x - 8) = 2(x+4)(x-2) = 0$ , dus $x=2 vv x=text(-)4$ .

Los de volgende vergelijkingen zo handig mogelijk op.

$x^{2} + 12 x + 4 = 0$

Lees af: $a = 1$ , $b = 12$ en $c = 4$ .

Oplossing: $x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2}$ .

Dit kun je herleiden tot $x = \frac{- 12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm 8 \sqrt{2}}{2} = - 6 \pm 4 \sqrt{2}$ .

$2 x^{2} + 5 x = 0$

Oplossing: $2x^2-5x = x(2x-5)=0$ geeft $x=0 vv x=2,5$ .

$5 x - x^{2} + 7 = 0$

Schrijf de vergelijking eerst als $x^{2} - 5 x - 7 = 0$ .

Lees af: $a = 1$ , $b = - 5$ en $c = - 7$ .

Oplossing: $x = \frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{53}}{2}$ .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

$9 x^{2} = 18 - 9 x$

Schrijf de vergelijking eerst als $x^{2} + x - 2 = 0$ .

Oplossing: $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)=0$ geeft $x=text(-)2 vv x=1$ .

$2 x^{2} + 16 = 12 x$

Je schrijft de vergelijking eerst als $2 x^{2} - 12 x + 16 = 0$ en dus als $x^2 - 6x + 8 = 0$ .

Oplossing: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) = 0$ geeft $x=2 vv x=4$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$

Lees af: $a = 3$ , $b = 8$ en $c = - 3$ .

Oplossing: $x = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3} = \frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{6}$ .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x = \frac{- 8 + 10}{6} = \frac{1}{3} \lor x = \frac{- 8 - 10}{6} = - 3$ .

Elke kwadratische functie van de vorm $y=ax^2+bx+c$ heeft een symmetrieas $x = text(-)b/(2a)$ .
Dat is tevens de $x$ -waarde van de top.
Je vindt de top door deze $x$ -waarde in te vullen in de formule.

Dat komt omdat de nulpunten $x = text(-)b/(2a) + (sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)$ en $x = text(-)b/(2a) - (sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)$ zijn en de symmetrieas daar midden tussendoor gaat.
Dit geldt ook als er helemaal geen nulpunten zijn omdat de discriminant negatief is.

Je kunt met die top eenvoudig vaststellen of er nulpunten zijn:

Als $a gt 0$ is de grafiek een dalparabool.
Ligt de top dan boven de $x$ -as, dan zijn er geen nulpunten.
Ligt de top dan onder de $x$ -as, dan zijn er twee nulpunten.
Ligt de top dan op de $x$ -as, dan is er één nulpunt, namelijk de top zelf.

Als $a lt 0$ is de grafiek een bergparabool.
Ligt de top dan onder de $x$ -as, dan zijn er geen nulpunten.
Ligt de top dan boven de $x$ -as, dan zijn er twee nulpunten.
Ligt de top dan op de $x$ -as, dan is er één nulpunt, namelijk de top zelf.

Bereken de top van de paraboolboog die wordt gegeven door de formule $y = text(-)2x^2 + 16x + 2$ en teken deze boog.
$x$ is de horizontale afstand in m recht onder een punt van deze boog,
$y$ is de hoogte in m boven de grond ( $y = 0$ ) in m.

De gegeven formule heeft de vorm $y = ax^2 + bx + c$ met $a = text(-)2$ , $b = 16$ en $c = 2$ .
De symmetrieas van zo'n parabool heeft vergelijking $x = text(-) b/(2a)$ .

In dit geval is die symmetrieas dus $x = text(-) (16)/(2*text(-)2) = 4$ .
De top van de parabool is daarom $(4, 34)$ .

Nu kun je een tabel maken rondom $x = 4$ en de parabool tekenen.

In Voorbeeld zie je hoe je de top van een bergparabool kunt vinden.

Reken zelf de coördinaten van de top van deze parabool na.

$x = 4$ invullen in de formule: $y = text(-)2*4^2 + 16*4 + 2 = 34$ .

Maak een geschikte tabel en teken deze parabool.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y$	$2$	$16$	$26$	$32$	$34$	$32$	$26$	$16$	$2$

Bereken in cm nauwkeurig hoe ver de twee punten waarvoor $y=0$ uit elkaar liggen.

Los op: $text(-)2x^2 + 16x + 2 = 0$ .
De abc-formule geeft $x = (text(-)16 +- sqrt(272))/(text(-)4)$ .
Je vindt dus $x ~~ text(-)0,123 vv x ~~ 8,123$ .
Het verschil tussen beide is ongeveer $8,25$ m.

Bepaal van de volgende kwadratische functies het maximum of het minimum.
Ga vervolgens na of er nulpunten zijn en zo ja, bereken die zo handig mogelijk.

$y = 3x^2 - 15x$

Symmetrieas: $x = text(-) (text(-)15)/6 = 2,5$ .
Dalparabool, dus een minimum bij $x=2,5$ van $y=text(-)18,75$ .
Het minimum ligt onder de $x$ -as, dus er zijn twee nulpunten.
$3x^2 - 15x = 0$ geeft $3x(x-5)=0$ , dus $x=0 vv x=5$ .

$y = 2x^2 - 8x + 16$

Symmetrieas: $x = text(-) (text(-)8)/4 = 2$ .
Dalparabool, dus een minimum bij $x=2$ van $y=8$ .
Het minimum ligt boven de $x$ -as, dus er zijn geen nulpunten.

$y = text(-)0,1x^2 - 4x + 1$

Symmetrieas: $x = text(-) (text(-)4)/(text(-)0,2) = text(-)20$ .
Bergparabool, dus een maximum bij $x=text(-)20$ van $y=41$ .
Het maximum ligt boven de $x$ -as, dus er zijn twee nulpunten.
$text(-)0,1x^2 - 4x + 1 = 0$ geeft $x = (4 +- sqrt(16,4))/(text(-)0,2)$ .

$y = x^2 - 8x + 16$

Symmetrieas: $x = text(-) (text(-)8)/2 = 4$ .
Dalparabool, dus een minimum bij $x=4$ van $y=0$ .
Het minimum ligt op de $x$ -as, dus er is een nulpunt, namelijk $x=4$ .

Een kogelstootster stoot haar kogel volgens een mooie parabolische baan. Die baan is door haar coach gefilmd en hij heeft er een formule van op laten stellen. Bij deze baan past de formule $h = text(-)0,026x^2 + 0,52x + 1,80$ . Hierin is $h$ de hoogte van het midden van de kogel boven een punt op de grond dat $x$ m verwijderd is van het punt recht onder het midden van de kogel op het moment van loslaten.

Op welke hoogte werd de kogel losgelaten?

$x = 0$ geeft $h = 1,80$ . Dus op $1,80$ m hoogte.

Op het moment dat de kogel losgelaten wordt, is $x=0$ . Dit vul je in de formule in en je berekent $h$ .

$h = text(-)0,026*0^2 + 0,52*0 + 1,80$

$h=1,80$ m

Bereken het hoogste punt van de baan van de kogel.

Symmetrieas $x = text(-) (0,52)/(text(-)0,052) = 10$ , dus de top is $(10; 4,4)$ .

Teken zelf de volledige baan van deze kogel in een assenstelsel. Schat daarmee de afstand die deze kogelstootster haalt.

Maak eerst een tabel en een grafiek. Ze haalt ongeveer $23$ m.

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$
$h$	$1,8$	$3,75$	$4,4$	$3,75$	$1,8$	$text(-) 1,45$

Bereken de afstand die de kogelstootster haalt.

$text(-)0,026x^2 + 0,52x + 1,80 = 0$ oplossen met de abc-formule.
Ga na, dat je ongeveer op $23$ m uitkomt.

De hoogte $h$ in meter van een massa die verticaal omhoog wordt geschoten bedraagt na $t$ seconden:

$h = v_0 t - 1/2 g t^2$

Hierin is:

$v_0$ de beginsnelheid van $30$ m/s

$g ~~ 9,81$ m/s2 de gravitatieconstante

Hoe hoog komt deze massa maximaal en hoe lang is de hoogte meer dan $16$ m?

Er geldt: $h = 30 t - 4,905t^2$ .

Hoewel de werkelijke baan van de massa niet parabolisch is, is de grafiek van $h$ als functie van $t$ dit wel.
De symmetrieas van die bergparabool is $t = text(-)(30)/(text(-)9,81) ~~ 3,06$ s.
De maximale hoogte is dus $h ~~ 45,87$ m.

De hoogte van deze massa is $16$ m als $30 t - 4,905t^2 = 16$ , of $4,905t^2 - 30t + 16 = 0$ .
Dit los je het handigst op met de abc-formule.
Je vindt $t ~~ 5,53 vv t ~~ 0,59$ .

Dus de massa zit ongeveer $4,9$ seconde boven de $16$ m.

Bekijk Voorbeeld.

Waarom is de baan van de gegeven kwadratische functie een parabool, terwijl de massa alleen loodrecht omhoog en weer naar beneden gaat?

Omdat daarin de hoogte tegen de tijd $t$ wordt uitgezet en niet tegen de horizontale afstand naar een punt recht onder de massa.

Reken de maximale hoogte zelf na.

$h = 30 * 3,06 - 4,905 * 3,06^2 ~~ 45,87$

Hoe lang zit de massa boven de $30$ m?

De hoogte van deze massa is $30$ m als $30 t - 4,905t^2 = 30$ , of $4,905t^2 - 30t + 30 = 0$ .
Dit los je het handigst op met de abc-formule.
Je vindt $t ~~ 4,86 vv t ~~ 1,26$ .

Dus de massa zit ongeveer $3,6$ seconde boven de $30$ m.

Stel je voor dat iemand van een hoog gebouw een steentje laat vallen. Hij staat $381$ m boven de grond. Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daarvoor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg $s$ (in meter) en de snelheid $v$ (in meter per seconde) af van de tijd $t$ (in seconden) volgens de formules $s=4,9 t^2$ en $v=9,8 t$ .

Geef een formule voor de hoogte $h$ van het steentje boven de grond als functie van $t$ .

$h=381 -4,9 t^2$

Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt op één decimaal nauwkeurig.

Los op $381 -4,9 t^2 = 0$ .

Je vindt $4,9t^2 = 381$ , dus $t^2 ~~ 77,8$ en $t~~ +- 8,8$ .

Na ongeveer $8,8$ seconden.

Als het steentje op de grond komt dan betekent dit $h=0$ . Vul dit in bij de formule en los algebraïsch op:

$381-4,9t^2$

$=$

$0$

$4,9t^2$

$=$

$381$

$t^2$

$=$

$381/(4,9)$

$t$

$=$

$sqrt(381/(4,9))~~8,8$

Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je antwoord in km/h.

$v=sqrt(381/(4,9))*9,8=86,415...$

$86,42$ m/s $~~311$ km/h

$v=sqrt(381/(4,9))*9,8=86,415...$

$86,42$ m/s $~~311$ km/h

Je ziet hier een aantal kwadratische formules. Bereken telkens de top van de bijbehorende parabool en ga na of er nulpunten zijn.
Zo ja, bereken die nulpunten op een zo handig mogelijke manier.

$y = 2x^2 + 5x$

Symmetrieas: $x = text(-)5/4 = text(-)1,25$ .
Top: $(text(-)1,25; text(-)3,125)$ .
Dalparabool met top onder de $x$ -as, dus twee nulpunten.
$2x^2 + 5x = 0$ geeft $x(2x+5)=0$ , dus $x=0 vv x=text(-)2,5$ .

$y = text(-)0,4(x - 10)^2 + 16$

Top: $(10, 16)$ .
Bergparabool met top boven de $x$ -as, dus twee nulpunten.
$text(-)0,4(x - 10)^2 + 16 = 0$ geeft $(x-10)^2 = 40$ , dus $x = 10 +- sqrt(40)$ .

$y = x(x-4) + 20$

$y = x(x-4) + 20$ geeft $y = x^2 - 4x + 20$ .
Symmetrieas: $x = 4/2 = 2$ .
Top: $(2, 16)$ .
Dalparabool met top boven de $x$ -as, dus geen nulpunten.

$y = 0,2x^2 - 5x - 10$

Symmetrieas: $x = 5/(0,4) = 12,5$ .
Top: $(12,5; text(-)41,25)$ .
Dalparabool met top onder de $x$ -as, dus twee nulpunten.
$0,2x^2 - 5x - 10= 0$ geeft $x = (5 +- sqrt(33))/(0,4)$ , dus $x ~~ 26,9 vv x ~~ text(-)1,86$ .

$y = 3(x - 5)(2x - 6)$

Nulpunten meteen aflezen door splitsen: $x=5 vv x=3$ . Symmetrieas: $x = 4$ .
Top: $(4, text(-)6)$ .

Los de volgende vergelijkingen op. Probeer steeds een zo handig mogelijke manier te vinden.

$(2 x - 3) (x - 1) = 3$

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden geeft $2 x^{2} - 5 x = 0$ .
Ontbinden: $x (2 x - 5) = 0$ .
Oplossing: $x = 0 \lor x = 2,5$

$(2 x - 3) (x - 1) = 0$

Direct splitsen: $2 x - 3 = 0 \lor x - 1 = 0$ . Oplossing: $x = 1,5 \lor x = 1$ .

${(s - 3)}^{2} + 5 = 0$

Herleiden tot ${(s - 3)}^{2} = - 5$ .
Als je probeert te worteltrekken dan zie je dat er geen reële oplossingen zijn.

$4 {(s + 1)}^{2} - 7 = 2$

Herleiden tot ${(s + 1)}^{2} = \frac{9}{4}$ en dan worteltrekken geeft $s + 1 = \frac{3}{2} \lor s + 1 = - \frac{3}{2}$ .
Oplossing: $s = \frac{1}{2} \lor s = - \frac{5}{2}$ .

$t - {(t - 1)}^{2} = - 4$

Haakjes uitwerken, op $0$ herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} = {(4 - 3 x)}^{2}$

Meteen worteltrekken: $x - 2 = 4 - 3 x \lor x - 2 = - 4 + 3 x$ .
Oplossing: $x = 1,5 \lor x = 1$ .

Je ziet hier de beroemde hangbrug de Golden Gate Bridge in San Francisco. De rijbanen zijn met tuidraden opgehangen aan twee staalkabels die tussen de twee torens van de brug hangen. Die staalkabels (met een diameter van $92,7$ cm) hangen in de vorm van een parabool.

De afstand tussen beide torens is $1280$ m. En de afstand van het wegdek tot de bovenkant van de torens is ongeveer $152$ m.

Neem aan dat het wegdek recht is. Kies je de $y$ -as midden tussen de torens en de $x$ -as op het wegdek, dan geldt voor de paraboolvorm van de staalkabels de formule:

$y = 149/409600 x^2 + 3$

Hierin is $x$ de afstand tot het midden van de torens en $y$ de hoogte van de staalkabels boven het wegdek, beide in meters.

Ga ervan uit dat de dikte van de staalkabels verwaarloosbaar is.

Er zijn twee even lange tuidraden die $615$ m uit elkaar aan de brug zijn bevestigd. Hoe lang zijn die tuidraden?

Deze twee tuidraden hangen $615$ m uit elkaar en precies in het midden daarvan is $x=0$ .

$615/2=307,5$ . Dus de ene hangt bij $x=text(-)307,5$ en de andere bij $x=307,5$ .

Invullen in de formule:

$y = 149/409600*307,5^2 + 3$

$y~~37,4$ m

Dus beide tuidraden zijn ongeveer $37,4$ m lang.

Deze twee tuidraden hangen $615$ m uit elkaar en precies in het midden daarvan is $x=0$ .

$615/2=307,5$ . Dus de ene hangt bij $x=text(-)307,5$ en de andere bij $x=307,5$ .

Invullen in de formule:

$y = 149/409600*307,5^2 + 3$

$y~~37,4$ m

Dus beide tuidraden zijn ongeveer $37,4$ m lang.

Er zijn twee tuidraden die $111,2$ m lang zijn. Hoe ver zitten die twee tuidraden uit elkaar aan de brug bevestigd? Bepaal het antwoord door een bijpassende vergelijking op de lossen.

Je weet dat $y=111,2$ . Maak hiermee een vergelijking en los die op.

$149/409600 x^2 + 3$

$=$

$111,2$

$149/409600 x^2$

$=$

$108,2$

$x^2$

$~~$

$297441,07$

Je vindt: $x~~±545,2$

Dus de draden zitten ongeveer $545,2*2=1090,8$ m uit elkaar.

Je weet dat $y=111,2$ . Maak hiermee een vergelijking en los die op.

$149/409600 x^2 + 3$

$=$

$111,2$

$149/409600 x^2$

$=$

$108,2$

$x^2$

$~~$

$297441,07$

Je vindt: $x~~±545,2$

Dus de draden zitten ongeveer $545,2*2=1090,8$ m uit elkaar.

Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte $h$ van de vuurpijl hangt af van de tijd $t$ dat deze onderweg is. Er geldt: $h=100 +40 t-5 t^2$ . Hierin is $h$ in meter en $t$ in seconden gemeten.

Maak de grafiek van $h$ .

Voer de functie in GeoGebra in met $text(-)5 ≤x≤10$ en $text(-)5 ≤ y ≤200$ .

Of met de GR: Y1=100+40X−5X^2
Venster bijvoorbeeld: $text(-)5 ≤x≤10$ en $text(-)5 ≤ y ≤200$ .

Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten?

Vul $t=0$ in, je vindt $h=100$ meter

Bereken na hoeveel seconden de vuurpijl weer op diezelfde hoogte is.

$100 +40 t-5 t^2 = 100$ geeft $t^2 - 8t = t(t-8) = 0$ en dus $t=0 vv t=8$ .
Na $8$ seconden heeft de vuurpijl weer dezelfde hoogte.

Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment?

Na $4$ seconden was de vuurpijl op het hoogste punt. Toen was hij $180$ meter boven de begane grond.

Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht?

$100 +40 t-5 t^2 = 0$ geeft $t^2 - 8t -20 = (t-10)(t+2) = 0$ en dus $t=text(-)2 vv t=10$ .
Na $10$ seconden komt de vuurpijl op de grond.

Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Licht je antwoord toe.

Nee, je weet niet onder welke hoek de pijl is afgeschoten. In de formule wordt $h$ uitgezet tegen de tijd, dus je weet alleen het verloop van de hoogte.

Deze twee portieken zijn ontworpen door een architect die hoorde tot de Amsterdamse School. Er wordt beweerd dat ze een mooie paraboolvorm hebben. Je zou die vorm van de rand van het metselwerk langs beide kozijnen moeten kunnen beschrijven met formules. Neem je in het midden tussen beide portieken een verticale $h$ -as en verder de horizontale $x$ -as precies over de stoep, dan vind je $h_1 = text(-)5x^2 + 11x -2,85$ en $h_2 = text(-)5x^2 - 11x -2,85$ .

Van welke hoogte van de kozijnen is daarbij uitgegaan?

Van $h_1 = text(-)5x^2 + 11x -2,85$ is de symmetrieas $x = 1,1$ en de kozijnhoogte dus $3,2$ m.
Bij $h_2 = text(-)5x^2 - 11x -2,85$ is dat hetzelfde.

Hoe breed is dan de opening van elk portiek op de grond?

Je moet dan oplossen $text(-)5x^2 + 11x -2,85 = 0$ .
De abc-formule geeft $x = 0,3 vv x = 1,9$ .
De breedte van de portiekopening op de grond is $1,6$ m.

Teken beide portieken als deze formules kloppen. Is er werkelijk sprake van een paraboolvorm?

In de grafieken wel, maar de werkelijke portieken zijn veel ronder van vorm.

Je ziet hier een rechte kegel (de hoogte zit loodrecht boven het middelpunt van de grondcirkel).
$r$ is de straal van het grondvlak (een cirkel);
$h$ is de hoogte (afstand van het midden van het grondvlak tot de top);
$R$ is de lengte van de buitenmantel gemeten vanaf de top tot de grondcirkel.

Voor zo'n kegel geldt:

het volume $V$ is $V = 1/3 pi r^2 h$

de oppervlakte $A$ is $A = pi r^2 + pi rR$

Je ziet, dat met de oppervlakte in dit geval de totale buitenoppervlakte wordt bedoeld, inclusief de grondcirkel.

De totale buitenoppervlakte van een massieve kegel is $486,2$ cm2 en de lengte van de mantel is $15,3$ cm.

Bereken de diameter van de grondcirkel.

$A = pi r^2 + pi r * 15,3 = 486,2$ .

Dit geeft $pi r^2 + 15,3pi r - 486,2 = 0$ .

Met de abc-formule: $r = (text(-)15,3pi ± sqrt(8420,1))/(2pi)$ , dus $r~~6,95 vv r~~text(-)8,07$ .

Alleen de eerste oplossing voldoet.

De diameter van de grondcirkel is dus $6,95$ cm.

Een glazen vaas heeft de vorm van een omgekeerde kegel waar een iets kleinere omgekeerde kegel uit is gehaald. De binnendiameter is bovenaan gemeten $1,4$ cm kleiner dan de buitendiameter. De hoogte van de buitenste kegel is $40$ cm en die van de binnenste kegel is $38$ cm.
De gebruikte hoeveelheid glas is $4,16$ cm3.

Bereken de binnendiameter en de buitendiameter van de vaas.

Noem de straal van de buitencirkel bovenaan $r$ cm, dan is die van de binnencirkel bovenaan $r - 0,7$ cm.
Dus is $1/3 pi r^2 * 40 - 1/3 pi (r-0,7)^2 * 38 = 4,16$ .
Dit betekent $40r^2 - 38(r-0,7)^2 ~~ 3,97$ cm3.
Ofwel $2r^2 - 53,2r - 14,75 = 0$ , zodat $r ~~ 26,9$ cm.
De buitendiameter is ongeveer $53,7$ cm en de binnendiameter is ongeveer $52,3$ cm.

Bereken hoeveel cm3 water er maximaal in de vaas gaat.

$V = 1/3 pi * 26,2 * 38 ~~ 950$ cm3.

Los op.

$x - x^2 = 0,25$

$x = 0,5$

$x - x^2$

$=$

$0,25$

$text(-)x^2 + x - 0,25$

$=$

$0$

$x^2-x+0,25$

$=$

$0$

$x$

$=$

$0,5$

$x(x + 4) = 2x + 8$

$x = text(-)4 vv x = 2$

$x(x + 4)$

$=$

$2x + 8$

$x^2+4x$

$=$

$2x+8$

$x^2+2x-8$

$=$

$0$

$(x+4)(x-2)$

$=$

$0$

$x$

$=$

$text(-)4 vv x=2$

$2x(x - 4) = 3 - 8x$

$x=text( -) 1/2sqrt(6) vv x= 1/2sqrt(6)$

$2x(x - 4)$

$=$

$3 - 8x$

$2x^2-8x$

$=$

$3-8x$

$2x^2$

$=$

$3$

$x^2$

$=$

$1,5$

$x$

$=$

$±sqrt(1,5)$

$0,01x^2 - x = 0$

$x = 0 vv x = 100$

$0,01x^2 - x$

$=$

$0$

$x^2-100x$

$=$

$0$

$x(x-100)$

$=$

$0$

$x$

$=$

$100 vv x = 0$

Tussen de woonkamer en de keuken van Jan en Mascha zit een parabolische boog volgens de formule: $h=text(-)2,5x^2+4,5x$ . Hierin is $h$ de hoogte van de boog in meters en $x$ de horizontale afstand gemeten vanaf linksonderaan de boog.

Bij een verhuizing moet er een kast door de boog getild worden. De kast is $0,5$ m diep, en zowel $1,80$ m hoog als $1,80$ m breed.

Controleer met een berekening of de kast door de boog kan.

Ja, het kan net.

Eerst de top van de parabool vinden:

Symmetrieas is $x=0,9$ dus de top is $(0,9;2,025)$ .

Bij $x=0,9$ zit dus het midden van de boog.

De kast is $0,5$ m diep, dus je moet bij $x=0,65$ en/of $x=1,15$ kijken of daar een kast met hoogte $1,80$ m onderdoor kan.

$h=-2,5*0,65^2+4,5*0,65$

$h~~1,87$ Dus het kan net.

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het handig oplossen van vergelijkingen. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.