Met formules heb je al leren werken. In dit onderwerp is het begrip kwadratische functie in een drietal formulevormen ingevoerd. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen om snijpunten en nulpunten te berekenen (met terugrekenen, ontbinden in factoren en de abc-formule) is voorbij gekomen. En je hebt geleerd snel de top van de parabool die de grafiek van een kwadratische functie is te bepalen.

Je hebt nu alle theorie van Kwadratische functies doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

kwadratische functieparabool, top en nulpunten

ontbinden in factorenbuiten haakjes halen somproductmethode

de abc-formulede discriminant

formule voor de symmetrieas van een parabool

een kwadratische functie herkennen aan de vorm $y=a(x-p)^2+q$ en de grafiek ervan tekenen door de top af te lezen en een geschikte tabel te makennulpunten berekenen;

de nulpunten van de kwadratische functie $y=a(x-m)(x-n)$ aflezennulpunten berekenen door ontbinden in factoren;

de abc-formule gebruiken om nulpunten te berekenen van een kwadratische functie van de vorm $y=ax^2+bx+c$

de discriminant gebruiken;

de top van een parabool snel berekenen vanuit de formule $y=ax^2+bx+c$

handig kwadratische vergelijkingen oplossen.

De brug over de rivier de Tyne in het noordoosten van Engeland wordt vaak als voorbeeld genoemd voor een parabolische boog, een boog in de vorm van een parabool. Uitgaande van een assenstelsel waarin de $y$ -as langs de verticale rechterwand van de linkertoren ligt en de $x$ over de bovenkant van het horizontale wegdek ligt, zou dit op grond van afstand tussen beide torens en de plaats van de top van de parabool de bijbehorende formule

$y = - 0,0084 {(x - 81)}^{2} + 33$

moeten zijn. In deze opgave ga je uit van deze formule.

Hoeveel meter zit de top van de parabool boven het wegdek?

In de formule is de top $(81, 33)$ . Dus zit de top $33$ m boven het wegdek.

Hoeveel meter is de afstand tussen beide torens?

$162$ m.

Op hoeveel meter onder het wegdek zit de parabool aan de torens bevestigd?

Vul $x = 0$ in de formule in en je vindt $x \approx - 22,1$ .

De parabool zit ongeveer $22,1$ m onder het wegdek aan de torens vast.

Hoeveel meter zit er tussen de punten die de parabool met de bovenkant van het wegdek gemeen heeft? Geef je antwoord in dm nauwkeurig.

$y = 0$ oplossen door terugrekenen geeft $y \approx 81 \pm \sqrt{3928,6}$ .

De gevraagde afstand is ongeveer $2 \sqrt{3928,6} \approx 125,4$ .

Gegeven zijn de kwadratische functie met formule $y = - 2 x^{2} - 8 x + 12$ en de lineaire functie met formule $y = 2 x + 12$ .

Bereken de snijpunten van de parabool met de $x$ -as.

Je moet oplossen: $- 2 x^{2} - 8 x + 12 = 0$ .
Dit kan door gebruik te maken van de abc-formule, of door ontbinden in factoren.

Nulpunten: $(- 2 \pm \sqrt{10}, 0)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van beide functies.

$- 2 x^{2} - 8 x + 12 = 2 x + 12$ geeft $2 x^{2} + 10 x = 0$ en dus $2 x (x + 5) = 0$ .

De snijpunten zijn $(- 5, 2)$ en $(0, 12)$ .

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Geef daarna de eindantwoorden exact of (waar nodig) in twee decimalen nauwkeurig.

$x^{2} + 3 x = 4$

Op $0$ herleiden en ontbinden: $(x + 4) (x - 1) = 0$ .

Oplossing: $x = - 4 \lor x = 1$ .

$2 x^{2} + 15 x = 36$

Eerst op $0$ herleiden en dan de abc-formule.

Oplossing: $x = \frac{- 15 \pm \sqrt{513}}{4}$ . Dus $x \approx - 9,41 \lor x \approx 1,91$ .

$3 x^{2} = 48$

Delen door $3$ en worteltrekken.

Oplossing: $x = \pm 4$ .

$(2 x - 4) (x - 3) = 12$

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2 x^{2} - 10 x = 0$ .
Ontbinden: $2 x (x - 5) = 0$ .

Oplossing: $x = 0 \lor x = 5$ .

$(2 x - 4) (x - 3) = 0$

Oplossing: $x = 2 \lor x = 3$ .

${(x - 4)}^{2} + x^{2} = 40$

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2 x^{2} - 8 x - 24 = 0$ .
Delen door $2$ en ontbinden: $(x - 6) (x + 2) = 0$ .

Oplossing: $x = - 2 \lor x = 6$ .

$16 - {(3 - x)}^{2} = 0$

Terugrekenen: ${(3 - x)}^{2} = 16$ en $3 - x = \pm 4$ .

Oplossing: $x = - 1 \lor x = 7$ .

$2 x^{2} = x + 8$

Op $0$ herleiden en de abc-formule.

Oplossing: $x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{4}$ . Dus $x \approx - 1,77 \lor x \approx 2,27$ .

Een boer heeft een stuk land dat zuiver rechthoekig is en aan de twee lange zijden en aan één van de twee korte zijden omgeven is door een boswal van $5$ m breed. Alleen aan de kant van de weg zit geen boswal, maar een sloot voor de afwatering. Het stuk land is twee keer zo lang als het breed is.
Als deze boer de boswal volledig bij zijn land trekt, wordt de oppervlakte precies twee keer zo groot.

Bereken de afmetingen van het stuk land als de boswal nog intact is. Gebruik daarbij een vergelijking en rond je antwoord af op dm nauwkeurig.

Breedte $x$ meter, geeft lengte $2 x$ m.
Oppervlakte zonder boswal: $2 x^{2}$ m2.
Oppervlakte met boswal: $(x + 10) (2 x + 5)$ .

Nu moet $2 \cdot 2 x^{2} = (x + 10) (2 x + 5)$ .
Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden geeft $2 x^{2} - 25 x - 50 = 0$ .
De abc-formule geeft $x = \frac{25 \pm \sqrt{1025}}{4}$ .

De breedte van het land zonder boswal is ongeveer $14,3$ m en de lengte is ongeveer $28,5$ m.

De geitenfokvereniging van Oldeberkoop wil bij een reisbureau een busreis boeken naar Zwitserland, een bekend geitenland in Europa. Die reis kost elk van de $40$ leden van die vereniging 600,=. Omdat het reisbureau echter een bus voor $54$ personen moet inzetten, melden zij de geitenfokkers dat elke extra passagier waarvoor zij kunnen zorgen voor elke deelnemer aan de reis een korting van 10,= betekent.

Onderzoek of dit voor het reisbureau gunstig is. Bij welk aantal deelnemers is de opbrengst voor het reisbureau zo hoog mogelijk?

Je kunt dit probleem oplossen door gewoon een tabel van de opbrengst te maken, want het gaat om gehele personen.

Als je met een formule wilt werken, dan noem je (bijvoorbeeld) het aantal extra deelnemers $n$ . De opbrengst voor het reisbureau is dan $T O = (40 + n) (600 - 10 n) = 24000 + 200 n - 10 n^{2}$ .

Dit is een kwadratisch verband waarbij een grafiek hoort met top $(10, 25000)$ . De maximale opbrengst voor het reisbureau is 25000,= en dat is meer dan de 24000,= die ze zonder extra passagiers verdienen. Zelfs bij $14$ extra passagiers springen ze er goed uit.

Een balk steekt loodrecht op de muur naar buiten. Het punt waar hij de muur verlaat is het steunpunt van deze balk.
Het buigmoment $M$ in een bepaald punt van een balk is $M = 1/2*3x(20−x)$ waarin $x$ de afstand is tot het steunpunt in meter.

Bereken de waarden van $x$ waarbij het buigmoment $50$ Nm (newtonmeter) bedraagt.

Los op $1/2*3x(20-x) = 50$ .
Haakjes wegwerken geeft $60x - 3x^2 = 100$ en dus $3x^2 - 60x + 100 = 0$ .
Met de abc-formule vind je $x = (60 +- sqrt(2400))/6$ en dus $x ~~ 18,16 vv x ~~ 1,84$ .
Dus bij $1,84$ m en $18,16$ m.

Je ziet hier de grafieken van de kwadratische functie met formule $y = - 2 x^{2} - 8 x + 12$ en de lineaire functie met formule $y = 2 x + 12$ .

Je ziet hier in de figuur een lijnstuk $P Q$ dat evenwijdig is aan de verticale as en waarvan punt $P$ op de grafiek van de lineaire functie en punt $Q$ op de grafiek van de kwadratische functie ligt. De $x$ -coördinaat van de punten $P$ en $Q$ is een getal tussen $- 5$ en $0$ .

Als je het punt $Q$ verplaatst dan wordt de lengte van het lijnstuk $P Q$ langer of korter. Met de applet kun je uitzoeken voor welke waarde van $x$ de lengte van dit lijnstuk maximaal is.

Maar je kunt dit ook exact berekenen...

Maximale lengte

Tussen de grafieken van de functies die je hierboven ziet bevindt zich lijnstuk $P Q$ .

De lengte van dit lijnstuk kan variëren, je wilt de maximale lengte weten, want de minimale lengte is $0$ .

Waarom is het minimum van de lengte van het daar beschreven lijnstuk $0$ ?

Omdat de $x$ -waarde van de punten $P$ en $Q$ varieert tussen $- 5$ en $0$ . En voor zowel $x = - 5$ als $x = 0$ vallen $P$ en $Q$ samen.

Noem de $x$ -waarde van beide punten $p$ . Welke coördinaten hebben $P$ en $Q$ dan?

$P (p, 2 p + 12)$ en $Q (p, - 2 p^{2} - 8 p + 12)$ .

Leg uit dat de lengte van lijnstuk $P Q$ gelijk is aan $L = - 2 p^{2} - 10 p$ .

Om deze lengte te berekenen moet je de $y$ -coördinaat van $P$ aftrekken van de $y$ -coördinaat van $Q$ .

De grafiek van $L$ als functie van $p$ is een bergparabool. Bereken het maximum van die functie.

De top van deze bergparabool is $(- 2,5; 12,5)$ . Dus het maximum is $12,5$ .

Maximale lengte van een lijnstuk tussen twee parabolen

Gegeven zijn de kwadratische functies met formules $y_{1} = 4 - x^{2}$ en $y_{2} = x^{2} - 2 x$ . Op de grafiek van $y_{1}$ ligt het punt $P$ waarvan de $x$ -coördinaat tussen $-1$ en $2$ ligt. Op de grafiek van $y_{2}$ ligt het punt $Q$ met dezelfde $x$ -coördinaat als punt $P$ . Het lijnstuk $P Q$ verbindt beide punten.

Maak een schets van deze situatie. (Of - nog mooier - teken deze situatie in GeoGebra.)

Doen.

Als je punt $P$ varieert, verandert ook de lengte van lijnstuk $P Q$ . Bereken de maximale lengte van dit lijnstuk.

Als $p$ de $x$ -coördinaat van punt $P$ is, dan is $P (p, 4 - p^{2})$ en $Q (p, p^{2} - 2 p)$ . De lengte van het lijnstuk is dan $L = 4 - p^{2} - (p^{2} - 2 p) = -2 p^{2} + 2 p + 4$ .

De lengte is dus een kwadratische functie met een maximum voor $p = - \frac{2}{2 \cdot -2} = 0,5$ . De maximale lengte is $4,5$ .