werken met machtsfuncties met reële positieve exponenten;
wortels weergeven als machten en omgekeerd machten met een gebroken exponent schrijven als wortels;
de rekenregels voor machten gebruiken.
werken met lineaire en kwadratische functies;
de rekenregels voor machten gebruiken;
tabellen maken en grafieken tekenen bij formules van twee variabelen.
De soortelijke massa van een massief ijzeren kubus is kg/dm
Voor de massa van deze kubus geldt: , waarin de lengte van een ribbe is in dm.
Waarom kun je zeggen dat de massa recht evenredig is met ?
Als bijvoorbeeld keer zo groot wordt, wordt dat ook.
Waarom kun je niet zeggen dat de massa recht evenredig is met ?
Als bijvoorbeeld keer zo groot wordt, wordt niet keer zo groot, maar keer zo groot.
Bereken de massa van zo'n kubus als dm in kg nauwkeurig.
kg.
Bereken de lengte van de ribben van zo'n kubus als hij een massa van kg heeft. Geef je antwoord op één decimaal nauwkeurig in dm.
Los op: .
De ribben zijn ongeveer dm lang.
De inhoud van een kubus met ribben van lengte is: .
Dit is een typisch voorbeeld van een machtsfunctie: de variabele moet tot de derde macht worden verheven om de uitkomsten te vinden.
De massa van een kubus is recht evenredig met de derde macht van .
De soortelijke massa van een massief ijzeren kubus is kg/dm
Voor het gewicht van deze kubus geldt: , waarin is uitgedrukt in dm.
Het getal is de evenredigheidsconstante.
Als je de lengte van de ribben van een massief ijzeren kubus van kg wilt uitrekenen, dan moet je oplossen:
Dat kun je doen door eerst beide zijden door te delen: .
Vervolgens neem je de derdemachts wortel:
dm.
Deze laatste stap kan ook anders.
Uit de rekenregel volgt .
Dus kun je oplossen door beide zijden tot de macht te verheffen:
dm.
Je ziet dat .
En dit geldt heel algemeen: .
En dat betekent dat we ook breuken als machten kunnen toelaten. In feite kan elk decimaal getal als exponent van een macht optreden.
De inhoud van een kubus wordt beschreven met de formule: .
Bereken de inhoud van een kubus waarvan de ribbe cm is.
cm
Als cm, dan cm
Maak de ribben twee keer zo groot. Wat gebeurt er met de inhoud?
Als de ribbe is, wordt de inhoud .
De inhoud wordt keer zo groot.
Waarom is de inhoud van een kubus wel recht evenredig met , maar niet recht evenredig met ?
Zie het antwoord bij b.
Als met factor wordt vergroot, dan wordt met vergroot.
Als met factor wordt vergroot, dan wordt ook met vergroot.
Bekijk de formule voor de massa van de massieve ijzeren kubus in de Uitleg.
Bereken bij een kubus met een massa van kg.
Los op . Dat geeft en dus dm.
Laat zien dat je die formule kunt herleiden tot: .
geeft en dus .
Bereken met de formule als de massa van de kubus kg is.
Vind je hetzelfde antwoord als bij d?
dm.
Door het afronden is er een klein verschil met het antwoord bij d.
Ook het verband tussen de ribbe en de oppervlakte van een kubus is een machtsverband.
Waarom is de oppervlakte recht evenredig met ?
Waarom is de soortelijke massa van het materiaal waar de kubus van is gemaakt niet van belang?
De oppervlakte van de kubus bestaat uit zes vierkanten dus de bijbehorende formule is: .
Voor de oppervlakte speelt het geen enkele rol van welk materiaal de kubus is gemaakt.
Bereken de oppervlakte van een kubus met een ribbe van cm.
cm
cm
Hoeveel keer zo groot moet de ribbe worden om een kubus te krijgen met een maal zo grote oppervlakte?
keer zo groot.
De formule is: . De constante verandert niet. Om vier keer zo groot te maken zal moeten veranderen. gaat tot de tweede macht. Er moet een getal gezocht worden, zodat . Dus het getal en moet twee keer zo groot worden om vier keer zo groot te maken.
Laat zien dat de formule bij a is te herleiden tot .
.
, dus en .
Bereken met de formule als de oppervlakte van de kubus cm
cm.
Als
Je kunt hier voorbeelden van grafieken van machtsfuncties bekijken. Daarbij is steeds een positief getal of en .
Vanuit de machtsfunctie (dus als ) kun je op twee manieren terugrekenen:
Afhankelijk van de waarde van heb je één of twee antwoorden.
De
mits en .
mits
De inhoud van een bol is recht evenredig met de derde macht van de straal: .
Bereken de straal van een bol met een inhoud van cm
Daarvoor moet je oplossen: . En dus:
Je vindt: cm.
Het is ook mogelijk eerst de formule voor de inhoud van een bol zo om te rekenen, dat de straal wordt uitgedrukt in de inhoud. Dat gaat zo:
Je vindt: , dus is recht evenredig met .
De evenredigheidsconstante is (ongeveer) .
De formule voor de inhoud van een bol is: .
is recht evenredig met . Bereken de evenredigheidsconstante in twee decimalen nauwkeurig.
is recht evenredig met . Laat zien dat de evenredigheidsconstante ongeveer is
De evenredigheidsconstante is
Bij welke van de volgende formules is recht evenredig met een macht van ? Geef in dat geval de evenredigheidsconstante.
is recht evenredig met ; evenredigheidsconstante .
is niet r.e. met .
is r.e. met ; evenredigheidsconstante .
is r.e. met ; evenredigheidsconstante .
Met behulp van de rekenregels voor machten kun je functies met wortels herleiden tot machtsfuncties van de vorm . Doe dit met de functies:
Omgekeerd kun je machtsfuncties met gebroken exponenten herleiden tot functies met wortels. Doe dit met de functies:
Je vindt:
En omgekeerd:
In het voorbeeld zie je hoe functies met wortelvormen kunnen worden geschreven als machtsfuncties.
Schrijf de volgende functies in de vorm .
In het voorbeeld zie je ook hoe je machtsfuncties kunt schrijven zonder gebroken exponenten.
Doe dit bij de volgende functies.
In een vlak landschap is er een verband tussen hoe ver je kunt kijken en hoe hoog je ogen zich boven het landschap bevinden. Voor de kijkafstand (in meter) als functie van de hoogte (in meter) geldt: .
Laat zien, dat recht evenredig is met een macht van .
Bereken de hoogte waarbij een kijkafstand van km hoort.
Deze functie kun je schrijven als m.
Dus is recht evenredig met met een evenredigheidsconstante van .
Bij een kijkafstand van km hoort m.
Dan geldt: .
Deze vergelijking kun je oplossen door delen door en vervolgens kwadrateren:
m.
Bekijk de formule voor de kijkafstand (in meter) als functie van de hoogte (in meter) in
Bereken hoe ver je kunt kijken vanaf een toren van m hoog.
Als , dan m.
Laat zien dat de gegeven formule is te herleiden tot .
geeft en dus .
Op een eiland wordt een vuurtoren gebouwd. De toren wordt zo hoog gemaakt dat je bij helder weer km ver kunt kijken.
Bepaal de hoogte van de toren op de volgende manieren:
aflezen uit de grafiek van ;
in de formule de variabele vervangen door ; de vergelijking die je dan krijgt oplossen door hem stapsgewijs te vereenvoudigen;
berekenen met de formule .
Eerste manier: Grafiek geeft m.
Tweede manier: Los op . Dat geeft en . Dus hoogte is m.
Derde manier: . Dus hoogte is m.
Schrijf de volgende functies in de vorm .
Schrijf de volgende functies zonder gebroken exponenten.
Gegeven is de machtsfunctie .
Bereken als .
Bereken voor welke waarde van geldt . Rond je antwoord af op twee decimalen.
, dus
Als de waarde van vier keer zo groot wordt, met hoeveel wordt de bijbehorende uitkomst dan vermenigvuldigd?
Als je voor in de plaats invult, krijg je .
Dus met .
Er is een verband tussen de snelheid (in km/h) van een auto en de bijbehorende remweg (in m).
De remweg is de afstand die de auto nog aflegt als je zo hard mogelijk remt.
Een vuistregel voor dit verband is: .
is recht evenredig met een macht van . Hoe groot is de evenredigheidsconstante?
Ja, de evenredigheidsconstante is .
In een weg zit een scherpe bocht waarin je maar meter vooruit kunt kijken. Een eis voor veilig rijden is dat je moet kunnen stoppen binnen de afstand die je kunt overzien. Wat is volgens deze vuistregel de maximumsnelheid in deze bocht?
geeft en dus km/h.
Geef de formule waarmee de snelheid wordt uitgedrukt in de remweg. Beschrijf in woorden wat voor verband dit is.
geeft . Dus .
is recht evenredig met .
Geef commentaar op de volgende uitspraak:
Als , dan km/h.
Als , dan km/h.
De bewering is dus niet waar.
De slingertijd (in s) van een massa die aan een touw heen en weer slingert wordt gegeven door:
waarin de lengte van het touw (in m) en de gravitatieconstante is.
Bereken de slingertijd als m.
s.
Laat zien, dat je de formule kunt schrijven als .
.
Bereken de lengte van het touw als de slingertijd s bedraagt.
geeft m.
Geef een formule voor afhankelijk van .
geeft .
Ga uit van een massieve ijzeren balk met ribben , en in cm. De soortelijke massa van ijzer is g/cm
Stel een formule op voor de massa van de balk als functie van .
, waarbij in gram en in cm.
Stel een formule op voor de oppervlakte van de balk als functie van .
Laat zien dat .
Uit volgt .
Dus is .
Bereken de massa van zo'n balk als de totale buitenoppervlakte cm
geeft en gram.
De Duitse fysioloog Karl Meeh deed onderzoek naar het verband tussen lichaamsmassa en huidoppervlakte van verschillende diersoorten. De grootte van de huidoppervlakte is van belang bij het warmteverlies van het dier. Diersoorten met een relatief grote huidoppervlakte in verhouding tot hun massa zullen meer energie nodig hebben om op temperatuur te blijven. Ze zullen dan ook in verhouding meer moeten eten. Meeh heeft een formule gevonden die het verband tussen massa en huidoppervlakte aangeeft: . Hierin is de huidoppervlakte (in dm
Je ziet dat voor dit verschijnsel de huidoppervlakte rechtevenredig is met de 2/3-de macht van de lichaamsmassa. De factor is de evenredigheidsconstante en verschilt per diersoort. In de biologie wordt deze evenredigheidsconstante de Meeh-coëfficiënt genoemd. In de tabel is voor een aantal diersoorten de Meeh-coëfficiënt gegeven.
| muis | rat | kat | konijn | schaap | varken | koe | paard | mens | |
Voor elke diersoort kun je ook een grafiek tekenen. Je ziet dan dat het verband dat Meeh gevonden heeft vooral aangeeft dat hoe zwaarder een dier is, hoe groter het huidoppervlakte is. Dat is logisch, maar je ziet ook dat de huidoppervlakte minder snel toeneemt dan de massa: de stijging neemt af. Dat komt door de macht in de formule. Als je grafieken van twee diersoorten naast elkaar zet, kun je soorten vergelijken. Welke diersoort zal verhoudingsgewijs meer eten nodig hebben?
De tabel met Meeh-coëfficiënten in
| (kg) | |||||
| (dm |
Bepaal de Meeh-coëfficiënt van de Schotse Hooglander.
Breid de tabel uit met een rij voor en een rij voor . Als het goed is vind je in de laatste rij steeds (ongeveer) hetzelfde getal, namelijk . Dit is de gevraagde Meeh-coëfficiënt. Voor de Schotse Hooglanders geldt .
De huid van een bepaalde Schotse Hooglander heeft een oppervlakte van ongeveer dm
De koe is ongeveer kg.
geeft en dus kg.
Als je deze formule omrekent zodat de lichaamsmassa uitgedrukt wordt in de huidoppervlakte, wat wordt dan de evenredigheidsconstante?
met evenredigheidsconstante .
geeft en dus .
met evenredigheidsconstante .
Als de lichaamsmassa twee keer zo groot wordt, wordt de huidoppervlakte dan meer of minder dan twee keer zo groot?
Minder dan twee keer zo groot, namelijk keer zo groot.
Gebruik de formule . Als invult, dan en .
Dus minder dan twee keer zo groot, namelijk keer zo groot.
Ook voor een massieve bol beschrijft de formule van Meeh het verband tussen de oppervlakte en de massa . Ga uit van een massieve ijzeren bol, de soortelijke massa van ijzer is g/cm
Zoek de formules voor de inhoud van een bol met straal en de oppervlakte van zo'n bol op.
en
Welke formule geldt voor de massa als functie van de straal van de bol? Neem in cm en in gram.
Door de formules voor de massa en de oppervlakte van een bol met straal te combineren vind je . Bepaal de waarde van .
.
Uit volgt en dus . Dus .
Schrijf deze functies als machtsfuncties, dus in de vorm .
Herleid deze functies tot een vorm zonder gebroken exponenten.
Het volume van een cilinder kun je berekenen met de formule . Hierin is de straal van het grondvlak en de hoogte van de cilinder, beide in cm. Je wilt blikken maken die even hoog als breed zijn, dus waarvan .
Welke formule geldt bij deze blikken voor als functie van ?
Herleid deze formule tot .
De oppervlakte van zo'n blik bestaat uit een rechthoek en twee cirkels. Leid een formule af voor de oppervlakte als functie van .
Laat zien dat .
.