werken met exponentiële functies en herkennen of er van exponentiële groei sprake is;

verdubbelingstijd en halveringstijd berekenen.

werken met exponentiële groei en de bijbehorende groeifactor;

lineaire groei en exponentiële groei vergelijken;

formules opstellen voor lineaire en exponentiële groei.

Hier zie je de grafiek van $y = 2^{x}$ , ook voor negatieve waarden van $x$ .

Wat gebeurt er met de uitkomst als $x$ met $1$ toeneemt?

De uitkomst, de $y$ -waarde verdubbelt dan.

Wat gebeurt er met de uitkomst als $x$ met $1$ afneemt?

De uitkomst, de $y$ -waarde halveert dan.

Hoeveel is $2^{0}$ ? Kun je dat verklaren?

$2^{0} = 1$ , want $2^{1} = 2$ en als $x$ met $1$ afneemt moet je halveren, dus $2^{0} = 2^{1 - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{1} = 1$ .

Hoeveel is $2^{- 1}$ ?

$2^{- 1} = 2^{0 - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{0} = \frac{1}{2}$ .

Krijg je ooit een uitkomst $0$ ?

Nee, naar links moet je elke gehele stap halveren en dus blijf je boven $0$ .

Tot nu toe heb je bij exponentiële functies weinig met mintekens te maken gehad. Toch kun je heel goed een grafiek maken van $y = {- 2}^{x}$ , ook voor negatieve waarden van $x$ .

Hoe ziet die grafiek er uit?

Het wordt het spiegelbeeld van de grafiek bij de vorige opgave met alle uitkomsten negatief. Je spiegelt de grafiek van de vorige opgave dus in de $x$ -as.

Maar bekijk nu $y = {(- 2)}^{x}$

Vul de volgende tabel in:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	‌	‌	‌	‌	‌

Zie tabel:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$	$16$

Kun je nu bij deze functie een zinvolle grafiek tekenen? Licht je antwoord toe.

Bij deze functie kun je geen grafiek tekenen, want je kunt de punten niet op een zinvolle manier verbinden. Er lijken afwisselend positieve en negatieve uitkomsten te zijn, maar dat is alleen bij gehele getallen. Hoe het daar tussenin zit is onduidelijk. Je rekenmachine zal bijvoorbeeld ${(- 2)}^{0,5}$ ook niet kunnen berekenen.

Hier zie je de grafiek van de exponentiële functie $y = 6*1,5^t$ .
Er is sprake van exponentiële groei met beginwaarde $6$ en groeifactor $1,5$ . Elke toename van $x$ met $1$ betekent dat de hoeveelheid $1,5$ keer zo groot wordt. Elke afname van $t$ met $1$ betekent dat de hoeveelheid door $1,5$ wordt gedeeld. De uitkomsten naderen naar $0$ , maar blijven toch altijd positief. De lijn $y=0$ is de horizontale asymptoot van de grafiek.

Ook de functie $y = 6*1,5^t + 2$ is een exponentiële functie.
Maar nu is er van exponentiële groei geen sprake.
De grafiek van $y = 6*1,5^t$ is $2$ omhoog geschoven.
De lijn $y=2$ is nu de horizontale asymptoot.

Bij $y = 6*1,5^t$ is er sprake van een vaste verdubbelingstijd: hoe groot de hoeveelheid op zeker moment ook is, er telkens evenveel tijd nodig om het dubbele te krijgen, namelijk ongeveer $1,71$ tijdseenheden.
Bij $y = 6*1,5^x + 2$ is dat niet het geval.

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie $y = 6*1,5^t$ in de Uitleg.

Hoe kun je aan de groeifactor zien dat de grafiek stijgend is?

De groeifactor is groter dan $1$ .

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ met $1$ toeneemt?
En als $t$ met $1$ afneemt?

Elke keer dat $t$ met $1$ toeneemt wordt $y$ met $1,5$ vermenigvuldigd.
Elke keer dat $t$ met $1$ afneemt wordt $y$ door $1,5$ gedeeld.

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ oneindig groot wordt?
En als $t$ oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

Als $t$ heel oneindig groot wordt, groeit $y$ explosief naar oneindig.
Als $t$ negatief oneindig wordt, benadert $y$ de waarde $0$ steeds meer.

Op welk tijdstip $t$ zit $y$ voor het eerst minder dan $10^(text(-)6)$ van $0$ af? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

$6*1,5^t lt 10^(text(-)6)$ kun je het beste oplossen met een inklemtabel.
Gebruik daarvoor een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je vindt $t le text(-)38,5$ , dus op $t = text(-)38,5$ voor het eerst.

Bereken de verdubbelingstijd die hoort bij deze exponentiële groei.

Er is sprake van een begingetal van $y=6$ .
Deze waarde is verdubbeld als $y=2*6=12$ .
Met de grafiek (grafische rekenmachine of GeoGebra) kun je bepalen dat daarbij $t~~1,71$ hoort.

Laat zien dat deze verdubbelingstijd niet afhangt van de $y$ -waarde waar je mee begint.

Bij $y = 20*1,5^t$ vind je dezelfde verdubbelingstijd. Ga maar na!

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie $y = 6*1,5^t + 2$ in de Uitleg.

Hoe kun je aan de groeifactor zien dat de grafiek stijgend is?

De groeifactor is groter dan $1$ .

Waarom is er nu geen sprake van exponentiële groei?

Nu wordt de $y$ -waarde niet met $1,5$ vermenigvuldigt als $t$ met $1$ toeneemt.

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ oneindig groot wordt?
En als $t$ oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

Als $t$ heel oneindig groot wordt, groeit $y$ explosief naar oneindig.
Als $t$ negatief oneindig wordt, benadert $y$ de waarde $2$ steeds meer.

Op welk tijdstip $t$ zit $y$ voor het eerst minder dan $10^(text(-)6)$ van de horizontale asymptoot af? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

$6*1,5^t + 2 lt 2 + 10^(text(-)6)$ kun je het beste oplossen met een inklemtabel.
Gebruik daarvoor een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je vindt $t le text(-)38,5$ , dus op $t = text(-)38,5$ voor het eerst. Dat is dezelfde waarde als in de vorige opgave, nogal logisch, toch?

Waarom valt er nu geen verdubbelingstijd te berekenen?

Er is geen sprake van exponentiële groei.

Neem eens aan, dat je een glas met water van $70$ °C in een kamer met een temperatuur van $20$ °C zet.
Volgens de warmtewet van Newton neemt het temperatuurverschil met de omgeving met een vast percentage per uur af. Neem aan dat dit met $60$ % per uur is.

Hoeveel graden is de watertemperatuur na $1$ uur?

Je moet $40$ % van het temperatuursverschil $70-20=50$ °C nemen en er dan nog de kamertemperatuur bijtellen.
Dus $50*0,4+20 = 40$ °C.

Neem aan dat $T$ de temperatuur in °C en $t$ de tijd in uren is.

Waarom is de formule $T = 70*0,4^t$ geen goede formule voor dit afkoelingsproces?

Daar zijn meerdere redenen voor. Bijvoorbeeld:

Op $t=1$ krijg je $T = 28$ °C en dat klopt niet met a.

Als $t$ oneindig groot wordt, dan gaat in deze formule $T$ naar $0$ .

Bedenk een formule die wel past bij dit afkoelingsproces.

$T = 50*0,4^t + 20$

Is hier sprake van exponentiële afname, exponentieel verval?

Nee.

Elke functie van de vorm $y = b \cdot g^{x} + a$ heet een exponentiële functie. Er zijn twee soorten exponentiële functies:

exponentiële functies met een stijgende grafiek als $g gt 1$ ;

exponentiële functies met een dalende grafiek als $g lt 1$ .

Bij al deze functies is er sprake van een asymptoot. In dit geval is de asymptoot de lijn $y = a$ , een lijn waar de grafiek wel steeds dichter bij komt te lopen, maar waar hij nooit mee samenvalt.

Alleen als $a = 0$ is er sprake van exponentiële groei.
De verdubbelingstijd is dan de tijdsduur waarin de (begin)hoeveelheid verdubbelt.
De asymptoot is dan de tijdsduur waarin de (begin)hoeveelheid halveert.
Deze tijdsduren kun je vooralsnog alleen met inklemmen of een grafische rekenmachine of GeoGebra vinden.

De brandstof van kerncentrales bestaat uit staven uranium. Dit uranium wordt in de reactor omgezet naar plutonium. Deze stof zendt radioactieve straling uit met een halveringstijd van $10text(.)000$ jaar. Omdat de tijd waarin de hoeveelheid plutonium halveert zo groot is, is het bewaren van dit radioactieve afval een probleem.

Hoe lang moet je $10$ kg plutonium als radioactief afval opslaan om te zorgen dat er nog $1$ kg van over is?

Neem je de tijd $t$ in eenheden van één halveringstijd, dan is de hoeveelheid plutonium $P$ in kg:

$P = 10*0,5^t$

Je hebt dan nog $1$ kg over als $10*0,5^t = 1$ .
Dat levert met GeoGebra op: $t ~~ 3,32$ .
Je moet het plutonium dan ongeveer $3,32 * 10000 = 33200$ jaar bewaren.

Je kunt ook de tijd $t$ in jaren nemen.
Dan moet je eerst de groeifactor $g$ per jaar berekenen vanuit de halveringstijd, dus vanuit:

$10*g^(10000) = 5$ ofwel $g^10000 = 0,5$ .

Je vindt $g = 0,5^(1/10000) = 0,9999306... ~~ 0,99993$ . (Neem vooral veel decimalen.)

Vervolgens moet je oplossen $10*0,99993^t = 1$ .
Je vindt dan $t ~~ 33219$ jaar.

In Voorbeeld wordt het verloop van de hoeveelheid plutonium in de loop van de tijd beschreven door een beginwaarde en een halveringstijd.

Waarom is er dan sprake van exponentieel verval?

Er is een vaste tijd waarin de hoeveelheid $P$ halveert.
Dit betekent dat de beginhoeveelheid steeds met vaste tijdstappen met factor $0,5$ wordt vermenigvuldigd.

Welke eenheid van tijd hoort er bij de formule $P = 10*0,5^t$ ?

$t$ is dan in tienduizenden jaren.

Welke horizontale asymptoot heeft deze formule?

De horizontale as, dus $P=0$ .

Bereken zelf de groeifactor per jaar.
Ga met behulp van GeoGebra of de grafische rekenmachine na dat na $33219$ jaar de hoeveelheid plutonium minder dan $1$ kg is.

Eigen antwoord.

Bij het huidige groeitempo is de verdubbelingstijd van de wereldbevolking $58$ jaar.
Eind 2011 bedroeg de wereldbevolking $7$ miljard mensen.

Stel een formule op voor het aantal mensen $N$ als functie van de tijd $t$ .
Neem als tijdseenheid de verdubbelingstijd.

$N = 7 * 2^t$

Na hoeveel jaar zouden er $10$ miljard mensen op aarde zijn?

Maak de grafiek van $N = 7*2^t$ en los daarmee op $7*2^t = 10$ .
Dit geeft $t ~~ 0,51$ , dus over $0,51*58 ~~ 29,8$ jaar.

Stel ook een formule op voor $N$ als functie van $t$ in jaren.

Noem de groeifactor per jaar $g$ .
$g^58 = 2$ geeft $g = 2^(1/58) ~~ 1,012$ .
De formule wordt $N = 7*1,012^t$ .

Laat zien dat deze formule hetzelfde resultaat oplevert als bij b.

$7*1,012^t = 10$ levert met GeoGebra of de grafische rekenmachine meteen op $t ~~ 29,8$ .

Je ziet hier het verloop van de temperatuur $T$ in °C van theewater in een beker die wordt geplaatst in een omgevingstemperatuur van $20$ °C afhankelijk van de temperatuur $t$ in uren.

$t$ in uur	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$T$ in °C	$90,0$	$48,0$	$31,2$	$24,5$	$21,8$	$20,7$	$20,3$	$20,1$	$20,0$

Laat zien, dat de formule $T = 70*0,4^t + 20$ redelijk past bij deze tabel.

Als het theewater onder de $30$ °C komt kun je er geen bruikbare thee meer van maken. Na hoeveel uur is dat niet meer mogelijk?

Maak een tabel met de gegeven formule en vergelijk hem met de tabel hierboven.
Je zult zien dat ze goed overeenkomen.

Bruikbare thee kun je maken tot $70*0,4^t + 20 lt 30$ .
Zo'n vergelijking kun je nog niet algebraïsch oplossen en dus kun je net zo goed meteen GeoGebra of een grafische rekenmachine inzetten. Je krijgt dan gemakkelijk de juiste oplossing $t gt 2,12$ uur.

Bekijk Voorbeeld.

Maak zelf een tabel en een grafiek bij de formule.

Gebruik een grafische rekenmachine of GeoGebra.

Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van $T$ ?

$T = 20$

Waarom is hier geen sprake van exponentiële afname?

De afname is per tijdseenheid niet met een vaste groeifactor.
Er wordt dus per tijdseenheid niet met een vast getal vermenigvuldigd.

Laat zien dat je geen bruikbare thee meer kunt maken na $t gt 2,12$ .

Gebruik GeoGebra of de grafische rekenmachine.

Een patiënt krijgt via een infuus een medicijn toegediend. De formule

$A = 540 - 540*0,95^t$

geeft de hoeveelheid $A$ in mg van het medicijn die na $t$ minuten in het bloed van de patiënt is opgenomen.

Is de grafiek van $A$ als functie van $t$ dalend of stijgend?
Hoe zie je dat aan de formule?

Als $t$ groter wordt, wordt $540*0,95^t$ kleiner en dus wordt er steeds minder van de $540$ afgetrokken: $A$ wordt steeds groter. En dus is de grafiek stijgend.

Geef een formule voor de asymptoot van de grafiek van $A$ .

$A = 540$

Laat zien dat er geen sprake is van exponentiële groei.

Maak een tabel en/of bekijk de grafiek. De hoeveelheid $A$ wordt niet per minuut met een vast getal vermenigvuldigd.

Na hoeveel minuten is $75$ % van de maximale hoeveelheid medicijn in het bloed opgenomen?

$0,75*540 = 405$ mg.

Bekijk de tabel, na $28$ minuten is dit het geval.

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie $y = 50*0,92^t$ .

Hoe kun je aan de groeifactor zien dat de grafiek dalend is?

De groeifactor is kleiner dan $1$ .

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ met $1$ toeneemt?
En als $t$ met $1$ afneemt?

Elke keer dat $t$ met $1$ toeneemt wordt $y$ met $0,92$ vermenigvuldigd.
Elke keer dat $t$ met $1$ afneemt wordt $y$ door $0,92$ gedeeld.

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ oneindig groot wordt?
En als $t$ oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

Als $t$ heel oneindig groot wordt, benadert $y$ de waarde $0$ steeds meer.
Als $t$ negatief oneindig wordt, groeit $y$ explosief naar oneindig.

Op welk tijdstip $t$ zit $y$ voor het eerst minder dan $10^(text(-)2)$ van $0$ af? Geef je antwoord in gehelen nauwkeurig.

$50*0,92^t lt 10^(text(-)2)$ kun je het beste oplossen met een tabel.
Gebruik daarvoor een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je vindt $t gt 102$ , dus op $t = 103$ voor het eerst.

Bereken de halveringstijd die hoort bij deze exponentiële groei. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Er is sprake van een begingetal van $y=50$ .
Deze waarde is gehalveerd als $y=25$ .
Met de grafiek (grafische rekenmachine of GeoGebra) kun je bepalen dat daarbij $t~~8,3$ hoort.

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie $y = 20 - 14*0,8^t$ .

Hoe kun je aan de formule zien dat de grafiek stijgend is?

$14*0,8^t$ wordt kleiner als $t$ groter wordt.
En de $y$ -waarde wordt dan dus groter want je haalt steeds minder van de $20$ af.

Waarom is er nu geen sprake van exponentiële groei?

Nu wordt de $y$ -waarde niet met een vast getal vermenigvuldigt als $t$ met $1$ toeneemt.

Wat gebeurt er met de $y$ -waarde als $t$ oneindig groot wordt?
En als $t$ oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

Als $t$ heel oneindig groot wordt, benadert $y$ de waarde $20$ steeds meer.
Als $t$ negatief oneindig wordt, groeit $y$ explosief naar oneindig.

Op welk tijdstip $t$ zit $y$ voor het eerst minder dan $10^(text(-)2)$ van de horizontale asymptoot af? Geef je antwoord in gehelen nauwkeurig.

$20 - 14*0,8^t gt 19,99$ kun je het beste oplossen met een inklemtabel.
Gebruik daarvoor een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je vindt $t gt 32$ , dus op $t = 33$ voor het eerst.

Waarom valt er nu geen verdubbelingstijd te berekenen?

Er is geen sprake van exponentiële groei.

Salmonella is een darmbacterie. Die komt door uitwerpselen van mens en dier terecht in het milieu, in het water en in levensmiddelen. Mensen lopen meestal een besmetting op door rauwe dierlijke producten, zoals vlees, vis, eieren en zuivel. Ook groenten en fruit kunnen salmonella bevatten.

Bij een temperatuur van $20$ °C wordt het aantal bacteriën elk half uur verdrievoudigd.

Als het aantal salmonellabacteriën elk half uur drie keer zo groot wordt, met welke groeifactor per uur neemt dit aantal dan toe?

Met groeifactor $3^2 = 9$ .

Hoe groot is de groeifactor (drie decimalen) per minuut?

Per minuut is de groeifactor $3^(1/30) ~~ 1,037$ .

Neem aan dat $A$ het aantal salmonella bacteriën en $t$ de tijd in minuten is. De omgevingstemperatuur is $20$ °C .
Op $t=0$ zitten er in een salade $20$ salmonella bacteriën per ml.

Welke formule geldt voor $A$ afhankelijk van $t$ ?

$A = 20*1,037^t$

Bereken de verdubbelingstijd bij deze groei in tienden van minuten nauwkeurig.

$20*1,037^t = 40$ geeft met behulp van GeoGebra of een grafische rekenmachine $t~~18,9$ minuten.

Als er meer dan $1,0*10^5$ bacteriën per ml in het voedsel voorkomen, kun je ziek worden als je ervan eet.

Na hoeveel tijd kun je je salade niet meer eten?

$20*1,037^t = 1,0*10^5$ geeft $t~~234,4$ .
Dus na $234$ minuten is de salade niet meer eetbaar.

Alcohol is een stof die door het lichaam slechts langzaam wordt afgebroken. De snelheid hiervan hangt onder andere af van het lichaamsgewicht. Voor de twintigjarige Jelte geldt dat het promillage alcohol in het bloed per half uur met $9$ % afneemt. Op een feestje heeft hij wat alcohol genuttigd en hij moest om 01:00 uur in de nacht blazen. Hij had toen een promillage in zijn bloed van $0,6$ . Als het promillage lager is dan $0,5$ mag hij weer rijden.

Hoe lang moet Jelte wachten?

De groeifactor is $0,91$ per half uur en dus $0,91^2 ~~ 0,83$ per uur.
Je moet oplossen $0,6*0,83^t lt 0,5$ .
Met behulp van een tabel vind je $t ge 0,98$ , dus dat na $59$ minuten.

De lucht in een autoband wordt vaak opgepompt tot een druk van $3,2$ bar. De luchtdruk van de buitenlucht is ongeveer $1,0$ bar. De band verliest langzaam zijn druk tot die druk gelijk is aan die van de buitenlucht. En dus is die druk $p$ (in bar) afhankelijk van de tijd $t$ (in dagen) na het oppompen.

Neem aan dat voor een bepaalde band geldt $p = 2,2 \cdot {0,96}^{t} + 1$ .

Welke asymptoot heeft de grafiek van $p$ als functie van $t$ ? En welke betekenis heeft die asymptoot voor de druk in de band?

De lijn $p = 1$ . Deze asymptoot betekent dat de druk in de band nooit precies gelijk wordt aan de druk van de buitenlucht, hij blijft er altijd net iets boven.

Waarom hebben negatieve waarden van $t$ hier geen betekenis?

Omdat niet bekend is hoeveel druk er in de band zit voor het oppompen.

Een autoband is te zacht als de druk lager is dan $1,6$ bar. Hoeveel dagen na het oppompen is dat het geval?

Werk met een tabel of een grafiek in GeoGebra of met een grafische rekenmachine.
$32$ dagen na het oppompen, eigenlijk in de loop van dag $31$ na het oppompen.

Deze grafiek geeft het afkoelen weer van een kop thee. Daarvoor geldt volgens de warmtewet van Newton dat het temperatuurverschil met de omgeving elke tijdseenheid met een vast percentage afneemt.

De temperatuurmeting begint op $t = 0$ als de thee een temperatuur van $80$ °C heeft, een temperatuurverschil van $60$ °C met de omgeving. Dat de omgevingstemperatuur $20$ °C is, wordt door de asymptoot van de grafiek aangegeven.

Je ziet in de grafiek dat het temperatuurverschil met de omgeving $T - 20$ na $15$ minuten $\frac{1}{3}$ deel van het temperatuurverschil op $t = 0$ is. Hiermee kun je de groeifactor van het temperatuurverschil uitrekenen en een formule opstellen voor $T - 20$ en dus ook voor $T$ als functie van $t$ in minuten.

Afkoelende thee

Voor het temperatuursverschil met de omgeving geldt volgens de tekst $T - 20 = b \cdot g^{t}$ .

Licht dit toe.

De omgevingstemperatuur is $20$ °C en het temperatuursverschil is dus $T - 20$ . Volgens de tekst neemt dat temperatuursverschil met een vast percentage af. Er is daarom sprake van een vaste groeifactor en dus van exponentiële groei van dit temperatuursverschil.

Bereken $g$ in twee decimalen nauwkeurig.

$g$ is de groeifactor per minuut van het temperatuursverschil, dus $g^{15} = \frac{1}{3}$ .
Daaruit volgt $g = \sqrt[15]{\frac{1}{3}} \approx 0,93$

Stel een formule op voor $T$ als functie van $t$ .

$T = 60 \cdot {0,93}^{t} + 20$

Na hoeveel minuten is de temperatuur van de thee lager van $25$ °C?

Maak een tabel. Je vindt dat dit op $t = 33$ voor het eerst het geval is.

Opwarmende melk

Melk komt met een temperatuur van $6$ °C uit de koelkast en warmt langzaam op naar kamertemperatuur ( $20$ °C). Ook in dit geval geldt de warmtewet van Newton, dus bij de opwarming neemt het temperatuurverschil met omgeving exponentieel af.

Iemand meet dat de melk $10$ minuten nadat ze uit de koelkast is gehaald een temperatuur van $13$ °C heeft.

Maak een schets van een mogelijke grafiek van de opwarming van de melk. Stel ook een bijpassende formule op.

De formule is ongeveer $T = 20 - 14 \cdot {0,93}^{t}$ .

In 1999 waren er $6$ miljard mensen en in 2011 waren dat er $7$ miljard.
Neem aan dat de wereldbevolking exponentieel groeide in die periode.

Welke groeifactor per jaar hoort er bij die exponentiële groei?
Met hoeveel procent nam de wereldbevolking jaarlijks toe? Geef je antwoord in tienden van procenten.

$~~1,013$ dus $~~1,3$ %.

$(7/6)^(1/12) ~~ 1,013$ is de groeifactor per jaar, dat is ongeveer $1,3$ %.

Ga er vanuit dat de groei van de wereldbevolking vanaf 2011 met diezelfde groeifactor door gaat.
Welke formule kun je dan opstellen voor het aantal mensen $N$ afhankelijk van de tijd $t$ in jaren?

$N = 7*1,013^t$ .

Hoeveel bedraagt de verdubbelingstijd van $N$ ?

Ongeveer $54$ jaar.

$7*1,013^t = 14$ oplossen met een grafische rekenmachine of GeoGebra geeft $t ~~ 54,0$ jaar.

In welk jaar zou volgens dit groeimodel de wereldbevolking de $10$ miljard gaan overschrijden?

Maak een tabel of gebruik de formule en GeoGebra of een grafische rekenmachine. Voor het eerst in het $28$ ste jaar na 2011, dus in 2039.

In een glas bevindt zich een liter water dat zojuist nog heeft gekookt. De temperatuur bij inschenken in het glas $t=0$ bedroeg $95$ °C. Het glas staat in een kamer waarbinnen de temperatuur $20$ °C is. De temperatuur $T$ in °C van het water daalt volgens de formule

$T = 75*0,9^t + 20$

waarin $t$ de tijd in minuten na het inschenken is.

Laat zien, dat de temperatuur bij inschenken inderdaad $95$ °C bedroeg.

Vul in $t=0$ en je krijgt de juiste temperatuur.

Waarom is hier geen sprake van exponentiële afname?

De temperatuur neemt (vanwege de $+20$ ) niet per minuut met een vaste factor af.

Welke formule hoort er bij de horizontale asymptoot?

$T=20$

Na hoeveel tijd is de temperatuur lager dan $30$ °C? Geef je antwoord in tienden van minuten nauwkeurig.

Na $t~~19,1$ minuut.

Gebruik GeoGebra of een grafische rekenmachine.
$75*0,9^t + 20 lt 30$ als $t gt 19,1$ .