werken met positieve en negatieve draaihoeken;

hoeken afmeten aan de lengte van hun boog op de eenheidscirkel;

omrekenen van graden naar radialen en omgekeerd.

werken met (draai)hoeken die groter zijn dan $90^@$ .

werken met sinus, cosinus en tangens, ook bij hoeken die groter zijn dan $90^@$ .

In de figuur is een kwart cirkel getekend, waarvan de straal $1$ is.

De hele cirkel is in $360^@$ verdeeld, hoeken heb je tot nu toe in graden uitgedrukt.

Hoe lang is de rode cirkelboog? Leg uit waarom $30^@$ overeenkomt met een booglengte van $1/6pi$ .

De hele cirkel heeft een lengte (de omtrek) van $2 pi$ en de boog bij deze hoek is daar $1 /12$ deel van.

Als je de grootte van een hoek door zijn booglengte in een cirkel met straal $1$ beschrijft, krijg je hoeken in radialen. Dus $30^@$ komt overeen met $1/6pi$ radialen.

Waarom is het van belang dat de cirkel waarin je de booglengte uitrekent een straal van $1$ heeft?

Alleen dan is de omtrek van de cirkel precies $2 pi$ , anders is die omtrek groter of kleiner. Alle bogen zijn bij een straal van $1$ delen van $2 pi$ .

Reken om van graden naar radialen: $60^@$ , $90^@$ , $180^@$ , $50^@$ .

$60^@ = 1/3 pi$ radialen;

$90^@ = 1/2 pi$ radialen

$180^@ = pi$ radialen;

$50^@ = 5/18 pi$ radialen;

$360^@ =2pi$ radialen,

d.w.z. $1^@ =(2pi)/360$ radialen. Je kunt ook zeggen: $1^@ =(pi)/180$ radialen

en $1$ rad = $360/(2pi)^@$ . Je kunt ook zeggen: $1$ rad = $180/(pi)^@$

$60^@ = 60/180 pi = 1/3 pi$ radialen

$90^@ = 90/180 pi = 1/2 pi$ radialen

$180^@ = 180/180 pi = pi$ radialen

$50^@ = 50/180 pi = 5/18 pi$ radialen

De grootte van hoeken kun je weergeven in graden, maar ook in booglengte. Het gaat dan om de lengte van de boog die in een cirkel met straal $1$ bij die hoek hoort. De eenheid voor deze hoek heet radiaal, afgekort rad.

De cirkel heet de eenheidscirkel. De omtrek van een eenheidscirkel is gelijk aan $2pi$ .

Bij een booglengte van $pi$ (halve cirkel, $180^@$ ) hoort een hoek van $pi$ rad.
Bij een booglengte van $2pi$ (hele cirkel, $360^@$ ) hoort een hoek van $2pi$ rad.
Bij een booglengte van $1$ op de eenheidscirkel hoort een hoek van $1$ rad.

Hoeken worden vanaf nu, tenzij anders vermeld, gegeven in radialen. Je ziet:

$sin(pi)=0$ en $cos(pi)=text(-)1$

$sin(1,5pi)=text(-)1$ en $cos(1,5pi)=0$

$sin(2,5pi)=sin(0,5pi+2pi)=1$ en $cos(4pi)=cos(2*2pi)=1$

Om graden om te rekenen naar radialen gebruik je $180^@=pi$ rad.

Bijvoorbeeld: $40^@=40/180pi$ rad $=2/9 pi$ rad

Teken een eenheidscirkel (een cirkel met een straal van $1$ eenheid).

Teken $P$ als de draaihoek $α=30 ^@$ . Bereken de coördinaten van $P$ .
Hoeveel radialen is $α$ ?

Gebruik de applet: $x=cos(30^@)~~ 0,866$ en $y=sin(30^@)=0,5$ dus $P(0,866; 0,5)$ .
$alpha=30/360*2pi=1/6pi$ radialen.

Teken $Q$ als de draaihoek $α=150^@$ . Bereken de coördinaten van $Q$ .
Hoeveel radialen is $α$ ?

Gebruik de applet: $x=cos(150^@)~~ text(-)0,866$ en $y=sin(150^@)=0,5$ dus $Q(text(-)0,866; 0,5)$ .
$alpha=150/360*2pi=5/6pi$ radialen.

Teken $R$ als de draaihoek $α=210^@$ . Bereken de coördinaten van $R$ .
Hoeveel radialen is $α$ ?

Gebruik de applet: $x=cos(210^@)~~ text(-)0,866$ en $y=sin(210^@)=text(-)0,5$ dus $R(text(-),866; text(-)0,5)$ .
$alpha=210/360*2pi=7/6pi$ radialen.

Teken $S$ als de draaihoek $α=270^@$ . Bereken de coördinaten van $S$ .
Hoeveel radialen is $α$ ?

Gebruik de applet: $x=cos(270^@) = 0$ en $y=sin(270^@)=text(-)1$ dus $S(0, text(-)1)$ .
$alpha=270/360*2pi=1 1/2pi$ radialen.

Waarom is $sin(1/6 pi) = sin(5/6 pi)$ en $cos(1/6 pi) = text(-)cos(5/6 pi)$ ?

Bij de hoeken $alpha = 1/6 pi$ en $alpha= 5/6 pi$ kun je driehoeken $OQP$ maken die elkaars spiegelbeeld vormen in de $y$ -as.

Waarom is $sin(1/6 pi) = text(-)sin(7/6 pi)$ en $cos(1/6 pi) = text(-)cos(7/6 pi)$ ?

Bij de hoeken $alpha = 1/6 pi$ en $alpha= 7/6 pi$ kun je driehoeken $OQP$ maken die elkaars spiegelbeeld vormen bij puntsymmetrie in de oorsprong $O$ .

Hoeveel radialen horen er bij $360^@$ ?

$2pi$ rad

Waarom is $sin(0,4)=sin(0,4+8pi)$ ?

$sin(0,4+8pi)=sin(0,4+4*2pi)=sin(0,4)$

Bij welke draaihoeken is de $y$ -coördinaat van het ronddraaiende punt $0$ ? Geef je antwoord in graden en in radialen.

In graden: $0^@ +k*180^@$ met $k$ een heel getal.

In radialen: $0+k*pi$ met $k$ een heel getal.

Bij welke draaihoeken is de $y$ -coördinaat $1$ ? Geef je antwoord in graden en in radialen.

In graden: $90^@ +k*360^@$ met $k$ een heel getal.

In radialen: $0,5pi+k*2pi$ met $k$ een heel getal.

Hoeveel radialen is $60^@$ ?

$1/3pi$ rad

$60/360*2pi=1/3pi$ rad

Hoeveel graden is $1,5pi$ rad?

$270^@$

$(1,5pi)/(2pi)*360=270^@$

Bekijk de eenheidscirkel (cirkel met straal $1$ ) met middelpunt in $O$ . Punt $P$ ligt op de eenheidscirkel.

Voor de draaihoek $alpha$ van $P$ is de booglengte genomen vanaf $(1, 0)$ tot het draaiende punt, hier $P$ . Bij linksom draaien is deze hoek positief, bij rechtsom draaien negatief.

Er geldt:
$sin(alpha) = y_P$
$cos(alpha) = x_P$

De eenheid voor deze hoek heet radiaal, afgekort rad.

Op de eenheidscirkel hoort bij een draaihoek van $1$ rad een booglengte van $1$ .
$180^@$ komt dan overeen met $pi$ radialen of $pi$ rad, ofwel de halve omtrek van de eenheidscirkel.

Tenzij anders aangegeven, wordt de hoekeenheid rad gebruikt. Let op de instelling van je rekenmachine.

Bij het omrekenen van graden naar radialen geldt: $180^@$ is gelijk aan $pi$ radialen

$1^@=1/180pi$ rad

$90^@=90/180 * pi=1/2pi$ rad

En omgekeerd:

graden	$180$	$180/(pi)$	$1/6 pi * 180/(pi)$
radialen	$pi$	$1$	$1/6 pi$

$1$ rad komt overeen met $(180/(pi))^@=57,295...^@$

$1/6pi$ rad komt overeen met $(1/6pi *180/(pi))^@ =30^@$

Punt $A$ beweegt tegen de klok in over een eenheidscirkel met middelpunt $M$ . $α$ is de draaihoek van $MA$ in graden en $x$ is de lengte van de cirkelboog die bij die draaihoek hoort.

Hoeveel bedraagt $x$ als $α=360^@$ ?

$2 pi$

$360^@$ correspondeert met een volledige cirkelboog, ofwel $2pi$ .

Vul de tabel in.

$α$	$0^@$	$30^@$	$45^@$	$60^@$	$90^@$	$120^@$	$225^@$	$270^@$	$330^@$
$x$

Zie de tabel.

$α$	$0^@$	$30^@$	$45^@$	$60^@$	$90^@$	$120^@$	$225^@$	$270^@$	$330^@$
$x$	$0$	$1/6pi$	$1/4pi$	$1/3pi$	$1/2pi$	$2/3pi$	$1 1/4pi$	$1 1/2pi$	$1 5/6pi$

Iedere draaihoek $alpha$ in graden heeft een cirkelboog van $alpha*pi/180$ radialen.

$α$	$0^@$	$30^@$	$45^@$	$60^@$	$90^@$	$120^@$	$225^@$	$270^@$	$330^@$
$x$	$0$	$1/6pi$	$1/4pi$	$1/3pi$	$1/2pi$	$2/3pi$	$1 1/4pi$	$1 1/2pi$	$1 5/6pi$

Hoeveel radialen is $10^@$ ?

$1/18pi$ radialen

$10*1/180pi=10/180pi=1/18pi$ radialen

Hoeveel graden is $10$ radialen?

ongeveer $573^@$

$10 *180/pi~~573^@$

Neem de tabel over en vul in.

graden	$0$	$18$		$220$		$540$
radialen			$5/9pi$		$2 pi$

graden	$0$	$18$	$100$	$220$	$360$	$540$
radialen	$0$	$0,1pi$	$5/9pi$	$1 2/9pi$	$2 pi$	$3pi$

Bepaal met een rekenmachine of met Desmos of GeoGebra:
$sin(1/36 pi)$ , $sin(5/9 pi)$ , $sin(5 5/9 pi)$ en $sin(55 5/9 pi)$
Rond af op drie decimalen.
Waarom zijn de laatste twee uitkomsten hetzelfde?

Op de TI-84 Plus

Reken in radialen, want er zijn geen gradentekens.
Laat de (grafische) rekenmachine, Desmos,of GeoGebra dan ook in radialen rekenen. Ga na, hoe je dat moet instellen.

Ga na dat:
$sin(1/36pi)~~0,087$
$sin(5/9pi)~~0,985$
$sin(5 5/9pi)~~text(-)0,985$
$sin(55 5/9pi)~~text(-)0,985$

De laatste twee uitkomsten zijn gelijk omdat tussen $5 5/9 pi$ en $55 5/9 pi$ precies $50pi=25*2pi$ zit. Dat zijn precies $25$ periodes.

Bekijk Voorbeeld.

Bepaal afgerond op drie decimalen $sin(1/55 pi)$ .

$sin(1/55pi)~~0,057$

Leg uit waarom $sin(40 1/55 pi)=sin(1/55pi)$ .

Tussen $40 1/55pi$ en $1/55pi$ zit precies $40pi$ , dit zijn precies $20$ periodes. De uikomst moet daarom hetzelfde zijn.

Geef nog twee verschillende waarden voor $alpha$ waarvoor geldt $sin(alpha)=sin(1/55pi)$ .

Elke waarde die te schrijven is als $alpha=1/55pi+k*2pi$ met $k$ een geheel getal, is goed.

Bijvoorbeeld $x=20 1/55pi$ of $alpha=text(-)1 54/55 pi$ .

Leg uit waarom $sin(alpha)=sin(alpha+k*2 pi)$ en $cos(alpha)=cos(alpha+k*2pi)$ , waarbij $k$ een geheel getal is.

Alle waarden $alpha+k*2 pi$ verschillen precies één periode en hebben dezelfde sinuswaarde.

Welke waarden kunnen $sin(alpha)$ en $cos(alpha)$ aannemen?

$text(-)1 ≤sin(alpha)≤1$ en $text(-)1 ≤ cos(alpha)≤1$

De sinusfunctie meet de $y$ -waarde van een punt op de eenheidscirkel. Die $y$ -waarde ligt altijd tussen $text(-)1$ en $1$ . Dit geeft $text(-)1 le sin(alpha) le 1$ .

De cosinusfunctie meet de $x$ -waarde van een punt op de eenheidscirkel. Die $x$ -waarde ligt altijd tussen $text(-)1$ en $1$ . Dit geeft $text(-)1 le cos(alpha) le 1$ .

Geef twee verschillende waarden voor $alpha$ waarvoor geldt:
$cos(0,1pi)=cos(alpha)$

Elke waarde die te schrijven is als $alpha=0,1pi+k*2pi$ met $k$ een geheel getal, is goed.

Bijvoorbeeld $alpha=2,1pi$ of $alpha=text(-)1,9 pi$ .

Maar ook de waarden $alpha=1,9pi+k*2pi$ met $k$ een geheel getal zijn goed.

Bijvoorbeeld $alpha=text(-)0,1pi$ of $alpha=1,9 pi$ .

Je ziet hier dat $sin(0,52)~~0,5$ .
Verklaar waarom $sin(pi-0,52) = sin(0,52)$ . Schrijf alle hoeken op waarvan de sinus $0,5$ is.

Bekijk de figuur met twee posities van het draaiende punt $P$ op een eenheidscirkel, achtereenvolgens met hoek $0,52$ en $pi-0,52$ .

In de eenheidscirkel liggen de punten $P$ bij de hoeken $0,52$ en $pi-0,52$ symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door het middelpunt.
Dus is: $sin(pi-0,52) = sin(0,52)$ .

Verder kun je bij beide hoeken veelvouden van $2pi$ optellen.
Alle hoeken met een sinus van $0,5$ zijn dus:
$alpha ~~ 0,52 + k*2pi vv alpha ~~ pi - 0,52 + k*2pi ~~ 2,62 + k*2pi$ .

Je ziet in Voorbeeld dat er binnen één omwentelingsperiode twee hoeken zijn met dezelfde sinus.

Leg uit waarom $sin(0,4)=sin(pi - 0,4)$ .

In de eenheidscirkel liggen de punten $P$ bij de hoeken $0,4$ en $pi-0,4$ symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door het middelpunt.
Dus is: $sin(pi-0,4) = sin(0,4)$ .

Schrijf alle hoeken op waarvan de sinus gelijk is aan $sin(0,4)$ .

$alpha = 0,4 + k*2pi vv alpha = pi - 0,4 + k*2pi ~~ 2,74 + k*2pi$ .

Geldt altijd $sin(alpha)=sin(pi-alpha)$ ?

Ja, dit geldt voor alle mogelijke hoeken, steeds liggen ze symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door het midden van de cirkel.

Je ziet in Voorbeeld dat er binnen één omwentelingsperiode twee hoeken zijn met dezelfde sinus.

Leg uit waarom $cos(0,4)=cos(2pi - 0,4)$ .

In de eenheidscirkel liggen de punten $P$ bij de hoeken $0,4$ en $2pi-0,4$ symmetrisch ten opzichte van de horizontale lijn door het middelpunt.
Dus is: $cos(0,4)=cos(2pi - 0,4)$ .

Schrijf alle hoeken op waarvan de cosinus gelijk is aan $sin(0,4)$ .

$alpha = 0,4 + k*2pi vv alpha = 2pi - 0,4 + k*2pi ~~ 5,88 + k*2pi$ .

Geldt altijd $cos(alpha)=cos(2pi-alpha)$ ?

Ja, dit geldt voor alle mogelijke hoeken, steeds liggen ze symmetrisch ten opzichte van de horizontale lijn door het midden van de cirkel.

De hoeken zijn gegeven in graden. Bereken de bijbehorende booglengtes in de eenheidscirkel in radialen.

$30^@$ , $20^@$ , $10^@$ , $270^@$ , $360^@$ , $455^@$ , $780^@$

De hoeken zijn: $1/6pi$ , $1/9pi$ , $1/18pi$ , $1 1/2pi$ , $2 pi$ , $1 19/36pi$ , $4 1/3pi$

$30/180pi=1/6pi$

$20/180pi=1/9pi$

$10/180pi=1/18pi$

$270/180pi=1 1/2pi$

$360/180pi=2 pi$

$455/180pi=1 19/36pi$

$780/180pi=4 1/3pi$

De booglengtes zijn in de eenheidscirkel gegeven. Bereken de bijbehorende hoeken in graden.

$1/2pi$ ; $1/3pi$ ; $3/4pi$ ; $1$ ; $pi$ ; $3,1416$ ; $10pi$

De hoeken zijn: $90^@$ , $60^@$ , $135^@$ , afgerond $57^@$ , $180^@$ , afgerond $180 ^@$ , $1800^@$

$1/2pi*180/pi=90^@$

$1/3pi*180/pi=60^@$

$3/4pi*180/pi=135^@$

$1*180/pi~~57^@$

$pi*180/pi=180^@$

$3,1416*180/pi~~180 ^@$

$10pi*180/pi=1800^@$

Teken een eenheidscirkel en lees daaruit af:

$sin(0^@)$

$0$

Bij $0^@$ wijst $A$ precies naar rechts. $sin(0^@)=0$ .

$sin(90^@)$

$1$

Bij $90^@$ wijst $A$ precies naar boven. $sin(90^@)=1$ .

$cos(180^@)$

$text(-)1$

Bij $180$ wijst $A$ precies naar beneden, $cos(180)=text(-)1$

$sin(270^@)$

$text(-)1$

Bij $270^@$ wijst $A$ precies naar beneden. $sin(270^@)=text(-)1$

$sin(text(-)450^@)$

$text(-)1$

Vanwege de periode van $360^@$ is $sin(text(-)450^@)=sin(270^@)=text(-)1$

$cos(text(-)630^@)$

$0$

Vanwege de periode van $360^@$ is $cos(text(-)630^@)=cos(90^@)=0$

Met je rekenmachine kun je nagaan dat $sin(0,4) ~~ 0,389$ .

Bepaal alle waarden van $alpha$ met $0 le alpha le 2pi$ waarvan de sinus dezelfde waarde heeft.

$alpha ~~ 0,4 vv alpha ~~ pi - 0,4 ~~ 2,742$

Geef alle waarden van $alpha$ waarvan de sinus $0,389$ is met $text(-)2pi le alpha le 4pi$ , ook in drie decimalen nauwkeurig.

$alpha ~~ 0,4 - 2pi ~~ text(-)5,883 vv alpha ~~ 2,742 - 2pi ~~ text(-)3,541$
$alpha ~~ 0,4 vv alpha ~~ 2,742$
$alpha ~~ 0,4 + 2pi ~~ 6,683 vv alpha ~~ 2,742 + 2pi ~~ 9,025$

$sin(alpha)=0,5$ voor $alpha=pi/6$ en ook voor $alpha=5/6 pi$ ten gevolge van symmetrie.

$sin(alpha)=text(-)0,5$ voor $alpha=pi+pi/6=7/6 pi$ en ook voor $alpha=2pi-pi/6=11/6 pi$ .

Gegeven is dat: $sin(1/6 pi) = 1/2$
Onderzoek welke waarden van $alpha$ voldoen aan $sin(alpha) = text(-)1/2$ .

Geef in een eenheidscirkel alle waarden van $x$ met $0 le alpha le 2pi$ aan die hieraan voldoen.

Geef alle waarden van $alpha$ die hieraan voldoen met $0 le alpha le 2pi$ .

$alpha=1 1/6pi vv alpha=1 5/6pi$

$sin(pi/6)=0,5$ en $sin(pi-pi/6)=sin(5/6 pi)=0,5$ vanwege de symmetrie in de verticale lijn door het midden van de cirkel.

$sin(alpha)=text(-)0,5$ voor $alpha=pi+pi/6=7/6 pi$ en ook voor $alpha=2pi-pi/6=11/6 pi$ .

Naast graden en radialen wordt in bijvoorbeeld de landmeetkunde of de bouw ook de decimale graad gebruikt.

Deze graad is gedefinieerd als $1/400$ deel van een cirkel en wordt aangegeven met gon, grad of gra.
Een volledige cirkel is $400$ gon.

Lees na wat een decimale graad is.

Hoeveel gon is $90^@$ ?
En hoeveel gon is $pi/3$ rad?

100 gon en $400/6$ gon

$90^@$ is $90/360=1/4$ van de cirkelboog, $400/4=100$ gon.

$pi/3$ is $pi/3*1/(2pi)=1/6$ van de cirkelboog, $400/6$ gon.

Toon aan dat $alpha^@=(10alpha)/9$ gon.

$alpha$ is $alpha/360$ deel van een cirkel en aangezien een volledige cirkel $400$ gon is, geldt dat $alpha^@=(alpha)/360*400=(10alpha)/9$ gon.

Geef een omzettingsformule om van radialen naar gon te gaan.

$alpha$ rad $=(200alpha)/pi$ gon.

$(alpha)/(2pi)*400=(200alpha)/pi$ dit geeft $alpha$ rad $=(200alpha)/pi$ gon.

Neem de volgende tabel over en vul hem verder in:

graden	$0$	‌	‌	‌	‌	$200$	$240$	‌	‌
radialen	‌	‌	$1/3pi$	‌	$7/9pi$	‌	‌	‌	$4pi$
gon	‌	$20$	‌	$100$	‌	‌	‌	$620$	‌

graden	$0$	$18$	$60$	$90$	$140$	$200$	$240$	$558$	$720$
radialen	$0$	$1/10pi$	$1/3pi$	$1/2pi$	$7/9pi$	$1 1/9pi$	$1 1/3pi$	$3 1/10pi$	$4pi$
gon	$0$	$20$	$66,7$	$100$	$155,6$	$222,2$	$266,7$	$620$	$800$

Geef de antwoorden exact indien mogelijk, anders in drie decimalen benaderd.

Deze hoeken zijn gegeven in graden. Reken om naar radialen.
$60 ^@, 45 ^@, 180 ^@, 300 ^@, 330 ^@, 350 ^@, text(-)350 ^@$ .

$1/3pi, 1/4pi, pi, 1 2/3pi, 1 5/6pi, 1 17/18pi, text(-)1 17/18pi$ .

Bij het omrekenen van graden naar radialen gebruik je: $360 ^@$ wordt $2 pi$ radialen. En dus:

$1 ^@$ wordt $(2 pi) /360=1/180 pi$ rad.

$60 ^@$ wordt $60 * (2 pi) /360=1/3 pi$ rad.

Dus deze hoeken worden:

$1/3pi, 1/4pi, pi, 1 2/3pi, 1 5/6pi, 1 17/18pi, text(-)1 17/18pi$ .

Deze booglengtes van een eenheidscirkel zijn gegeven in radialen. Bereken de bijbehorende hoeken in graden. $pi, 1/3pi, text(-)1/4pi, 2 pi, 5/6pi, 13/12pi, 2 , 5/3pi$ .

$180 ^@, 60 ^@, text(-)45 ^@, 360 ^@, 150 ^@, 195 ^@, 2 *180/pi~~115 ^@,300 ^@$ .

$1$ rad komt overeen met $(360/ (2 pi) )^@~~57 ^@$

$pi$ rad komt overeen met $(pi *360/ (2 pi) )^@=180 ^@$

Dus deze hoeken worden:

$180 ^@, 60 ^@, text(-)45 ^@, 360 ^@, 150 ^@, 195 ^@, 2 *180/pi~~115 ^@,300 ^@$ .

Gegeven $sin(0,25)~~0,25$ .

Teken in een eenheidscirkel alle waarden van $alpha$ met $0 le alpha le 2 pi$ aan die hieraan voldoen.

Doen, de hoogte is op $0,25$ van de totale hoogte vanaf de as. Je vindt twee waarden.

Schrijf alle waarden van $alpha$ op die hieraan voldoen. Benaderingen in twee decimalen.

$alpha~~0,25 + k*2pi vv alpha~~2,89 + k*2pi$ radialen.

$alpha ~~ 0,25 + k*2pi vv alpha ~~ pi-0,25 + k*2pi ~~ 2,89 + k*2pi$ .

Eenheidscirkel

Met deze applet kun je in een eenheidscirkel hoeken instellen vanaf $0^@$ t/m $360^@$ .
Je ziet dan de bijbehorende boog, dus het aantal radialen.
En je ziet de waarde van de sinus en de cosinus van die hoek in radialen.