de grafieken van en tekenen met in radialen;
werken met de periodiciteit van deze grafieken.
werken met radialen;
een grafiek tekenen met GeoGebra en/of een grafische rekenmachine en dan uit de grafiek vinden, als gegeven is;
symmetrie in grafieken gebruiken.
Maak (bijvoorbeeld met GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine) de grafiek van .
Denk er om dat vanaf nu in radialen is, tenzij duidelijk wordt aangegeven dat er in graden moet worden gewerkt.
De grafiek is periodiek. Hoe groot is de periode?
De hele op en neer gaande deel loopt (bijvoorbeeld) van naar en herhaalt zich dan.
Dat dit precies is, zie je in de uitleg.
Welke symmetrieassen heeft de grafiek?
De symmetrieassen zitten bij en bij .
Leg uit waarom .
Vanwege de symmetrie bij .
Los op: .
Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
Met je rekenmachine (denk om radialen) vind je .
Aan de grafiek zie je dat er meerdere antwoorden zijn.
Binnen de "eerste" periode is het tweede antwoord (vanwege de symmetrie) .
Rekening houdend met de periode vind je .
is een periodieke functie met periode .
Hierin is radialen en op de -as komt de waarde van .
De grafiek loopt links en rechts van de -as oneindig door als je niet beperkt vanaf tot rad.
Op de horizontale as is de eenheid , zodat exact de snijpunten met de -as en de toppen zijn af te lezen.
Het maximum is en de maxima liggen bij .
Het minimum is en de minima liggen bij .
De grafiek snijdt de -as bij .
Wil je alle waarden weten waarvoor bijvoorbeeld dan los je de vergelijking
op met je rekenmachine. Daar gebruik je (afhankelijk van je machine) de functie , of inv sin,
of voor.
Je vindt dan maar één antwoord
Met behulp van de periode en de symmetrie van de grafiek bepaal je de andere -waarden.
Bekijk de grafiek van in Uitleg.
Maak zelf deze grafiek met .
Bepaal de coördinaten van de toppen van jouw sinusgrafiek.
Bepaal de nulpunten van jouw sinusgrafiek.
Waarom geldt ?
Omdat de sinusgrafiek (als alle waarden kan aannemen) symmetrisch is in de lijn .
Je wilt de vergelijking oplossen.
Je moet er dan van uit gaan dat alle waarden van zijn toegestaan.
Welke waarde voor geeft je rekenmachine in drie decimalen nauwkeurig? (Denk om radialen.)
rad.
Welke waarden voor voldoen aan de vergelijking?
Je wilt alleen de oplossingen in drie decimalen waarvoor geldt .
Welke oplossingen zijn dat?
is een periodieke functie met periode .
Hierin is radialen en op de -as komt de waarde van .
De grafiek loopt links en rechts van de -as oneindig door als je niet beperkt vanaf tot rad.
Op de horizontale as is als eenheid genomen.
Het maximum is en de maxima liggen bij .
Het minimum is en de minima liggen bij .
De grafiek snijdt de -as bij .
De grafiek van met in radialen lijkt op de standaard
sinusgrafiek .
De grafiek is alleen met
verschoven in de -richting.
Dit betekent .
De grafiek van kun je door transformatie uit die van laten ontstaan.
Bekijk de grafiek van in Uitleg.
Maak zelf deze grafiek met .
Bepaal de coördinaten van de toppen van jouw cosinusgrafiek.
Bepaal de nulpunten van jouw cosinusgrafiek.
Waarom geldt ?
Omdat de cosinusgrafiek (als alle waarden kan aannemen) symmetrisch is in de lijn .
Je wilt de vergelijking oplossen.
Je moet er dan van uit gaan dat alle waarden van zijn toegestaan.
Welke waarde voor geeft je rekenmachine in drie decimalen nauwkeurig? (Denk om radialen.)
rad.
Welke waarden voor voldoen aan de vergelijking?
Je wilt alleen de oplossingen in drie decimalen waarvoor .
Welke oplossingen zijn dat?
De
Het maximum is en de maxima liggen bij
Het minimum is en de minima liggen bij
De grafiek snijdt de -as bij
De
Het maximum is en de maxima liggen bij
Het minimum is en de minima liggen bij
De grafiek snijdt de -as bij
De grafiek van kun je laten ontstaan door de grafiek van te verschuiven met in de -richting: .
Maak de grafiek van op het gebied .
Je kunt met je rekenmachine bepalen dat
in drie decimalen nauwkeurig.
Voor welke andere -waarden op het gegeven gebied is de sinus even groot?
Bekijk eerst de grafiek voor , dus binnen de
Uit de symmetrie volgt: .
De periode van is .
Daarom geldt dat
als .
Op geldt voor:
Je bekijkt de functie met .
Hoeveel periodes zijn er dan zichtbaar?
Voer in (radialen!) met .
Bijvoorbeeld in GeoGebra via: Functie(sin(x),0,6.5pi).
Er zijn periodes zichtbaar.
Voor welke waarden van in het gegeven gebied, geldt ? Rond af op drie decimalen.
Binnen de eerste periode
als .
Dus: .
Voor welke waarden van in het gegeven gebied, geldt ? Rond af op drie decimalen.
als .
Dus:
Bekijk
Gebruik dezelfde sinusgrafiek.
Bepaal afgerond op drie decimalen een waarde van waarvoor .
Bijvoorbeeld .
Leg uit welke -waarde binnen dezelfde periode ook dezelfde uitkomst geeft.
Los op met .
Algemene oplossing: .
Binnen :
Los op met .
Algemene oplossing: .
Binnen : .
Maak de grafiek van op het gebied .
Los op: . Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
Met je rekenmachine (denk om radialen) vind je: .
Bekijk eerst de grafiek voor , dus binnen de
Uit de symmetrie volgt: .
De periode van is .
Daarom geldt dat
als .
Op geldt voor:
Je bekijkt de functie met .
Hoeveel periodes zijn er dan zichtbaar?
Voer in (radialen!) met .
Bijvoorbeeld in GeoGebra via: Functie(cos(x),-0.5pi,6.5pi).
Er zijn periodes zichtbaar.
Voor welke waarden van in het gegeven gebied geldt ? Rond af op drie decimalen.
Binnen de eerste periode
als .
Dus: .
Voor welke waarden van in het gegeven gebied, geldt ? Rond af op drie decimalen.
Voor dezelfde waarden als bij b.
Bekijk
Gebruik dezelfde cosinusgrafiek.
Bepaal afgerond op drie decimalen een waarde van waarvoor .
Bijvoorbeeld .
Leg uit welke -waarde binnen dezelfde periode ook dezelfde uitkomst geeft.
Dat hangt er van af waar je een periode begint.
Neem je als periode , dan is .
Neem je als periode , dan is .
Los op met .
Algemene oplossing: .
Binnen :
Los op met .
Algemene oplossing: .
Binnen :
Bekijk de grafiek van met .
Los op. Geef je antwoorden afgerond op drie decimalen.
Dus: .
Dus: .
Dus: .
Dus: .
Bekijk de grafiek van met .
Los op. Geef je antwoorden afgerond op drie decimalen.
Dus: .
Dus: .
Dus: .
Dus: .
Geef alle oplossingen.
Geef alle oplossingen. Rond zo nodig af op drie decimalen.
Maak de grafieken van en in één figuur.
Los op: .
Kijk goed naar de symmetrie in je grafieken.
Antwoord: .
Dit kun je inkorten tot .
In de figuur zie je een schematische weergave van een krukstang die aan een zuiger is bevestigd. Als de zuiger op en neer beweegt, draait de krukstang rond.
Punt zit helemaal rechts op de cirkel op .
Gegeven is decimeter.
De krukstang draait tegen de wijzers van de klok in, is de draaihoek.
De hoogte van het punt ten opzichte van de horizontale stippellijn is .
Bekijk de formule voor de hoogte van punt boven de horizontale stippellijn.
In welke eenheid is uitgedrukt?
In decimeter.
Welke periode heeft als in graden wordt uitgedrukt?
En als in radialen wordt uitgedrukt?
Bij in graden is de periode .
Bij in radialen is de periode .
Kun je een voordeel noemen van het werken met radialen ten opzichte van het werken met graden?
De eenheden van en zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar is en geen .
Het werken met decimeters als eenheid is niet gebruikelijk, liever werk je met meter, centimeter, millimeter.
Hoe wordt de formule voor de hoogte als je in mm werkt?
En wat verandert er dan aan de grafiek?
De formule wordt .
De grafiek schommelt nu tussen en op en neer.
De formule voor in cm als functie van in radialen is .
Je kunt deze formule ombouwen tot een formule waarin afhangt van de tijd als je weet dat de krukstang elke seconde een complete omwenteling doorloopt.
Welke formule kun je opstellen voor als functie van ?
Nu past radialen bij seconde, dus .
De formule wordt .
Maak de grafiek bij de formule die je bij a hebt gevonden.
Hoe kun je die uit de standaardsinus afleiden?
Zie figuur.
De grafiek kan uit die van de standaardsinus worden afgeleid door eerst in de -richting met te vermenigvuldigen en dan in de -richting met te vermenigvuldigen.
Op welke tijdstippen geldt cm? Geef je antwoorden in honderdsten van seconden nauwkeurig.
Je kunt dit met GeoGebra of een grafische rekenmachine vinden. Je bepaalt dan de snijpunten van en binnen één periode. Een mogelijk antwoord is .
Gegeven is de grafiek van met .
Je weet dat op drie decimalen nauwkeurig.
Bij welke andere waarden van binnen het gegeven gebied vind je dezelfde uitkomst? Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.
Dit geldt op .
Op het gegeven gebied dus .
In decimalen: .
Bekijk de grafiek van . Los op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen.