de grafieken van tekenen met in radialen;
in dergelijke grafieken de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de frequentie van het bijbehorende periodieke verschijnsel benoemen en interpreteren;
vergelijkingen van de vorm oplossen.
de grafieken van en tekenen met in radialen;
werken met de periodiciteit van deze grafieken.
een grafiek tekenen met GeoGebra en/of een grafische rekenmachine en dan uit de grafiek vinden, als gegeven is;
symmetrie in grafieken gebruiken.
Je ziet hier een schematische tekening van een windmolen. Punt is een vleugeltip.
De hoogte van de molen is (in m), de lengte van de wieken is (in m) en de omwentelingstijd van een wiek is (in s).
Als , en , dan is:
de formule die de hoogte (in m) van punt boven de grond beschrijft.
Leg uit hoe je aan deze formule komt.
De hoogte van punt boven de stippellijn die door de as van de rotor gaat is .
Daarin is de draaihoek in radialen.
De hoogte van punt boven de grond is dan .
De periode van de draaiing is s en in die tijd wordt radialen afgelegd.
Na seconden is dus .
Bekijk de grafiek van . De horizontale stippellijn heet wel de evenwichtsstand van de grafiek.
Door welk getal wordt die evenwichtsstand bepaald?
Door , de hoogte van de molen.
De maximale uitwijking uit de evenwichtsstand heet de amplitude.
Welk getal bepaalt de amplitude?
Het getal , de lengte van de wieken.
Waar vind je in de formule van de periode (de omwentelingstijd) terug?
In de factor .
Het punt is de vleugeltip van de volgende wiek. De grafiek van de hoogte van die tip lijkt erg op die van . Welk verschil is er? En welke formule hoort er bij ?
Punt is steeds seconde later op dezelfde hoogte als .
De grafiek wordt dus naar rechts verschoven.
De formule wordt .
Hier zie je een schematische weergave van een windmolen. Neem aan dat punt rondjes draait met een periode van seconden, de omwentelingstijd. De hoogte van de molen (neem aan dat dit ook de hoogte van de draaias is) en de lengte van de wieken zijn gegeven in de figuur. De hoogte (in m) van punt boven de grond, hangt af van de tijd in seconden:
Ga zelf na, hoe je deze formule kunt beredeneren en maak de bijbehorende grafiek.
Het wordt een sinusgrafiek die uit de standaard sinusfunctie ontstaat door:
met te vermenigvuldigen in de -richting,
ofwel de periode te maken;
met te vermenigvuldigen in de -richting,
ofwel de maximale uitwijking, de amplitude, te maken;
met te verschuiven in de -richting,
ofwel de evenwichtsstand te maken.
Om de grafiek goed in beeld te krijgen neem je op de horizontale as (de -as) minstens twee periodes: .
Op de verticale as zit de grafiek tussen en .
Bekijk de formule van de hoogte van punt afhankelijk van de tijd in de Uitleg.
Maak zelf de grafiek van . Kies geschikte instellingen voor de assen.
De evenwichtsstand van dit periodieke verschijnsel is een horizontale lijn.
Welke formule hoort daarbij?
Welke maximale waarden heeft de grafiek van ? En welke waarden voor horen daarbij?
is maximaal m bij .
Welke minimale waarden heeft de grafiek van ? En welke waarden voor horen daarbij?
is minimaal m bij .
Welke positie heeft als ?
zit dan op m boven de grond en rechts van .
Waaraan zie je dat tegen de klok in draait?
wordt meteen groter als toeneemt vanaf .
Een andere windmolen heeft een hoogte van m en wieken met een lengte van m.
De omwentelingstijd van de wieken is seconden.
Je bekijkt de hoogte (in m) van de tip van een wiek afhankelijk van de tijd (in s).
De wieken draaien linksom en op wijst deze wiek precies horizontaal naar rechts.
Welke formule kun je voor opstellen?
Welke transformaties moet je op de standaard sinusgrafiek toepassen om de grafiek van te krijgen?
Eerst vermenigvuldiging in de -richting met (de periode seconden maken), dan vermenigvuldiging met in de -richting en tenslotte omhoog verschuiven.
Hoe groot zijn de amplitude en de evenwichtsstand?
De amplitude is m en de evenwichtsstand is m.
Op welke tijdstippen is m? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
geeft en dus .
Dit betekent dat .
Dus .
Hoe lang elke periode is m? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als .
Dat is in totaal seconden.
Bekijk de formule van in de
De windmolen heeft nog twee wieken. is de tip van de wiek die eenzelfde hoogtegrafiek heeft als maar precies seconde later.
Hoe loopt de grafiek van , de hoogtegrafiek van punt ?
Net zoals de grafiek van , maar seconde naar rechts verschoven.
Schrijf een formule voor op.
Door transformaties van de grafiek van kun je functies van de vorm maken.
De grafieken van deze functies heten
De grafiek van de functie is ook een sinusoïde, want is een verschoven sinusgrafiek.
Voor de grafiek van geldt:
de
de
de
de
Je ziet hier een foto van het reuzenrad in het Prater in Wenen. Er bestaan reuzenraden van diverse afmetingen. Sommige zijn meer dan m hoog.
is de positie van een bakje van een reuzenrad. Voor de hoogte van dit bakje boven de begane grond geldt:
waarin de tijd in seconden is.
Leid de afmetingen van dit reuzenrad en de omwentelingstijd van het bakje af uit de formule.
Bereken hoe lang je elke omwenteling meer dan m boven de grond zit.
Van dit periodieke verschijnsel is de evenwichtsstand en de amplitude .
Dat betekent dat de straal van het reuzenrad m is en de totale hoogte m is.
De periode van is .
Voor de tijd voor één omwenteling moet .
Dit geeft voor de omwentelingstijd, de periode s.
Je zit meer dan m boven de grond als geldt
.
Je lost dus eerst op: .
Dit herleid je tot: .
Daarna werk je de sinus weg met behulp van je rekenmachine en los je de ongelijkheid op met behulp van de grafiek.
Bekijk de formule van de hoogte van een bakje van een reuzenrad boven de grond in
Leg uit waarom dit reuzenrad hoog moet zijn.
Het hoogste punt dat het bakje kan bereiken is m, de hoogte van de evenwichtsstand plus de straal van het rad.
Op welke hoogte moet je waarschijnlijk in het bakje instappen?
Op m.
Los de vergelijking zelf stap voor stap op.
Bekijk deze uitwerking binnen de periode :
beide zijden
beide zijden
gebruik of (afh. van rekenmachine)
beide zijden en
Bereken hoe lang je elke omwenteling meer dan m boven de grond zit.
Dat is binnen de eerste periode tussen en .
Elke periode duurt het seconden.
Bekijk de functie met .
Hoeveel periodes zijn zichtbaar?
Er zijn periodes zichtbaar.
Met welke transformaties kun je de grafiek van laten ontstaan uit die van de standaard sinusfunctie?
Eerst een vermenigvuldiging in de -richting met , ofwel de periode van in veranderen.
Daarna een vermenigvuldiging met in de -richting.
Tenslotte verschuiven in de -richting.
De grafiek in de figuur geeft globaal de getijdebeweging van het zeewater voor de haven van Vlissingen weer. Er wordt geen rekening gehouden met de invloed van de wind, met springtij, en dergelijke.
Een benadering van de getijdenbeweging wordt gegeven door de formule:
met in uren t.o.v. middernacht op 21 juni 2008 en in cm ten opzichte van het NAP.
Met welke frequentie treedt per week hoogwater op?
Hoeveel uur per dag is de waterstand hoger dan m boven NAP?
De periode van dit periodiek verschijnsel is ongeveer uur.
Een week heeft uur.
De hoogwater frequentie per week is dus .
Je moet nu de vergelijking oplossen.
Dit kun je doen vanuit GeoGebra of een grafische rekenmachine, maar je kunt ook de balansmethode toepassen.
Bekijk
Waarom is deze sinusoïde uit de standaard cosinusfunctie afgeleid?
Omdat bij het hoogste punt zit en dat is bij de standaard cosinusfunctie ook het geval.
Hoe hoog is de evenwichtsstand volgens de gegeven formule? En de amplitude?
Evenwichtsstand cm en amplitude cm.
Hoe groot is de frequentie van hoogwater per dag?
Op welke tijdstippen is het op 23 juni 2008 hoogwater geweest?
Op is het hoogwater, dat is 21 juni 2008 om 0:00 uur.
Om de uur is het weer hoogwater.
Op 23 juni is dat voor het eerst op uur, dus 2:19 uur en daarna om 14:54 uur.
In
Los zelf de bijbehorende vergelijking stap voor stap op met de balansmethode.
Bekijk deze uitwerking binnen de periode (halve dag):
beide zijden
beide zijden
gebruik of (afh. van rekenmachine)
beide zijden en
Beantwoord nu de vraag.
Het is binnen één periode ongeveer uur boven m NAP.
Op één dag is dat uur. Dat is 8:31,2 uur.
De grafieken van de functies zijn sinusoïden. Geef van iedere sinusoïde de periode, de amplitude en de evenwichtsstand.
De periode is , de amplitude is , de evenwichtsstand is .
De periode is , de amplitude is , de evenwichtsstand is .
De periode is , de amplitude is , de evenwichtsstand is .
De periode is , de amplitude is , de evenwichtsstand is .
Los de volgende vergelijkingen op. Rond af op drie decimalen.
De hoogte boven de grond van iemand die zich in een reuzenrad bevindt, kun je beschrijven door:
Hierin is uitgedrukt in meter en in seconden.
Maak de grafiek van .
Voer in:
Assen bijvoorbeeld: bij .
De getallen en uit de formule hebben een betekenis voor het reuzenrad. Welke betekenis?
is de hoogte van de as van het reuzenrad en is de straal van het reuzenrad.
Na één periode is het reuzenrad precies één keer rondgedraaid. Bepaal de periode in seconden.
De periode is seconden.
De periode is seconden.
Bereken hoelang een bakje van een reuzenrad zich hoger dan 18 meter boven de grond bevindt.
geeft en , daaruit volgt:
en .
Het bakje bevindt zich seconden hoger dan m.
De menselijke ademhaling is bij benadering een periodiek verschijnsel. Een gezonde volwassen man ademt ongeveer keer per minuut in en weer uit. De longinhoud kan daarbij met zo’n halve liter toenemen. Het longvolume na inademen is liter. Hierbij past bij benadering de formule:
met de tijd in seconden en het longvolume in liter.
Hoe groot is de ademhalingsfrequentie per minuut? En hoe lang duurt elke ademhaling volgens de formule?
De frequentie is keer per minuut.
Een ademhaling duurt seconden.
Bepaal de evenwichtsstand, de periode en de amplitude van deze sinusoïde.
De amplitude is .
De evenwichtsstand is .
De periode is seconden.
Op welke momenten is de longinhoud maximaal?
Op in de longinhoud , een kwart periode later zit de maximale longinhoud, dat is bij s.
De longinhoud is maximaal als seconden.
Op 24 november 2015 werd voorspeld dat op 15 december 2016 het waterpeil bij Hoek van Holland hoog zou zijn om 3:05 uur en om 15:23 uur.
Er werd een model opgesteld van het getij, hierbij werd een sinusoïde gebruikt voor de hoogte van de waterstand.
wordt genomen in uren.
Hoe groot is in dit model?
De periode is ongeveer uur:
Als iemand muziek maakt hoor je tonen. Die tonen ontstaan meestal door trilling van een snaar, of van lucht in een of andere holte. Trillingen kun je goed zien door te kijken naar een trillende snaar. Hoe vaker de snaar per seconde trilt, hoe hoger de toon. De
Bij deze A hoort een harmonische trilling met formule waarin de uitwijking van de trilling en de tijd in seconden is.
Bekijk de formule voor de harmonische trilling die hoort bij de A van een piano.
Maak de bijbehorende grafiek, precies twee periodes.
Voer in: . Denk om radialen. De periode van zo'n trilling is s, dus kies bijvoorbeeld voor de assen bij .
Behalve deze grondtoon klinken er ook boventonen mee. De eerste boventoon heeft de dubbele frequentie en de tweede heeft een frequentie die drie keer zo groot is, etc. Elke boventoon klinkt vaak minder sterk dan de grondtoon.
Geef een mogelijke formule voor de harmonische trilling die bij de eerste boventoon hoort.
Bijvoorbeeld .
Neem aan dat de A en zijn eerste boventoon samen het geluid bepalen.
Hoe ziet de grafiek er uit als je hun bijbehorende trillingen optelt? Krijg je opnieuw een harmonische trilling?
Maak die grafiek met dezelfde instellingen als bij a. Voer in: , en .
Je krijgt nu geen sinusoïde, dus geen harmonische trilling.
Bepaal van de functies de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschuiving ten opzichte van .
De periode is , de amplitude is en de evenwichtsstand is .
Er is geen horizontale verschuiving.
De periode is de amplitude is en de evenwichtsstand is . De grafiek is eenheden naar links verschoven.
De periode is de amplitude is en de evenwichtsstand is .
De grafiek is eenheid naar links verschoven.
De wieken van een windmolen draaien rond. De hoogte van de tip van één van die wieken boven de begane grond wordt gegeven door:
met de tijd in seconden en de hoogte in m.
Met welke omwentelingstijd draaien deze wieken rond?
geeft een omwentelingstijd .
De wieken draaien in seconden rond.
Hoe lang zijn de wieken van deze molen en op welke hoogte zit de draaias van het stel wieken?
De wieken zijn m lang en de draaias zit op m hoogte.
Maak een grafiek van waarin precies twee periodes zichtbaar zijn.
Welke instellingen voor de assen zijn dan nodig?
Op de horizontale as: .
Op de verticale as: . (Vaak neem je liever iets als .)
Hoeveel tijd is deze tip zichtbaar boven een fabriek die voor de molen staat en m hoog is?
De tip is elke periode ongeveer s zichtbaar.
geeft .
Dus is en .
Daar zit s tussen.
De tip is elke periode ongeveer s zichtbaar.