werken met wiskundige modellen in eenvoudige situaties;
de stappen herkennen die bij het construeren van een wiskundig model horen;
het stellen van goede vragen gebruiken om een model te construeren.
werken met allerlei functies;
meetkundige technieken zoals de stelling van Pythagoras, werken met gelijkvormigheid, met sinus, cosinus, tangens.
Iemand staat op een toren en heeft een vrij uitzicht. Je wilt berekenen hoe ver deze persoon theoretisch over het aardoppervlak kan kijken. Welke eigenschappen (van de situatie) komen hierbij kijken?
In eerste plaats natuurlijk de hoogte van de toren. Daarbij komt het feit dat de aarde bol is. Om het zo uit te drukken, je kan niet over de evenaar heen kijken.
Het is natuurlijk ook belangrijk dat er niks in de weg van het blikveld staat, maar er wordt al gezegd dat de persoon vrij uitzicht heeft.
Probleem:
Om zo'n probleem op te kunnen lossen, maak je een bijbehorend model.
Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Hierin zijn nog alle eigenschappen terug te vinden die belangrijk zijn voor de beschrijving van een bepaald verschijnsel dat je wilt verklaren, of het probleem dat je wilt oplossen. Het bewust opstellen van zo'n model noem je modelleren. Bij het modelleren volg je een aantal vaste stappen. Probeer eerst zelf een oplossing voor het probleem te vinden.
Bekijk het probleem in de uitleg. De volgende vragen kunnen je helpen om de oplossing van dit probleem te vinden. Dergelijke vragen moet je jezelf ook altijd stellen als je de oplossing van een probleem niet meteen ziet. Als eerste ontwerp je een rekenmodel.
Waarom kan hij niet oneindig ver kijken, ook als er geen obstakels in de weg staan? Maak een schets om je antwoord toe te lichten.
Omdat de aarde een bolvorm heeft. Zie figuur.
Hoe heb je in je figuur de afstand die hij kan kijken aangegeven? Welke vereenvoudigingen heb je nu al toegepast?
Zie de figuur bij a. Je neemt aan dat de aarde een zuivere bolvorm heeft en dat er geen obstakels zijn.
Waarschijnlijk bestaat je figuur uit een (deel van een) cirkel die een doorsnede van het aardoppervlak voorstelt. En daarop een lijnstukje dat de hoogte van de ogen van de persoon voorstelt die vanaf de toren boven het aardoppervlak kijkt. Als dat niet zo is, maak dan alsnog een dergelijke figuur. Noem het middelpunt van de cirkel en het lijnstuk (dat degene die kijkt voorstelt) , met op het aardoppervlak.
Punt is een punt op het aardoppervlak dat de persoon die kijkt nog net kan zien. Geef zo'n punt in je figuur aan.
Waarom moet op het verlengde van liggen?
ligt op het verlengde van omdat je naar het middelpunt wordt getrokken (zwaartekracht).
Welke eigenschap heeft driehoek ? Probeer daar een verklaring voor te vinden.
Deze driehoek is rechthoekig bij . Een raaklijn aan een cirkel in een punt staat namelijk loodrecht op de straal naar dit punt.
De omtrek van de aarde is km. Van welke lijnstukken kun je nu de lengte berekenen? Bereken deze lengtes.
Van en van (straal van de cirkel). Beide lijnstukken hebben een lengte van km.
Hoe kun je het probleem verder oplossen?
is rechthoekig. Je weet (straal) en is de straal plus de ooghoogte. Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de kijkafstand uitrekenen.
Iemand doet het volgende voorstel om het probleem in de uitleg op te lossen:
Kies voor de lengte van (de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) een bepaalde waarde, bijvoorbeeld m. Verder is de kijkafstand en die afstand geef je de letter . Vervolgens pas je de stelling van Pythagoras toe in .
Je kunt daarmee uitrekenen. Doe dat.
km
De ooghoogte van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak hoeft niet m te zijn.
Hoe kun je daarmee rekening houden?
Kies daarvoor een variabele: , neem in km.
Probeer nu een volledige oplossing van het probleem te beschrijven. Je kunt daarbij werken met variabelen en een formule. Maar je kunt ook werken op de computer met bijvoorbeeld Excel.
Je vindt: met en in km.
Met behulp van deze formule kun je een tabel maken, waarin je de kijkafstand kunt aflezen voor verschillende waarden voor .
Vaak wordt de formule gebruikt voor de kijkafstand, met en in m.
Probeer die formule af te leiden uit jouw eigen formule.
Haakjes wegwerken geeft:
.
Omdat een getal zal zijn dat kleiner is dan zeg m, is te verwaarlozen (ten opzichte van ). Dus:
Iemand anders vindt dat de kijkafstand de afstand over het aardoppervlak is. Hij doet het volgende voorstel om het probleem in de uitleg op te lossen:
Kies voor de lengte van (de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) de letter (m). Verder is de kijkafstand de lengte van de boog en die geef je de letter . De lengte van die boog wordt bepaald door de grootte van hoek . En die kun je uitrekenen in driehoek .
Beschrijf nu hoe je kunt berekenen.
is nu een deel van de omtrek van de aarde. De hoek bepaalt de grootte ervan. Voor die hoek geldt:
Waarom is nu het probleem opgelost?
Je kunt nu bij een bepaalde waarde van de grootte van berekenen. Dan is m.
Welke methode vind je het beste om het vraagstuk op te lossen?
Eigen antwoord. Merk op dat de kijkafstand bij de tweede methode anders is dan bij de eerste methode.
Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid waarin nog alle eigenschappen zijn
terug te vinden die belangrijk zijn voor de beschrijving van het verschijnsel dat je
wilt verklaren. Het bewust opstellen van zo'n model noem je
Bij het modelleren volg je een viertal vaste stappen.
Je kijkt naar de werkelijkheid en stelt jezelf een vraag: de probleemstelling. Je bedenkt welke grootheden en variabelen een rol spelen.
Je vereenvoudigt de werkelijkheid door aannames te doen en ontwerpt een wiskundig model dat zo goed mogelijk bij de probleemstelling past. Je geeft duidelijke definities van de grootheden waartussen je verbanden gaat zoeken. Je moet ook goed bijhouden waarom je bepaalde dingen weglaat.
Je zoekt het antwoord op je vraag door in je model wiskundige berekeningen toe te passen. Het antwoord kan de oplossing van het probleem zijn, maar ook een beschrijving van de bepaalde situatie.
Je kijkt of je antwoord wel bij de werkelijkheid past. Je moet je antwoord
Je doorloopt deze stappen aan de hand van vragen die je jezelf stelt. Bijvoorbeeld of je een schema of tekening kunt maken, of je de verbanden kunt uitdrukken in wiskundige formules, of dat je de uitkomst misschien van tevoren kunt schatten. De lijst met mogelijke vragen kan je daarbij helpen. Deze vragenlijst is niet uitputtend, er zijn meer vragen die je jezelf kunt stellen. Het is slechts een eerste aanzet.
Iemand staat aan de (vrijwel rechte) waterlijn van een heel grote waterpartij (punt ). Schuin voor zich ziet hij in het water een zwemmer (bij ) die in nood is. Hoe kan hij zo snel mogelijk bij de zwemmer komen om hulp te bieden? Springt hij meteen in het water of loopt hij eerst een stuk langs het strand?
Je ziet een figuur waarbij punt de persoon aan de waterlijn voorstelt, punt de zwemmer in nood is en een rechthoekige driehoek is waarvan de waterlijn voorstelt. Aangenomen is dat m en dat m. Bij punt gaat de redder het water in. De loopsnelheid is (bij hard lopen) km/h en de zwemsnelheid km/h.
Dit is het begin van een rekenmodel. Probeer dit eerst zelf te ontwerpen. Bekijk daarna de opgaven.
In
Hoeveel tijd kost het om de zwemmer te bereiken als er alleen wordt gezwommen?
Ongeveer seconden.
De te zwemmen afstand is dan m.
Er wordt gezwommen met m/s, dus dit kost ongeveer seconden.
Waarom is het waarschijnlijk verstandig om eerst een stuk langs de waterlijn te lopen?
Lopen gaat veel sneller dan zwemmen.
En hoeveel tijd kost het om de zwemmer te bereiken als het hele stuk eerst wordt gelopen en dan wordt gezwommen?
Ongeveer s.
Lopen kost s en zwemmen s. Samen is dat ongeveer s.
Er wordt een nog kortere tijd bereikt als de persoon bij niet helemaal van naar loopt, maar slechts een deel van die afstand.
Experimenteer maar met de applet.
Kies en bereken dan de tijd die nodig is om de zwemmer te bereiken.
Ongeveer s.
De loopafstand is en de zwemafstand is .
De totale tijd is s.
Je kunt ook werken met een variabele voor de lengte van . Noem die lengte bijvoorbeeld .
Stel een formule op voor de totale tijd die nodig is om te bereiken vanuit .
Die tijdsduur is .
De loopafstand is nu , en de zwemafstand is dan nog .
De tijdsduur kun je dus weergeven met .
Hoe kun je het probleem verder oplossen?
Bereken met behulp van een grafiek van bij welke de tijdsduur minimaal is.
Je vindt dat bij de tijdsduur minimaal is.
Bekijk
Welke aannames heb je gedaan? Hoe heb je die in de schets van de situatie verwerkt?
Aannames:
De waterlijn is recht en je kunt meteen zwemmen als je in het water komt.
De zwemmer (punt ) is m uit de kust loodrecht gerekend vanaf een punt dat m van je (punt ) af is.
Je loopt met bijvoorbeeld km/uur en zwemt met km/uur.
Welke extreme gevallen heb je eerst doorgerekend?
Eerst de tijdsduur bij alleen zwemmen.
Daarna de tijdsduur bij de volle m lopen en dan m zwemmen.
Welke variabelen heb je ingevoerd? Kon je ook andere variabelen kiezen?
In de opgave is gekozen, je kon bijvoorbeeld ook kiezen, beide in m. Verder is de tijdsduur in s.
Maar je kunt ook nog meer variabelen invoeren: voor de loopsnelheid , de zwemsnelheid en voor de afstanden , .
Welke verbanden tussen de variabelen heb je gevonden?
Een formule voor . Maar je kunt ook laten afhangen van , , en .
Kun je het antwoord controleren? Beschrijf een mogelijke test (zonder dat je een zwemmer in nood moet inschakelen).
Je kunt de zwemmer in nood vervangen door een boei in het water en dit bij mooi weer uitproberen. Afhankelijk van de situatie zul je merken dat er waarschijnlijk meer factoren een rol spelen (zoals stroming, diepte van het water, enzovoort).
Op diverse plaatsen in Nederland zijn windmolens geplaatst om energie op te wekken. Het vermogen van zo'n windmolen hangt af van de grootte van de wieken en de windsnelheid. Je kunt er een wiskundig model voor opstellen. Het opgewekte vermogen (kWh) is recht evenredig met de massa van de hoeveelheid lucht per seconde maal de windsnelheid (m/s) in het kwadraat:
Hierin is het vermogen in kilowattuur (kWh), de massa van de hoeveelheid lucht per seconde en de windsnelheid in meter per seconde (m/s).
De hoeveelheid lucht die per seconde voorbijkomt, is een cilinder met een grondvlak van
en een lengte van .
De massa daarvan is
waarin de dichtheid van de lucht is, het
aantal kg per m
Zo vind je:
De constante hangt af van de dichtheid van de lucht en onder andere van de eigenschappen van de windmolen. De constante is alleen experimenteel te bepalen, dus door metingen te verrichten.
Bestudeer
Welke aannames zijn er gedaan?
Aannames:
De windkracht is een variabele die voor de hele luchtstroom langs de wieken dezelfde waarde heeft.
Voor het vermogen geldt , een natuurkundige formule.
De luchtdichtheid is een constante.
Laat zien hoe je aan de formules en komt.
is de oppervlakte van een cirkel met een straal van .
met
Hoe wordt de modelcyclus doorlopen? Beschrijf bij elke stap wat er gebeurt.
Modelcyclus:
Probleemstelling: de keuze van de variabelen , en ; de hoogte van de molen speelt geen rol.
Modelleren: bekende natuurkundige formule gebruiken en is te berekenen door te berekenen hoeveel lucht per seconde door een cilinder met hoogte gaat met de eerder genoemde aannames.
Rekenen (met variabelen): de formule maken door formules te combineren.
Terugkoppelen: een test verzinnen om je model te controleren (door veranderingen in luchtdichtheid en windsnelheid is het misschien zo dat de hoogte van de molen uiteindelijk wel een rol speelt).
Kun je een manier bedenken om het model te testen?
Het vermogen meten bij bepaalde waarden van de windsnelheid en rotordiameter.
De beheerder van een groot communicatienetwerk wil een kabel leggen tussen twee eilanden in de Stille Oceaan die km van elkaar verwijderd liggen (hemelsbreed gerekend over zee). Hoeveel kabel moet er minder worden getrokken als daarvoor een rechte tunnel tussen beide eilanden wordt geboord? Dit in vergelijking met het leggen van de kabel op de nagenoeg vlakke zeebodem tussen beide eilanden.
Maak een schets van de situatie en schrijf de aannames op die je moet doen om hier iets zinnigs over te kunnen zeggen.
Zie figuur.
Aannames zijn bijvoorbeeld dat de zeebodem vlak is en keurig met de ronding van de aarde meeloopt, dat de tunnel kaarsrecht kan zijn (in werkelijkheid moet je eerst schuin de grond in), dat begin- en eindpunt in beide situaties dezelfde kunnen zijn, enzovoort.
Ontwerp een geschikt rekenmodel. Neem hierbij mee dat de aarde een omtrek van km heeft.
De halve lengte van de rechte kabel bereken je in bijvoorbeeld de rechthoekige driehoek .
en km
De lengte van kabel is: km
Probeer de gestelde vraag zo goed mogelijk te beantwoorden. Schrijf ook enkele beperkingen van de kwaliteit van je antwoord op.
De rechte kabel is dus nauwelijks korter dan de kabel over de zeebodem, het scheelt ongeveer m. De aanleg daarvan zal wel veel duurder zijn, dus dit is niet verstandig om te doen.
Omdat de aannames de zaak waarschijnlijk te rooskleurig voorstellen, zul je zelfs een langere kabel nodig hebben. En dan is het verschil wellicht nog kleiner. Hoewel dat niet zeker is, want ook de kabel over de zeebodem zal waarschijnlijk geen mooie cirkelboog hebben.
Bij de aanschaf van een nieuwe auto heeft iemand de keuze uit twee uitvoeringen: een dieselversie en een benzineversie. Tussen deze versies bestaat een groot prijsverschil. Bovendien is de wegenbelasting verschillend en verschillen de brandstofprijzen.
Ga ervan uit dat de benzineversie een verbruik heeft van L per km en dat de dieselversie een verbruik heeft van L per km.
De dieselversie is jaarlijks € 1200,00 duurder dan de benzineversie.
Neem verder aan dat één liter benzine € 1,60 kost en dat de dieselprijs € 1,24 per liter is.
Welke auto moet hij kiezen? Los dit probleem op volgens de modelcyclus en waar nodig met behulp van de lijst met hulpvragen.
Beschrijf eerst je rekenmodel met de bijbehorende aannames.
Aannames:
De benzineauto verbruikt L per km en de dieselauto liter per km. De kosten voor één liter benzine zijn € 1,60 en voor één liter diesel € 1,24. Daarnaast is de dieselversie jaarlijks € 1200,00 duurder (wegenbelasting, afschrijvingskosten en dergelijke). Deze aannames hangen sterk af van de actuele situatie.
Variabelen zijn het aantal gereden km per jaar en de kosten per jaar.
Model (passend bij deze aannames):
is het aantal gereden km per jaar en zijn de vaste kosten per jaar van de benzineauto.
Benzineauto: kosten per jaar
Dieselauto: kosten per jaar
De kosten zijn gelijk als:
Welke oplossing vind je?
Als de gebruiker meer dan km per jaar rijdt, dan is de dieselversie goedkoper, anders de benzineversie.
geeft en dus .
Als de gebruiker meer dan km per jaar rijdt, dan is de dieselversie goedkoper, anders de benzineversie.
Hoe zou je kunnen controleren of dit enigszins realistisch is?
Er zijn bronnen genoeg (zoals het Centraal Bureau voor Statistiek) die een idee geven van hoeveel kilometer automobilisten gemiddeld per jaar rijden. Dit is op zich een goed punt om te beginnen.
Je staat stil in het centrum van Amsterdam. Hoe snel beweeg je als gevolg van het draaien van de aarde?
Stel hiervoor zelf een model op. Maak daarbij gebruik van de modelcyclus. Probeer een manier te verzinnen om het model te testen.
Voor dit model heb je de breedtegraad van het centrum van Amsterdam nodig, en de omtrek van de aarde. Deze zijn respectievelijk (ongeveer) ° en km.
Stap 1:
Je beweegt als gevolg van de draaiing van de aarde, ook als je stilstaat op het aardoppervlak. (Trouwens ook als gevolg van de beweging van de aarde om de zon, de zon om het centrum van het sterrenstelsel en het sterrenstelsel ten opzichte van andere sterrenstelsels.)
Waar je op aarde zit, bepaalt de snelheid. Op de Noordpool is die snelheid . Je hebt dus de breedtegraad van Amsterdam nodig. De breedtegraad kan een variabele zijn. Er is dan een verband tussen de plek op aarde, de breedtegraad en de snelheid waarmee je beweegt.
Stap 2:
Aannames zijn bijvoorbeeld dat de aarde zuiver rond is en de aardas (Noordpool naar Zuidpool) een middellijn van een bol is. De omtrek van de aarde is km.
Stap 3:
Je kunt dan aantonen dat je elke dag (
uur) een cirkel aflegt met een straal van km waarin de breedtegraad is van
de plek waar je staat. Teken daartoe een dwarsdoorsnede van de
aarde (een cirkel) en geef er de breedtegraad (de draaihoek vanaf
het vlak door de evenaar) in. Voor Amsterdam (
graden) betekent dit een straal van ongeveer km
en daarom een afstand van ongeveer km per
uur, dat is ongeveer km/uur. In het
algemeen is de snelheid waarmee je beweegt: km/uur
Stap 4: Het controleren hiervan is natuurlijk niet eenvoudig, maar je zou kunnen kijken naar de zon (die in dit model in feite stilstaat). In een uur tijd lijkt de zon een zekere afstand langs de hemel af te leggen als gevolg van de draaiing van de aarde (als je het bewegen van de aarde om de zon even verwaarloost). Door die afgelegde afstand te meten en de (gemiddelde) afstand van de aarde tot de zon te gebruiken zou je de draaisnelheid van de aarde op jouw plek moeten kunnen benaderen.
Je ziet hier een locomotief van Märklin of Fleischmann, die staat op de drijfstang van hetzelfde origineel. Neem aan dat een echte loc met een snelheid van km/h rijdt. Hoe snel moet je het schaalmodel laten rijden om het
Los dit probleem op volgens de modelcyclus.
Stap 1:
Afstanden worden geschaald, de tijd echter niet.
Stap 2:
Doe eerst een aanname v.w.b. de schaal, probeer hem door meten in de foto te schatten, of zoek op wat HO-spoor voor schaal heeft. De schaal van het treintje is ongeveer .
Stap 3:
Een snelheid van km/uur betekent dat een echte trein in een uur km aflegt. Het model moet dan in een uur kilometer afleggen. Dat is ongeveer km/uur.
Stap 4:
Probeer te meten hoe snel een trein van een modelspoorbaan beweegt. En vraag je af of je die beweging natuurlijk lijkt.
Om te bepalen welk gewicht een vliegtuig kan dragen geldt bij benadering de formule . Hierin is het gewicht in kg, het vleugeloppervlak in m
Ga uit van een luchtdichtheid van kg/m
ongeveer kg
km/h m/s
kg
Een vliegtuig met een kruissnelheid van m/s en een vleugeloppervlak van m
minimaal kg/m
geeft .
De minimale luchtdichtheid moet minimaal kg/m
In de luchtvaart wordt vaak gewerkt met de vleugelbelasting, dat is het gewicht in kg per m
Ga uit van een luchtdichtheid van kg/m
, als dan is de evenredigheidsconstante gelijk aan:
Wat gebeurt er met de vleugelbelasting als de kruissnelheid van een vliegtuig keer zo groot wordt?
De vleugelbelasting wordt keer zo groot.
De vleugelbelasting wordt keer zo groot.
In een straat komen lantaarnpalen, waarbij de kosten zo laag mogelijk moeten zijn. Ontwerp een model voor de straatverlichting. Ga daarbij van de volgende gegevens uit:
De lichtsterkte (watt per m
Je verlicht de weg met straatlantaarns met een bepaald vermogen, een bepaalde hoogte en een bepaalde onderlinge afstand. Neem aan dat die niet variëren.
Wettelijk is vastgelegd dat de lichtsterkte op elk punt van een weg moet liggen
tussen en watt/m
Daarnaast moet je rekening houden met afschrijving en onderhoud van de palen. Die kosten hangen onder andere af van de hoogte en de onderlinge afstand . Hogere palen zijn namelijk duurder en een kleinere onderlinge afstand betekent meer palen. Verder zijn er kosten voor de elektriciteit: bijvoorbeeld € 0,15 per kWh. Dit betekent dat een lamp van kW die een uur brandt € 0,15 kost. Neem nu per jaar:
€ 200,00 per lantaarnpaal voor schoonhouden, reparaties, schilderwerk en dergelijke;
€ 50,00 per meter lantaarnpaal voor vervanging, afschrijving, onderhoud;
elektriciteit kost € 0,15 per kWh.
Om je op weg te helpen even een paar ideeën. De volgende variabelen kunnen een rol spelen:
is de lichtsterkte in watt van de lamp in elke straatlantaarn.
is de hoogte in meter van de straatlantaarn (en dus van de lamp, neem je aan).
is de (vaste) onderlinge afstand in meter van een rij straatlantaarns aan één kant van de weg.
Aan beide zijden van de weg staan straatlantaarns en wel recht tegenover elkaar.
is de breedte in meter van de weg (en dus van de twee rijen straatlantaarns, neem je aan).
is de brandtijd (uur per jaar) dat de lampen branden.
De lichtsterkte (watt per m
Het punt met de kleinste lichtsterkte zit op het midden van de weg, midden tussen vier lantaarns in.
Welke formule geldt voor de lichtsterkte in dit punt?
Neem aan dat andere lantaarns dan de omliggende geen bijdrage leveren aan de lichtsterkte in dit punt.
Vanuit het midden van een weg is de afstand tot een lamp (gebruik de stelling van Pythagoras zoals in een balk waarvan je de lengte , de breedte en de hoogte weet). Omdat je dan midden tussen vier lampen zit, geldt:
Welke twee voorwaarden leveren de formules bij a op?
en
Bekijk de vorige opgave. Bijvoorbeeld , , en voldoet aan de twee voorwaarden. De jaarlijkse kosten per meter weg kun je berekenen met de formule:
Laat zien hoe je aan deze formule komt.
De jaarlijkse schoonmaakkosten en dergelijke per lantaarnpaal zijn € 200,00.
Per meter lantaarnpaal zijn de kosten € 50,00. Dus per lantaarnpaal zijn de kosten .
De kosten zijn € 0,15 per kWh en de brandtijd is , dus de totale kosten hiervoor zijn:
Er zijn palen per meter weg.
Dus
Probeer nu een oplossing voor het probleem te vinden. Pas eerst de aannames aan op grond van gegevens die je zelf hebt gevonden, bijvoorbeeld via internet.
Eigen antwoord.
De Amerikaanse verkeerskundige dr. Bruce Greenshields heeft in 1935 een rekenmodel ontwikkeld voor de verkeersdichtheid op auto(snel)wegen. Het probleem was het berekenen van de snelheid die alle automobilisten zouden moeten aanhouden om met een veilige onderlinge tussenruimte een zo goed mogelijke doorstroming te bewerkstelligen.
Hij bedacht voor de verkeersdichtheid de formule
Hierbij is de snelheid van het verkeer in kilometer per uur, de snelheid van het verkeer in kilometer per uur als men niet door andere automobilisten in zijn snelheid belemmerd wordt, de verkeersdichtheid en het maximale aantal auto's per kilometer weg. Hieruit blijkt dat als het drukker wordt op de weg, de auto's langzamer rijden en ook dichter op elkaar. De verkeersdichtheid, dat is het aantal auto's per kilometer weg, neemt dus toe.
Eerst maar even wat rekenen. Ga uit van de volgende (denkbeeldige) situatie (zie figuur).
Op een weg rijden auto's met een snelheid van kilometer per uur. De auto's houden een onderlinge afstand van meter. De lengte van een auto is meter. Per auto is dus meter snelweg nodig. Langs deze weg staan borden met daarop de tekst:
Onderzoek of in de gegeven situatie de auto's hieraan voldoen.
De afstand meter wordt afgelegd in uur. Dit is seconden. Dit is iets meer dan seconden, dus de auto's voldoen hieraan.
Bij een gegeven snelheid is de doorstroming het aantal auto's dat per uur een bepaald punt passeert als ze zo dicht mogelijk op elkaar rijden. Zo dicht mogelijk betekent hier dat de bestuurders de kleinste onderlinge afstand kiezen die nog voldoende verkeersveiligheid garandeert. Voor geldt: .
Ga uit uit van de volgende situatie.
Op een weg is . Het verkeer rijdt achter elkaar aan met een snelheid van kilometer per uur. Alle auto's zijn meter lang. Er passen dus maximaal auto's op een kilometer; in dit geval is gelijk aan .
Bereken de doorstroming van deze weg.
, dus , dus ongeveer auto's per uur.
De volgende vragen gaan over een snelweg met in beide richtingen twee rijstroken. Op elke rijstrook is en .
Leid hieruit een formule af voor de doorstroming afhankelijk van de rijsnelheid . Bereken daarmee de rijsnelheid waarbij de doorstroming maximaal is
Uit volgt .
Door de top van de bijbehorende dalparabool te berekenen vind je voor de snelheid waarbij maximaal is km/h.