modelleren gebruiken bij problemen waarbij het gaat om een maximale of een minimale waarde.

werken met wiskundige modellen in eenvoudige situaties;

de stappen herkennen die bij het construeren van een wiskundig model horen;

het stellen van goede vragen gebruiken om een model te construeren.

Een fabrikant van schoenen wil een nieuwe rechthoekige fabriekshal laten bouwen met een vloeroppervlakte van wel $2400$ m2. Hij dient een aanvraag in voor het aankopen van een rechthoekig stuk grond. Om de fabriek komen groenstroken en parkeerruimte, aan beide zijden en aan de achterkant stroken van $10$ m breed, aan de voorkant een strook van $20$ m breed. De fabrikant beoogt een zo klein mogelijk stuk grond te kopen dat aan deze eisen voldoet. Welke afmetingen heeft dit terrein?

Probeer zelf een oplossing te verzinnen.

In de uitleg wordt dit probleem besproken.

Probleem:
Een fabrikant van schoenen wil een nieuwe rechthoekige fabriekshal laten bouwen met een vloeroppervlakte van $2400$ m2. Hij dient een aanvraag in voor het aankopen van een rechthoekig stuk grond. Om de fabriek komen groenstroken en een parkeerruimte. Aan beide zijden en aan de achterkant worden dit stroken van $10$ m breed, aan de voorkant een strook van $20$ m breed. De fabrikant beoogt een zo klein mogelijk stuk grond te kopen dat aan deze eisen voldoet. Welke afmetingen heeft dit terrein?

Om zo'n probleem te kunnen oplossen, maak je een bijbehorend model.
Aannames: de fabriekshal en het terrein zijn zuivere rechthoeken.

Model ontwerpen: de oppervlakte van het terrein hangt af van de lengte en de breedte ervan. Voor de lengte en de breedte van het terrein, of de lengte en de breedte van de fabriekshal zoek je waarden. De oppervlakte van de fabriekshal is $2400$ m2. Met deze gegevens maak je een figuur.
Neem bijvoorbeeld voor de fabriekshal een breedte van $30$ m, dan moet de lengte wel $80$ m zijn. Als je de lengte als voorkant neemt, is de oppervlakte van het terrein, inclusief de groenstroken en parkeerruimte die je daarvoor moet aankopen, $60 * 100 = 6000$ m2. Zo kun je verschillende gegevens in een figuur gebruiken om te kijken wat de beste oplossing is.

Bekijk het probleem van de schoenenfabrikant in de Uitleg.

Leg uit waarom bij een keuze van $30$ voor de breedte geldt dat de lengte $80$ m is. Leg ook uit waarom de oppervlakte van het terrein dan $60 * 100 = 6000$ m2 is als de lengte de voorkant van het gebouw wordt.

De lengte is $2400/30 = 80$ m. De oppervlakte wordt: $(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000$ m2.

Waarom kan hij bij a beter de breedte als voorkant van het gebouw nemen?

De breedte is dan $2400/80 = 30$ m. De oppervlakte wordt: $(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500$ m2. En dat is kleiner.

Voor de voorkant van de fabriekshal kun je verschillende getallen proberen en zo de oplossing van het probleem zoeken. Maar je kunt die voorkant ook variabel maken, bijvoorbeeld $x$ stellen.

Hoe groot wordt dan de andere afmeting van de fabriekshal? En hoe groot wordt de oppervlakte van het totale terrein?

De andere afmeting is dan $2400/x$ m en de oppervlakte wordt: $A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)$ m2

Los nu het probleem verder op.

Met behulp van GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine zoek je het minimum van: $A(x) = (x + 20)(2400/x + 30)$
Je vindt een minimum van $5400$ m2 bij $x = 60$ m.

Bekijk het probleem van de schoenenfabrikant in de Uitleg.
Je kunt de lengte van de voorkant van het totale terrein als variabele $x$ nemen.

Hoe groot worden dan de afmetingen van de fabriekshal? Hoe groot wordt de oppervlakte van het totale terrein?

Dan is de voorkant van de fabriekshal $x - 20$ en de breedte ervan dus: $2400/(x - 20)$
De oppervlakte van het terrein is dan: $A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)$

Los ook nu het probleem verder op.

Met de GR zoek je het minimum van: $A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)$
Je vindt een minimum van $5400$ m2 bij $x = 60$ m.

Onder optimaliseren versta je het vinden van een zo gunstig mogelijke (meestal een minimale of een maximale) waarde voor een bepaalde grootheid in een welomschreven situatie.
Die welomschreven situatie betekent dat je al aan het modelleren bent: je doet aannames om het probleem dat je wilt oplossen te vereenvoudigen. Vervolgens bouw je een rekenmodel op.

Meestal schakel je daarna GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine in om de optimale oplossing te vinden.
Maar dat kan eigenlijk alleen als het rekenmodel een verband tussen twee variabelen betreft.
In de praktijk heb je vaak met meer dan twee variabelen te maken.

Een blikfabriek maakt onder andere cilindervormige blikken voor de conservenindustrie. Er is veel vraag naar blikken met een inhoud van $1$ liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat daar zo min mogelijk blik voor nodig is, dan blijven zijn kosten laag.
Welke afmetingen zal hij zijn literblikken geven?

Eerst een rekenmodel opstellen:
Neem aan dat elk blik zuiver cilindrisch is en dat de benodigde hoeveelheid blik gelijk is aan de totale oppervlakte van het blik. De twee bepalende variabelen zijn de straal van (het grondvlak van) het blik $r$ en de hoogte $h$ , neem beide in cm. Het gegeven betreft de inhoud van een blik ( $1$ L = $1000$ cm3), de eis betreft de oppervlakte die minimaal moet zijn.
Voor de inhoud van een cilinder geldt: $I=πr^2 h$
Voor de oppervlakte van een cilinder geldt: $A=2 πrh+2 πr^2$

Omdat gegeven is dat $I = 1000$ cm3 kun je deze formules gebruiken om $A$ uit te drukken in alleen $r$ .

De formule die je krijgt, kun je op de grafische rekenmachine invoeren. Je vindt dat voor $r≈5,4$ cm en $h≈10,8$ cm de totale oppervlakte minimaal is.

Bekijk het probleem in Voorbeeld.

Welke aannames worden er gedaan?

Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.

Hoe kom je aan de formule voor de oppervlakte van het blik?

De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal $r$ en de mantel is een rechthoek met een hoogte van $h$ cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.

Laat zien hoe je de formule voor $A(r)$ kunt afleiden.

Met $I=1000$ vind je $1000 =πr^2 h$ en dus: $h=1000/ (πr^2)$
Als je nu in de formule voor $A$ deze uitdrukking invult voor $h$ , dan vind je: $A(r)=2000/r+2 πr^2$

Laat zien hoe je het probleem nu verder oplost.

De gevonden vergelijking $A(r)=2000/r+2pir^2$ beschrijft een kromme met een minimum op $r~~5,4$ . Zo gebruik je $h=1000/(pir^2)$ om $h~~10,8$ te vinden.

Een pakje hagelslag heeft de vorm van een balk met een vierkante bodem. De inhoud is $200$ cm3.

Welke afmetingen heeft het pakje met de kleinste hoeveelheid karton, dus met de kleinste oppervlakte? Geef je antwoord in cm en rond af op één decimaal.

Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft $x ~~ 5,8$ cm en $h ~~ 5,9$ cm.

Neem aan dat het pakje een zuivere balk is met afmetingen $x$ , $x$ en $h$ , alle drie in cm.
Uit $I = x^2 h =200$ en $A = 2x^2 + 4xh$ volgt: $A = 2x^2 + 800/x$
Met GeoGebra, Desmos, of een GR vind je dat $A$ minimaal is als $x ~~ 5,8$ cm.

Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft $x ~~ 5,8$ cm en $h ~~ 5,9$ cm.

In een bepaalde supermarkt worden pakken yoghurt verkocht voor € 0,90 per stuk. Er worden elke week ongeveer $1000$ pakken yoghurt verkocht. De bedrijfsleider denkt dat hij meer pakken yoghurt kan verkopen als hij de prijs verlaagt. Elke $4$ eurocent prijsverlaging kon wel eens een omzetverhoging van $100$ pakken betekenen. De pakken yoghurt worden ingekocht voor € 0,60 per stuk.

Is het verstandig om de prijs te verlagen?

Hierbij past een bekend model uit de economie, namelijk dat van de monopolist. De winkelier neemt hier namelijk aan dat er geen concurrentie van andere aanbieders van deze yoghurt is. Zo kan hij rustig de prijs verlagen zonder dat andere winkeliers hem aftroeven. Zijn prijs wordt niet zo laag mogelijk natuurlijk, maar zo gunstig mogelijk: hij wil zo veel mogelijk winst maken.

Bij dit optimaliseringsprobleem is het slim om variabelen te gebruiken. Je hebt meerdere mogelijkheden, bijvoorbeeld:

$x$ is het aantal pakken yoghurt dat hij zal verkopen;

$x$ is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen;

$x$ is het aantal keren $4$ eurocent prijsverlaging die hij toepast.

Bij je keuze hoort een passend rekenmodel, een formule voor de winst afhankelijk van $x$ .
Bedenk daarbij dat de winst $W$ wordt verkregen door de prijs $p$ per stuk te vermenigvuldigen met het aantal pakken yoghurt $q$ dat hij zal verkopen. Trek daar dan weer de kosten $K$ van af: $W = p*q - K$ . Deze variabelen hangen allemaal af van $x$ .

In de opgave bepaal je of het verstandig is om de prijs te verlagen.

Bekijk het probleem van de winkelier in Voorbeeld. Kies voor $x$ het aantal keren $4$ eurocent prijsverlaging die hij toepast.

Leid een formule af voor $W$ afhankelijk van $x$ .

Bijvoorbeeld $W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000$ , met $W$ in eurocent.

Is het verstandig om de prijs te verlagen?

De winst is maximaal als $x = text(-)1,25$ . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met $5$ eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.

Je kunt (zie voorbeeld) ook een andere variabele $x$ noemen.

Doe dat en laat zien dat je dan een vergelijkbaar resultaat krijgt.

Stel dat $x$ het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

$(90-0,04(x-1000))x-60x$

Je vindt nu dat er een maximum is bij $x=875$ . Dus een afname van $125$ pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met $5$ eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Stel $x$ is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

$W=(90-0,04x)(1000+x)-60(1000+x)$

Je vindt nu dat er een maximum is bij $x=text(-)125$ . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met $5$ eurocent moet verhogen voor maximale winst.

In een kaasmakerij ligt een voorraad van $600$ kg kaas. De bedrijfsleider wil die voor een zo hoog mogelijke totale opbrengst verkopen. Er zijn twee mogelijkheden:

De kaas ineens verkopen voor € 10,00 per kilo, de partij brengt dan € 6000,00 op.

De kaas een tijdje laten indrogen; deze verliest dan aan gewicht, maar wint aan smaak. Daardoor neemt de prijs per kilo met € 0,25 per $6$ kilo gewichtsvermindering toe.

Bereken de opbrengst van de partij kaas bij $5$ procent indrogen.

€ 6412,50

$(600 -5 *0,01 *600 )*(10 +5 *0,25 )=6412,50$

De opbrengst is € 6412,50.

Noem het indrogingspercentage $p$ . Stel een formule op voor de totale opbrengst van de partij kaas als functie van $p$ .

$TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2$

Bereken het gunstigste indrogingspercentage.

$TO$ is maximaal als $p=30$ .

Van een vierkant stuk karton wordt een bakje gemaakt door in de hoeken vierkantjes in te knippen en de randen om te vouwen. Die vierkantjes dienen dan als plakrandjes.

Welke formule kun je opstellen voor de inhoud $I$ (cm3) van dit bakje met $x$ de zijde van het ingeknipte vierkantje?

De lengte en breedte zijn dan $20-2x$ en de hoogte $x$ .

Dus: $I=x (20 -2 x) ^2$ .

Bereken de maximale inhoud van dit bakje in cm3 nauwkeurig.

Bepaal het maximum met GeoGebra, Desmos, of de GR.
Je vindt dat het maximum $593$ cm3 is bij $x~~3,45$ .

Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is $400$ m. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is.

Bereken de afmetingen van dit sportveld in meters nauwkeurig.

Sportveld: Noem de lengte $l$ en breedte $2 r$ (in $l$ en $r$ in meters) waarin $r$ de straal van de twee halve cirkels is.
Nu geldt: $2 l+2 πr=400$ , dus $l=200 -πr$ .
De oppervlakte van het sportveld is: $A=l*2 r=(200 -πr)*2 r=400 r-2 πr^2$ .
Maximum zit bij $r=100/π~~31,8$ . Dit kun je berekenen met behulp van de symmetrie eigenschappen van de bergparabool die de grafiek van $A$ is (snijpunten met de horizontale as uitrekenen; de top zit in het midden van die snijpunten).
Het sportveld is ongeveer $100$ bij $64$ m.

Een fabriek produceert opvouwbare autopeds voor volwassenen als vervoersmiddel in grotere bedrijfshallen. Het bedrijf heeft als enige producent een monopoliepositie. Daarom hangt de afzet $q$ ( $xx 1000$ ) uitsluitend af van de prijs $p$ in euro: $q=12 -0 ,1 p$ . De kosten voor de productie van deze autopeds zijn gegeven door een door de bedrijfswiskundige opgesteld model: $TK=1 ,5 q^3-22 ,5 q^2+120 q$ . Hierin is $TK$ gegeven in duizenden euro.

Toon aan dat geldt: $p=120 -10 q$ . Welke waarden kan $q$ aannemen?

$q = 12 - 0,1p$
$0,1p = 12 - q$
$p = 120 - 10q$
Uit deze formule kunnen we afleiden dat de prijs $0$ is wanneer er $12000$ autopeds worden verkocht. Dit betekend dat: $0 le q le 12$ .

Stel een formule op voor de opbrengst $TO$ als functie van $q$ .

$p=120-10q$
Invullen geeft: $TO=pq=120 q-10 q^2$

Stel een formule op voor de winst $TW$ als functie van de afzet $q$ .

$TW=TO-TK$

$TW=text(-)1 ,5 q^3+12 ,5 q^2$

Bepaal de prijs van één autoped bij maximale winst.

Maximum bepalen (Geogebra, Desmos, of GR) geeft $q=5,5555...$ . Er is maximale winst als $q=5556$ . De prijs van een autoped is dan € 64,44.

Geef een formule voor de gemiddelde totale kosten $GTK$ als functie van $q$ . Bepaal bij welke afzet $GTK$ minimaal is.

$GTK=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120$ met een minimum bij een afzet van $7500$ stuks.

$GTK=(TK)/q=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120$ en die functie heeft een minimum bij een afzet van $7500$ stuks.

Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt $E$ ) ligt $40$ meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt $D$ ) ligt $60$ meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt $B$ ) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt $A$ is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt $C$ is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt $A$ en punt $C$ is $80$ meter. In de figuur is van deze situatie een schematisch bovenaanzicht getekend. Hierin is $x$ de afstand tussen punt $A$ en de bushalte $B$ in meter.
Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn.

Bereken algebraïsch de waarde van $x$ in deze situatie.

De lengte van het linker voetpad is $sqrt(x^2+40^2)=sqrt(x^2+1600)$ en de lengte van het rechter voetpad is $sqrt((80-x)^2+60^2)=sqrt(x^2-160x+10000)$ .

Los op: $sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)$ . Dit geeft $x = 52,5$ .

Men wil bij nader inzien de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van de twee voetpaden minimaal is.

Bereken de totale lengte $L$ in meter.

Nu moet $L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)$ minimaal zijn. Dit levert op: $x = 32$ m en $L~~128$ .

Dus de totale lengte is dan ongeveer $128$ m.

Onder een piramidevormig dak wil je een rechthoekige ruimte bouwen met een zo groot mogelijke inhoud. In de figuur zie je hoe dit eruit komt te zien. Het grondvlak van de ruimte is een vierkant. De hoogte van de piramide is $6$ m.

Welke afmetingen krijgt deze ruimte?

Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde $x$ . Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan $h=6 -1/2x$ . De inhoud ervan is dan $I=x^2(6 -1/2x)=6 x^2-1/2x^3$ .
Met behulp van GeoGebra, Desmos, of een GR vind je een maximale inhoud als $x=8$ en dus $h=2$ . De afmetingen zijn dus $8 \times 8 \times 2$ m.

De eigenaar van een camping wil het aantal plaatsen uitbreiden. Hij koopt een hectare grond en wil daarop zuiver vierkante kampeerplaatsen inrichten. Hij heeft echter een deel van de grond nodig voor wegen, toilet- en wasgelegenheid, en dergelijke. Per kampeerplaats schat hij daarvoor zo’n $20$ m2 te moeten reserveren. Verder gaat hij ervan uit dat het bedrag dat hij per plaats kan rekenen, afhangt van de grootte ervan. In elk geval rekent hij per nacht een prijs van € 4,50. Daarbovenop denkt hij nog zo’n € 2,50 per meter breedte te kunnen vragen.
Voor plaatsen van $4$ m breed kan hij dan € 14,50 per nacht rekenen. Er kunnen dan wel minder plaatsen op zijn nieuwe terrein. De vraag voor deze campingeigenaar is daarom: Hoe breed moet ik mijn kampeerplaatsen maken om zoveel mogelijk aan deze extra hectare grond te verdienen?

Los dat probleem voor hem op. Schrijf een volledige uitwerking op.

Noem een kampeerplaats $x$ bij $x$ meter. Voor elke plaats is dan $x^2+20$ m2 nodig. Omdat je over $1$ ha beschikt, kun je $10000/ (x^2+20)$ plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt: $2 ,50 x+4 ,50$
De totale opbrengst per nacht wordt: $TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+45000) / (x^2+20)$
Maximum (GeoGebra, Desmos, of GR) bepalen geeft $x≈3,02$ .
Een kampeerplaats wordt ongeveer $3$ m breed.

Je ziet hier een dwarsdoorsnede van een garage met een garagedeur (in figuur $PQ$ ). Bij het openen van de deur gaat de onderkant recht omhoog, terwijl de bovenkant langs het plafond horizontaal naar binnen gaat. Binnen in de garage moet dus voldoende ruimte zijn om te zorgen dat een auto niet beschadigd raakt door de naar binnen komende deur. De garagedeur is $2,50$ m hoog en je auto is $1,50$ m hoog. Hoe ver komt de deur op die hoogte van $1,50$ m maximaal naar binnen?

Bekijk het probleem in Toepassen.

Probeer eerst om (zonder naar het antwoord te kijken) zelf een oplossing te vinden.

Eigen antwoord.

Noem de afstand van $P$ tot het plafond $x$ en de afstand die de deur op een hoogte van $1,50$ m naar binnen komt $A$ , beide in m. Je kunt dan met behulp van gelijkvormige rechthoekige driehoeken afleiden:

$A=( (x-1) /x)sqrt(2,5^2-x^2)$

Probeer zelf de formule voor $A$ als functie van $x$ af te leiden.

Het blauwe streepjeslijntje is $A$ . Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $x-1$ en $A$ gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden $x$ en $sqrt(2,5^2-x^2)$ .
Daaruit volgt: $(x-1) /x= (A) / (sqrt(2,5^2-x^2))$ en hieruit kun je de gegeven formule afleiden.

Bereken voor welke $x$ de waarde van $A$ maximaal is.

Maak de grafiek van $A$ .
Je vindt een maximum bij $x ≈ 1,84$ .

Bekijk de figuur van een bewegende garagedeur. De hoogte van punt $A$ (de onderkant van de deur) boven de grond is in elke stand even groot als de lengte van $PB$ .

Bereken hoe ver de onderkant van de deur maximaal naar buiten komt. Geef je antwoord in meter. Rond af op twee decimalen.

ongeveer 0,85 m

Er geldt: $(a+x) ^2+ (2,5 -x) ^2=2,5^2$ (stelling van Pythagoras)

Herleid dit naar: $(a+x)^2=5x-x^2$ en $a=text(-)x+sqrt(5x-x^2)$ .

$a$ is maximaal als $x ≈ 1,38$ en dan is $a ≈ 0,85$ m.

Op rechthoekige vellen papier van $1$ m2 worden foto’s afgedrukt om posters te maken. Om de foto blijft een rand wit: aan de onderkant een strook van $2$ dm breedte, aan de andere drie randen stroken van $1$ dm breedte.
Bij welke afmetingen van de poster wordt de oppervlakte van het bedrukte deel zo groot mogelijk?

Maak een schets van de situatie met de gegevens er in.

Doen.

Los het geschetste probleem op.

De poster moet ongeveer $8,2$ bij $12,2$ dm worden.

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door $x$ dm. Leid een formule af voor de oppervlakte $A$ van het bedrukte deel als functie van $x$ .

$A(x)=(x-2 )(100/x-3 )$

$A(x)$ maximaliseren geeft $x≈8,2$ dm.

De poster moet ongeveer $8,2$ bij $12,2$ dm worden.

Iemand bouwt in zijn schuur een rechthoekige opbergbak met bodem en zonder deksel. De breedte van de bak moet $6$ dm worden, meer ruimte is er niet. De inhoud van de bak moet $1$ m3 worden. De diepte en de hoogte van de bak kunnen nog variëren.

Bij welke diepte en welke hoogte wordt de totale oppervlakte van de bak minimaal? (Dan zijn waarschijnlijk de materiaalkosten het laagst.) Geef je antwoord in cm nauwkeurig.

De diepte is dan ongeveer $18,3$ dm en de hoogte ongeveer $9,1$ dm.

Noem de diepte $d$ en de hoogte $h$ , beide in dm.
$1$ m3 = 1000 dm3, dus: $1000 =6 *d*h$ en dus $h=1000/ (6 d)$ .

Voor de totale oppervlakte $A$ in m2 geldt: $A=6 d+12 h+2 dh$
Substitutie van $h=1000/(6d)$ in de formule van $A$ geeft $A=6 d+2000/d+1000/3$ .

Bepaal het minimum met de grafische rekenmachine. Je vindt $d≈18,3$ dm. De bijbehorende waarde voor de hoogte is ongeveer $9,1$ dm.