modelleren toepassen bij onderzoeksopdrachten.

werken met wiskundige modellen in eenvoudige situaties;

de stappen herkennen die bij het construeren van een wiskundig model horen;

het stellen van goede vragen gebruiken om een model te construeren.

Het is nu de bedoeling dat je zelf wat complexere opdrachten aanpakt.
Dit worden onderzoeksopdrachten genoemd.
In dergelijke opdrachten wordt een situatie beschreven waarin de wiskunde je kan helpen bij het vinden van een geschikte oplossing. Welke wiskunde dat is en hoe die oplossing tot stand kan komen, moet je zelf onderzoeken. Denk daarbij aan de modelleercyclus en de lijst met mogelijke vragen om je te helpen.

Omdat het de bedoeling is dat je hier zelf onderzoek doet, vind je geen uitgebreide antwoorden bij deze opgaven!

Elektrisch rijden?

Het rijden in een auto kost geld. Je maakt kosten vanwege de brandstof of de elektriciteit, maar ook betaal je wegenbelasting, verzekering, en dergelijke. En tenslotte moet je de auto kopen en ook dat kost geld. Ga na wat voordeliger is: rijden op fossiele brandstoffen of rijden op elektriciteit.

Hier heb je enkele gegevens om mee te werken:

Smart fortwo op benzine:

benzine kost 1,60 per liter;

je rijdt gemiddeld $20$ km per liter benzine;

de jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer 2000,=;

de aanschafprijs is 15000,=.

Smart fortwo op elektriciteit:

elektriciteit kost 0,20 per kWh;

de maximale accucapaciteit is 17,6 kWh;

met de maximale accucapaciteit rijd je gemiddeld $140$ km;

de jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer 1200,=;

de aanschafprijs is 22000,=.

Maar het is natuurlijk leuker om met actuele gegevens te werken en je eigen type auto te kiezen!

Bereken van een bepaald merk auto wat voordeliger is: rijden op fossiele brandstoffen of rijden op elektriciteit.

Eigen antwoord.
Je zou nog verder kunnen gaan en proberen uit te rekenen welke van beide auto's de grootste ecologische voetafdruk heeft.

Kogelbaan

De kogelbaan is een model voor de baan die een in vacuüm (om luchtweerstand te kunnen verwaarlozen) onder een bepaalde hoek en met een bepaalde snelheid afgeschoten massapunt aflegt.
Noem de beginsnelheid $v_0$ en de hoek waaronder het massapunt wordt afgeschoten $α$ .

De snelheid in de $x$ -richting is $v_0 cos(α)$ .
De snelheid in de $y$ -richting is $v_0 sin(α)$ , maar daar telt ook de zwaartekracht nog mee.
Dus is:

$x=v_0 cos(α)*t$ en $y=v_0 sin(α)*t-1/2 g t^2$ .

Hierin is $g$ de gravitatieconstante: $g≈9,81$ m/s2.
Hiermee maak je een model in Excel: Model kogelbaan.
Laat zien dat bij de baan de formule $y= (sin(α)) / (cos(α)) *x-g/ (2 v_0 (cos) ^2(α)) *x^2$ hoort.
Kun je de gunstigste afschiethoek $α$ bepalen als je de kogel zo ver mogelijk van het afschietpunt weer op de grond wilt laten komen?

Zie ook deze simulatie van de kogelbaan.

Leid zelf de vergelijking van de baan van deze parabool af.

Substitueer $t = x/(v_0 cos(alpha))$ in $y=v_0 sin(α)*t-1/2 g t^2$ .

Druk het punt waar de kogel weer op de grond komt uit in $v_0$ , $α$ en $g$ .

$x$ is maximaal als $sin(α)cos(α)$ zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek ( $α$ in graden) voor $0 ≤ α ≤ 90$ . Bij $45^@$ vind je het maximum.

Bij welk waarde voor $α$ komt de kogel zo ver mogelijk? Druk de hoogte die de kogel dan haalt uit in $v_0$ en $g$ .

De bijbehorende grootste hoogte is $(v_0) / (4 g)$ .