de stelling van Pythagoras toepassen;

werken met verhoudingen, gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor om de lengtes van lijnstukken te berekenen.

vlakke figuren, met name driehoeken en vierhoeken en hun eigenschappen;

hoeken berekenen met behulp van X-hoeken, Z-hoeken, F-hoeken, de hoekensom van een driehoek en een vierhoek;

lijn-, punt- en draaisymmetrie herkennen en benoemen.

Van een rechthoekige driehoek weet je twee zijden: $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm.

Kun je deze driehoek nu construeren?

Nog niet, want je weet niet welke hoek recht is.

Neem aan dat van deze driehoek $/_ABC$ recht is.
Kun je de lengte van $AC$ bepalen? Zo ja, bepaal die lengte in mm nauwkeurig.

Je kunt de driehoek nu construeren en de lengte van $AC$ opmeten (of berekenen met de stelling van Pythagoras).
Je vindt: $AC ~~ 5,8$ cm.

Neem aan dat van deze driehoek $/_ACB$ recht is.
Is $AC$ langer of korter dan bij b?

Korter, nu is $AC = 4$ cm.

De driehoek die je bij b hebt getekend is een schaalmodel van een veel grotere rechthoekige driehoek met zijden van $50$ m en $30$ m. Hoe lang moet dan de derde zijde wel zijn?

$58$ m. Alle zijden worden $1000$ keer zo groot.

Je ziet hier een aantal rechthoeken.

Welke rechthoeken zijn gelijk? En welke rechthoeken zijn niet gelijk maar hebben dezelfde verhoudingen van lengte en breedte?

De rechthoeken I en V zijn gelijk.

De rechthoeken I en III zijn niet gelijk maar hebben gelijke verhoudingen, evenals de rechthoeken II en IV.

Elke rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden, dat zijn de benen van de rechte hoek. De langste zijde heet wel de hypothenusa.
De beroemde stelling van Pythagoras geeft als verband tussen deze zijden:

$(text(rechthoekzijde 1))^2 + (text(rechthoekzijde 2))^2 = (text(hypothenusa))^2$

Hier zie je hoe je de stelling van Pythagoras gebruikt om de lengte van de hypothenusa $AB$ te berekenen in de rechthoekige driehoek $ABC$ .

Deze stelling is zo belangrijk omdat elke veelhoek is te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken (rechthoekige driehoeken).

Bovendien geldt ook het omgekeerde: als in een driehoek de stelling van Pythagoras geldt, dan is de driehoek rechthoekig.

Bekijk de figuur in Uitleg nog eens. Bekijk vooral goed hoe je het werken met de stelling van Pythagoras opschrijft. In deze rechthoekige driehoek is de hypothenusa is steeds zijde $AB$ .

Neem $AC=6$ en $BC=4$ en bereken $AB$ . Laat de wortel in het antwoord staan.

$6^2+4^2=AB^2$ geeft $AB=sqrt(52 )$ .

Oefen dit (samen met een medeleerling) voor andere waarden van $AC$ en $BC$ .

Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen. Controleer je antwoord met de applet in de Uitleg.

Van een rechthoekige driehoek $PQR$ met $∠Q=90^@$ is $PQ=18$ mm en $QR=30$ mm. Neem als hypothenusa $PR$ .

Schets deze driehoek en schat de lengte van $PR$ oftewel zijde $q$ .

Schets de driehoek.

De lengte van $PR$ is dan ongeveer $35$ mm.

Bereken de lengte van $PR$ met behulp van de stelling van Pythagoras in twee decimalen nauwkeurig.

$PR=sqrt(1224 )≈34,99$ mm.

$18^2+30^2= (PR) ^2$ . Dit geeft $PR=sqrt(1224 )≈34,99$ mm.

Van een rechthoekige driehoek $PQR$ met $∠Q=90^@$ is $PQ=16$ mm en $PR=30$ mm.

Schets deze driehoek en schat de lengte van $QR$ .

De lengte van $QR$ is ongeveer $24$ mm.

Bereken de lengte van $QR$ in twee decimalen nauwkeurig.

$16^2+ (QR) ^2=30^2$ . Dit geeft $QR=sqrt(644 )≈23,38$ mm.

In deze driehoek geldt als stelling van Pythagoras:
$(PQ)^2+ (QR) ^2=(PR)^2$ .

$16^2+ (QR) ^2=30^2$ . Dit geeft $QR=sqrt(644 )≈23,38$ mm.

Van een driehoek is $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm en $BC = 8$ cm.

Is deze driehoek rechthoekig?

Controleer de stelling van Pythagoras, de langste zijde $BC$ zou dan de hypothenusa moeten zijn.

$AB^2 + AC^2 = BC^2$ geeft $6^2 + 5^2 = 8^2$ en $36 + 25 = 64$ en dat klopt niet. De driehoek is dus niet rechthoekig.

Controleer de stelling van Pythagoras, de langste zijde $BC$ zou dan de hypothenusa moeten zijn.

$AB^2 + AC^2 = BC^2$ geeft $6^2 + 5^2 = 8^2$ en $36 + 25 = 64$ en dat klopt niet. De driehoek is dus niet rechthoekig.

Als twee figuren gelijk zijn, zoals in het bovenste plaatje, dan betekent dit dat je als het ware beide figuren kunt uitknippen en precies over elkaar heen leggen. De overeenkomstige hoeken zijn dan even groot en de overeenkomstige zijden zijn even lang. Figuren die precies gelijk aan elkaar zijn noem je congruent. Hier zijn de driehoeken $A B C$ en $L M K$ congruent en dat schrijf je als $ΔABC ~= ΔLMK$ .

Maar er bestaan ook figuren die wel dezelfde vorm hebben, maar toch niet even groot zijn. De éne figuur is dan een vergroting (of verkleining) van de andere. Dit betekent dat wel alle hoeken van beide figuren even groot zijn, maar dat de zijden van de éne figuur met een vaste factor moeten worden vermenigvuldigd.
In het onderste plaatje zie je dat de lijnstukken $B C$ en $D E$ evenwijdig zijn. Dus zijn de hoeken bij $B$ en $D$ en die bij $C$ en $E$ even groot. De zijde $A D$ is tweemaal zo groot als $A B$ . Dit geldt ook voor $D E$ en $B C$ en voor $A E$ en $A C$ . De zijden van $Δ A D E$ zijn $2$ keer zo groot dan de overeenkomstige zijden van $Δ A B C$ . Je zegt nu dat de driehoeken $A B C$ en $A D E$ gelijkvormig zijn en dat schrijf je als $ΔABC ~ ΔADE$ . $Δ A D E$ is een vergroting van $Δ A B C$ met vergrotingsfactor $2$ .

In de Uitleg zie je wat het verschil is tussen gelijke (dus congruente) driehoeken en gelijkvormige driehoeken.

Bekijk eerst de bovenste figuur.

Waaraan zie je dat de overeenkomstige zijden van beide figuren gelijk zijn?

In zijden die gelijk zijn staat hetzelfde tekentje.

Je ziet dat er twee paren gelijke hoeken zijn in de bovenste figuur. Waarom is dan automatisch het derde paar hoeken ook gelijk?

Omdat dit driehoeken zijn. Daarin zijn de drie hoeken samen altijd $180^@$ .

Je ziet dat $ΔABC ~= ΔLMK$ . Waarom wordt bij de tweede driehoek de lettervolgorde zo gekozen?

De overeenkomstige hoeken staan dan op dezelfde plaats.

Bekijk nu de tweede figuur. Je ziet dat evenwijdige lijnstukken worden aangeduid door pijltjes in de lijnstukken.

Waarom weet je nu zeker dat $/_ABC = /_ADE$ ?

Het zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

Wordt er bij het opschrijven van de gelijkvormige driehoeken ook op de volgorde van de letters gelet?

Ja, ook nu worden de overeenkomstige hoeken op dezelfde plek gezet.

Hoeveel bedraagt de vergrotingsfactor als je $Δ A B C$ opvat als vergroting van $Δ A D E$ ?

$0,5$

Stel de vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A D E$ is $2,5$ . Zijn beide driehoeken dan nog steeds gelijkvormig?

Ja.

Het herkennen van gelijkvormige figuren of congruente figuren is vaak lastig.

Waarom zijn alle vierkanten gelijkvormig en/of congruent?

Omdat ze allemaal gelijke hoeken hebben en omdat alle zijden gelijk zijn. Vergelijk je dan twee willekeurige vierkanten met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. En verder als een zijde van het éne vierkant $k$ keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van het andere vierkant, dan geldt dit voor alle andere zijden ook.

Waarom zijn niet alle rechthoeken gelijkvormig en/of congruent?

Ze hebben wel allemaal gelijke hoeken, maar niet alle zijden zijn gelijk. Vergelijk je dan twee willekeurige rechthoeken met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. Maar als een zijde van de éne rechthoek $k$ keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van de andere rechthoek, dan hoeft dit voor alle andere zijden niet automatisch ook te gelden.

Zijn alle gelijkzijdige driehoeken gelijkvormig en/of congruent?

Ja, ze hebben allemaal gelijke hoeken hebben en alle zijden zijn gelijk.

Zijn alle gelijkbenige driehoeken gelijkvormig en/of congruent?

Nee, de hoeken en de zijden kunnen verschillen.

Waarom zijn alle congruente figuren ook gelijkvormig? Van welke vergrotingsfactor is er dan sprake?

Van congruente figuren zijn overeenkomstige hoeken gelijk en overeenkomstige zijden gelijk. Dus zijn ze gelijkvormig met vergrotingsfactor $1$ .

Hier zie je een vierhoek en een driehoek waarvan de lengtes van de zijden bekend zijn.

Teken de driehoek na. Moet je daarvoor nog een hoek opmeten?

Begin met $K L = 8$ cm en cirkel dan de andere twee lengtes met de passer om. De driehoek ligt vast als je alleen de zijden weet.

Leg uit hoe je de vierhoek kunt natekenen. Moet je nu extra metingen doen?

Dit kan op verschillende manieren, maar altijd moet je of een diagonaal opmeten of een hoek opmeten.

Bijvoorbeeld zo: Teken eerst $Δ A B D$ door de hoek bij $A$ op te meten en de twee zijden $A B$ en $A D$ op de benen van die hoek af te passen. Dan kun je vervolgens met de passer $Δ B C D$ er op zetten.

Leg uit hoe je een gelijkvormige vierhoek kunt tekenen met een vergrotingsfactor van $1,5$ .

Je werkt op dezelfde manier, maar alle zijden worden $1,5$ keer zo lang, terwijl de hoeken even groot blijven.

Twee figuren heten congruent als ze voor wat betreft hun vorm en hun afmetingen precies gelijk zijn. Dit betekent voor veelhoeken dat hun overeenkomstige hoeken gelijk zijn èn hun overeenkomstige zijden zijden gelijk zijn. Alleen voor driehoeken is het voldoende dat de drie overeenkomstige zijden gelijk zijn.

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een vergroting of verkleining van de andere is. Voor veelhoeken betekent dit dat de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden met eenzelfde vergrotingsfactor zijn vermenigvuldigd.

Bij gelijkvormige veelhoeken kun je een verhoudingstabel maken waarin de overeenkomstige zijden boven elkaar staan. Bij de gelijkvormige vierhoeken hiernaast hoort onderstaande verhoudingstabel.

$A B$ $4$ cm	$B C$ $3$ cm	$C D$ $2$ cm	$D A$ $2$ cm
$E F$ $6$ cm	$F G$ $4,5$ cm	$G H$ $3$ cm	$H E$ $3$ cm

De bijbehorende vergrotingsfactor is $1,5$ .

Verder geldt in rechthoekige driehoeken de stelling van Pythagoras:

$(text(rechthoekzijde 1))^2 + (text(rechthoekzijde 2))^2 = (text(hypothenusa))^2$

En omgekeerd is een driehoek rechthoekig als voor de lengtes van de zijden de stelling van Pythagoras geldt.

Iemand zet een ladder van $3,5$ m schuin tegen de muur van een huis. Hier zie je een zijaanzicht van de situatie. Het punt waar de ladder op de grond staat is $1$ m van de muur verwijderd. Hoe hoog komt de ladder?

Je gaat er van uit dat de muur loodrecht op de grond staat, dus dat $∆PQR$ een rechthoekige driehoek is met een rechte hoek bij $Q$ . De stelling van Pythagoras in $∆PQR$ is:

$PQ^2+QR^2=PR^2$

Je weet: $PQ=1$ m en $PR=3,5$ m.
Dan krijg je: $1^2+QR^2=3,5^2$ .
Dit geeft:
$QR^2=3,5^2-1^2=11,25$ .
En dus is:
$QR=sqrt(11,25 )≈3,35$ m.

Bekijk de figuur in Voorbeeld.

Zet de voet van de ladder op $1,5$ m van de muur. Hoe hoog komt hij nu? Geef het antwoord weer in twee decimalen nauwkeurig.

De ladder bereikt nu een hoogte van $QR=sqrt(10 )≈3,16$ m.

Nu krijg je: $1,5^2+QR^2=3,5^2$ .
Dit geeft: $QR^2=3,5^2-1,5^2=10$ .
En dus is: $QR=sqrt(10 )≈3,16$ m.

Je wilt dat de bovenkant van je ladder op $3$ m hoogte boven de grond tegen de muur komt. Hoeveel cm moet je de voet van de ladder van de muur zetten?

De voet van de ladder moet op $180$ cm van de muur staan.

Vul in dezelfde formule de waarden in die je kent:

Nu krijg je: $PQ^2+3^2=3,5^2$ .
Dit geeft: $PQ^2=3,5^2-3^2=3,25$ .
En dus is: $PQ=sqrt(3,25 )≈1,80$ m. De voet van de ladder moet op $180$ cm van de muur.

Je kunt met de applet in het Practicum alleen rechthoekige driehoeken maken.

Maak er één waarvan twee zijden een geheel getal zijn. Reken dan zelf de derde zijde uit in twee decimalen nauwkeurig. Herhaal dit tot je geen fouten meer maakt in de berekening.

Oefen dit goed!

Laat met een berekening zien welke van de onderstaande vierhoeken gelijkvormig zijn en welke niet.

Van alle drie de vierhoeken zijn de overeenkomstige hoeken gelijk. Het gaat dus om de overeenkomstige zijden. Die moeten een verhoudingstabel opleveren.

Vergelijk eerst bijvoorbeeld de vierhoeken $A B C D$ en $G H E F$ . (Je ziet dat de lettervolgorde van de tweede vierhoek zo is gekozen dat de letters bij de overeenkomstige hoeken in dezelfde volgorde staan als die van vierhoek $A B C D$ .)
Maak een tabel zoals deze waarin de overeenkomstige zijden boven elkaar staan.

$A B$ $4$ cm	$B C$ $3$ cm	$C D$ $2$ cm	$D A$ $2$ cm
$G H$ $5$ cm	$H E$ $3$ cm	$E F$ $3$ cm	$F G$ $2$ cm

Je ziet dat er geen vaste vergrotingsfactor vanuit de zijden van $A B C D$ waarmee je de overeenkomstige zijden van $G H E F$ krijgt. Deze tabel is geen verhoudingstabel. Dus deze twee vierhoeken zijn niet gelijkvormig.

Op dezelfde manier kun je de de vierhoeken $A B C D$ en $N K L M$ vergelijken.

Bekijk Voorbeeld.

Laat met behulp van een tabel zien dat de vierhoeken $A B C D$ en $N K L M$ wel gelijkvormig zijn.

In de tabel hieronder zie je dat elke zijde van $N K L M$ een lengte heeft die $1,5$ keer zo groot is als die van de overeenkomstige zijde van vierhoek $A B C D$ .

$A B$ $4$ cm	$B C$ $3$ cm	$C D$ $2$ cm	$D A$ $2$ cm
$N K$ $6$ cm	$K L$ $4,5$ cm	$L M$ $3$ cm	$M N$ $3$ cm

De vierhoek $P Q R S$ heeft zijden die allemaal precies $2$ keer zo groot zijn als de overeenkomstige zijden van vierhoek $A B C D$ . Zijn deze twee vierhoeken dus gelijkvormig?

Nee, dat hoeft niet. De overeenkomstige hoeken moeten ook gelijk zijn.

In de figuur hiernaast tref je een heleboel vierhoeken aan.

Hoeveel?

$9$

Waarom hebben de vierhoeken $A B C D$ en $A E F D$ wel gelijke hoeken, maar zijn ze toch niet gelijkvormig?

De hoeken bij $A$ en $D$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen $360^@$ zijn, moeten de hoeken $B C D$ en $B F D$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Zijde $A B$ wordt vergroot tot zijde $A E$ met factor $9 / 5 = 1,8$ . Maar zijde $A D$ wordt zijde $A D$ en dus helemaal niet vergroot. De overeenkomstige zijden worden niet allemaal met dezelfde factor vergroot en dus zijn de twee vierhoeken niet gelijkvormig.

Waarom zijn de vierhoeken $A B C D$ en $A E G I$ gelijkvormig?

De hoek bij $A$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. De hoeken bij $D$ en $I$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen $360^@$ zijn, moeten de hoeken $B C D$ en $E G I$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Maak een tabel met de overeenkomstige zijden boven elkaar.

$A B$ $5$	$B C$ $4$	$C D$ $2$	$D A$ $3$
$A E$ $9$	$E G$ $5,4$	$G I$ $3,6$	$I A$ $7,2$

Ga na dat voor alle paren overeenkomstige zijden met dezelfde factor $1,8$ worden vergroot.

De vierhoeken $A B C D$ en $P Q R S$ zijn gelijkvormig. Verder is $A B = 5$ , $B C = 6$ , $C D = 3$ , $A D = 4$ en $Q R = 8$ cm.

Bereken de lengte van $P Q$ . Werk bijvoorbeeld met een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden en bepaal de vergrotingsfactor.

Overeenkomstige zijden waarvan de lengtes bekend zijn, zijn $B C$ en $Q R$ . Dus de vergrotingsfactor van vierhoek $A B C D$ naar vierhoek $P Q R S$ is $8 / 6 = 1,25$ .

Dus is $P Q = 1,25 \cdot A B = 1,25 \cdot 5 = 6,25$ cm.

In deze figuur zijn $A B$ en $C D$ evenwijdig.

Bereken de lengte van $C D$ en die van $C E$ .

Omdat $/_A = /_CDE$ (F-hoeken) en $/_B = /_DCE$ (F-hoeken) is $Delta ABE ∼ Delta DCE$ .

Maak nu een verhoudingstabel voor de zijden en vul getallen of onbekenden in.

$A B$ $10$ cm	$B E$ $x + 3$ cm	$A E$ $12$ cm
$D C$ $y$ cm	$C E$ $x$ cm	$D E$ $8$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B E$ naar $Δ D C E$ is $8 / 12 = \frac{2}{3}$ .
$C D = \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{20}{3}$ .
Om $C E$ te berekenen gebruik je $x = \frac{2}{3} \cdot (x + 3)$ . Hieruit volgt $x = 6$ en dus $C E = 6$ .

Bekijk Voorbeeld. Je ziet hoe je in situaties waarin sprake is van evenwijdige lijnen gelijkvormige driehoeken kunt vinden en met behulp daarvan lengtes van lijnstukken berekenen.

Waarom is $Delta ABE ∼ Delta DCE$ ?

Omdat ze twee paar gelijke hoeken hebben, is ook het derde paar overeenkomstige hoeken gelijk.
Bij driehoeken is het genoeg als alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Leg uit waarom $D E = 8$ .

$D E = A E - A D = 12 - 4 = 8$ .

Laat zien, dat inderdaad $C E = 6$ .

Uit de tabel en de vergrotingsfactor volgt $x = \frac{2}{3} \cdot (x + 3)$ en dus $3 x = 2 (x + 3) = 2 x + 6$ en daaruit volgt $x = C E = 6$ .

In deze figuur is $A B / / D E$ . De gegeven lengtes zijn in cm.

Waarom is $ΔABC ∼ ΔADE$ ?

Omdat $/_A = /_A$ en $/_ABC = /_ADE$ (F-hoeken).

Bereken de lengte van $D E$ en van $A E$ .

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$A B$ $12$ cm	$B C$ $10$ cm	$A C$ $x + 5$ cm
$A D$ $5$ cm	$D E$ $y$ cm	$A E$ $x$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A D E$ is $5 / 12 = \frac{5}{12}$ .
$D E = \frac{5}{12} \cdot 10 = \frac{25}{6}$ cm.
$x = \frac{5}{12} \cdot (x + 5)$ geeft $12 x = 5 x + 25$ en dus $A E = x = \frac{25}{7}$ cm.

In deze figuur is $A B / / D E$ . De gegeven lengtes zijn in cm.

Vul aan $ΔABC ∼ ...$ en leg uit waarom deze driehoeken gelijkvormig zijn.

$ΔABC ∼ ΔAED$ omdat $/_BAC = /_EAD$ (X-hoeken) en $/_ABC = /_DEA$ (Z-hoeken).

Bereken de lengte van $D E$ en van $A C$ .

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$A B$ $10$ cm	$B C$ $9$ cm	$A C$ $x + 5$ cm
$A E$ $4$ cm	$E D$ $y$ cm	$D A$ $2,5$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A D E$ is $4 / 10 = 0,4$ .
$D E = 0,4 \cdot 9 = 3,6$ cm.
$A C = 2,5 / 0,4 = 6,25$ cm.

Bekijk de figuur.

Bereken de lengte van $A D$ in één decimaal nauwkeurig.

In rechthoekige driehoeken geldt ook de stelling van Pythagoras. Je kunt dus ook de lengte van $B C$ berekenen met $B C^{2} = 12^{2} + 8^{2}$ , dus $B C = \sqrt{12^{2} + 8^{2}} = \sqrt{208}$ .

In deze figuur zijn drie gelijkvormige driehoeken te vinden, namelijk $Δ A B C$ , $Δ D A C$ en $Δ D B A$ . Ga na dat van die driehoeken alle drie de paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Neem nu bijvoorbeeld de driehoeken $Δ A B C$ en $Δ D A C$ en maak een verhoudingstabel voor de zijden.

$A B$ $12$ cm	$B C$ $\sqrt{208}$ cm	$A C$ $8$ cm
$D A$ $x$ cm	$A C$ $8$ cm	$D C$ $y$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B E$ naar $Δ D A C$ is $8 / \sqrt{208}$ .
$A D = 8 / \sqrt{208} \cdot 12 \approx 6,7$ cm.

Bereken de lengte van $B D$ in één decimaal nauwkeurig. Doe dit een keer met behulp van de stelling van Pythagoras en ook een keer met behulp van gelijkvormigheid.

Omdat $A D = \frac{96}{\sqrt{208}}$ krijg je met de stelling van Pythagoras: ${(\frac{96}{\sqrt{208}})}^{2} + B D^{2} = 12^{2}$ en dus $B D = \sqrt{12^{2} - {(\frac{96}{\sqrt{208}})}^{2}} \approx 9,9$ .

Je kunt ook met behulp van de tabel uit a eerst de lengte van $D C$ berekenen en dan deze lengte aftrekken van de lengte van $B C$ . Ga na, dat je hetzelfde vindt.

Hier zie je vier figuren met rechthoekige driehoeken.

Bereken in elke figuur de exacte lengte van de zijde met het vraagteken.

$B C = sqrt( 11 ) ~~ 3,32$ .

$K L = sqrt( 36 ) = 6$ .

$D F = sqrt( 48,5 ) ~~ 6,96$ .

$TR = sqrt(16,96) ~~ 4,12$

$B C^2 + AC^2 = AB^2$
$B C^2 = 6^2 - 5^2 = 11$ , dus $B C = sqrt( 11 )$ .

$KL^2 + KM^2 = LM^2$
$K L^2 = 6,5^2 - 2,5^2 = 36$ , dus $K L = sqrt( 36 ) = 6$ .

$DE^2 + EF^2 = DF^2$
$D F^2 = 6,5^2 + 2,5^2 = 48,5$ , dus $D F = sqrt( 48,5 )$ .

Als eerste geldt $PQ^2 + QR^2 = PR^2$
$6^2 + 8^2 = PR^2$ , dus $PR = sqrt(100) = 10$
Er geldt ook dat $SR = PR - 6,4 = 3,6$
Vervolgens geldt: $S R^2 + TS^2 = TR^2$
$3,6^2 + 2^2 = TR^2$ , dus $TR = sqrt(16,96) ~~ 4,12$

Welke van deze driehoeken zijn rechthoekig? Welke hoek is dan recht?

Driehoek $A B C$ met $A B = 10$ , $B C = 7,5$ en $A C = 12,5$ .

$10^2 + 7,5^2 = 12,5^2$ , dus deze driehoek is rechthoekig met $∠ B$ als rechte hoek.

Driehoek $D E F$ met $D E = 2$ , $D F = 2$ en $E F = 3$ .

$2^2 + 2^2 ≠ 3^2$ , dus deze driehoek is niet rechthoekig.

Driehoek $G H I$ met $G H = 10$ , $G I = 26$ en $H I = 24$ .

$10^2 + 24^2 = 26^2$ , dus deze driehoek is rechthoekig met $∠ H$ als rechte hoek.

Driehoek $K L M$ met $K L = 5$ , $K M = 5$ en $L M = sqrt( 50 )$ .

$5^2 + 5^2 = 50$ , dus deze driehoek is rechthoekig met $∠ K$ als rechte hoek.

Een computer heeft een $17$ inch monitor. Dit betekent dat de diagonaal van het zuiver rechthoekige beeldscherm $17$ inch is. De hoogte van het beeld is dan $10$ inch. $1$ inch = $2,54$ cm.

Maak een schets van de situatie.

Bereken de afmetingen van het beeldscherm. Geef je antwoord in cm nauwkeurig.

Het beeldscherm heeft een lengte van $34,9$ en een hoogte van $25,4$ cm.

Om de lengte $l$ van het beeldscherm te berekenen kan je de volgende formule genruiken:
$l = sqrt(17^2 - 10^2)$
De lengte wordt dan $sqrt(17^2 - 10^2) = 13,75$ inch. Dit is gelijk aan $13,75*2,54 = 34,92$ cm.
Het beeldscherm heeft een hoogte van $10*2,54=25,4$ cm.

Het beeldscherm heeft een lengte van $34,9$ en een hoogte van $25,4$ cm.

Een rechthoek heeft zijden van $18$ cm en $30$ cm. Van een verkleining van die rechthoek is één van de zijden $6$ cm.

Welke afmetingen kan de verkleining hebben? Geef beide mogelijkheden.

De vergrotingsfactor kan $6 / 18 = \frac{1}{3}$ zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan $6$ bij $10$ cm.

De vergrotingsfactor kan $6 / 30 = \frac{1}{5}$ zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan $6$ bij $3,6$ cm.

$ΔKLM ∼ ΔABC$ . Verder is gegeven $A B = 7,4$ , $B C = 5$ , $K M = 2,8$ en $M L = 3,5$ .

Maak een schets van de situatie en bereken de twee zijden van deze driehoeken die je nog niet weet.

Maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden van beide driehoeken.

$A B$ $7,4$	$B C$ $5$	$A C$
$K L$	$L M$ $3,5$	$K M$ $2,8$

De vergrotingsfactor is van $Δ A B C$ naar $Δ K L M$ is $3,5 / 5 = 0,7$ . En dus is $K L = 0,7 \cdot 7,4 = 5,18$ en $A C = K L / 0,7 = 4$ .

Willem heeft een poster van $50$ bij $80$ cm. Hij heeft een lijst voor de poster van $60$ bij $100$ cm. Willem ontdekt dat de poster daar niet mooi inpast en wil de poster zo bijsnijden dat hij gelijkvormig is met de lijst.

Hoe moet hij de poster bijsnijden opdat er zo min mogelijk van verloren gaat?

Er zijn twee mogelijkheden:

De lengte van de poster zo houden. De breedte moet dan $\frac{80}{100} \cdot 60 = 48$ cm worden. De oppervlakte van de poster wordt dan $48 \cdot 80 = 3840$ cm2.

De breedte van de poster zo houden. De lengte moet dan $\frac{50}{60} \cdot 100 \approx 83,3$ cm worden. Dat kan echter niet, want de lengte is maar $80$ cm.

En dus kies je voor de eerste mogelijkheid.

Bekijk de figuur hiernaast. Alle afmetingen zijn in cm.

Licht toe waarom de driehoeken $D E C$ en $F E B$ gelijkvormig zijn.

$/_EDC = /_EFB$ (gegeven) en $/_DEC = /_FEB$ (X-hoeken).

Bereken de lengte van $E B$ .

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ D E C$ naar $Δ F E B$ is $3 / 10 = 0,3$ . Dus $E B = 0,3 \cdot 12 = 3,6$ cm.

Je wilt de lengte van $A B$ berekenen.

Welke gelijkvormige driehoeken gebruik je? Schrijf de gelijkvormigheid op de juiste wijze op.

Bijvoorbeeld $ΔABC ∼ ΔDEC$ . (Je kunt ook gebruik maken van $ΔABC ∼ ΔFEB$ .)

Bereken de lengte van $A B$ .

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ D E C$ naar $Δ A B C$ is $15,6 / 10 = 1,56$ . Dus $A B = 1,56 \cdot 10 = 15,6$ cm.

Bekijk de figuur hieronder.

Bereken $C E$ en $E D$ in één decimaal nauwkeurig.

Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat $B C = 13$ en $A D = \sqrt{160}$ .

Nu is $ΔAEC ∼ ΔDEB$ , want $/_ACE = /_DBE$ (Z-hoeken bij de evenwijdige lijnen $A C$ en $B D$ ) en $/_AEC = /_DEB$ (overstaande hoeken).

Maak een verhoudingstabel van de zijden.

$A E$ $x$	$E C$ $y$	$A C$ $5$
$D E$ $13 - x$	$E B$ $\sqrt{160} - y$	$D B$ $4$

De vergrotingsfactor van $Δ A E C$ naar $Δ D E B$ is $4 / 5 = 0,8$ .
Uit $0,8 x = 13 - x$ volgt $x = 13 / 1,8 \approx 7,2$ . En uit $0,8 y = \sqrt{160} - y$ volgt $y = \sqrt{160} / 1,8 \approx 7,1$ .
Dus $C E \approx 7,2$ en $E D \approx 5,5$ .

De hoogte van een boom kun je bepalen door de lengte van zijn schaduw te meten. Boris meet dat een boom een schaduw heeft van $25$ m. Hijzelf heeft een schaduw van $1,40$ m. Nu is Boris $1,80$ m lang.

Bereken de hoogte van de boom in m nauwkeurig.

Maak een schets, neem aan dat de boom een lijnstuk is dat verticaal op de grond staat en dat Boris dat ook is.

Bij Boris zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $1,40$ m en $1,80$ m. Bij de boom zit een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $25$ m en $h$ m. Hierin is $h$ de hoogte van de boom.

Hierbij hoort een verhoudingstabel:

$1,40$	$1,80$
$25$	$h$

De vergrotingsfactor van de driehoek bij Boris naar de driehoek bij de boom is $25 / 1,40 \approx 17,86$ .
Dus $h \approx 17,86 \cdot 1,80 \approx 32$ m.

Hier zie je een rechthoek met daarin een vierkant met een kleinere rechthoek ernaast. Is die kleinere rechthoek gelijkvormig met de grote rechthoek? Is het mogelijk om de rechthoek zo aan te passen dat dit het geval is?

Deze vraag leidt tot de bekende Gulden Snede. Dat is een al uit de Oudheid bekende manier om een lijnstuk zoals $A E$ in twee delen te verdelen.
De vergrotingsfactor van $A B$ naar $A E$ waarbij de rechthoeken gelijkvormig zijn is de Gulden Snede.

Hierboven wordt de vraag gesteld of het mogelijk is om een rechthoek te verdelen in een vierkant en een kleinere rechthoek die met de gegeven rechthoek gelijkvormig is.

Bekijk hoe in

Toepassen

de vraag wordt gesteld of het mogelijk is om een rechthoek te verdelen in een vierkant en een kleinere rechthoek die met de gegeven rechthoek gelijkvormig is.

Met de applet kun je de lengte van de rechthoek wat aanpassen.

Probeer met de applet te bepalen welke afmetingen de rechthoek $A E F D$ moet hebben om ervoor te zorgen dan hij gelijkvormig is met rechthoek $E F C B$ . Bepaal ook de vergrotingsfactor van $A B$ naar $A E$ , de Gulden Snede dus.

Bereken bij verschillende waarden van $p$ de verhoudingen $A E / E F$ en $E F / B E$ en zoek de waarde van $p$ waarvoor deze verhoudingen gelijk zijn.

Dat lukt het beste als $p \approx 2,47$ .
De afmetingen van rechthoek $A E F D$ zijn dan ongeveer $6,47$ bij $4$ .
De Gulden Snede is ongeveer $1,62$ .

Hier zie je drie figuren met rechthoekige driehoeken.

Bereken in elke figuur de lengte van de zijde met het vraagteken.

$B C = sqrt(6^2 - 4^2) = sqrt(20) ~~ 4,47$ .

$K M = sqrt(6^2 - 2,5^2) = sqrt(29,75) ~~ 5,45$ .

$D F = sqrt(6^2 + 2,5^2) = sqrt(42,25) = 6,5$ .

Iemand heeft een bijzonder tafelkleed gekocht en wil er speciaal een tafel voor laten maken. Het is een zuiver rond tafelkleed met een diameter van $2,40$ meter. De tafel moet zuiver vierkant worden.

Hoe groot mag de zijde van deze tafel maximaal zijn om volledig bedekt te worden door het kleed? Geef je antwoord in cm nauwkeurig.

De diameter van het tafelkleed moet minimaal $170$ cm zijn.

De diagonaal van de vierkante tafel mag een maximale lengte hebben die gelijk is aan de diameter van het tafelkleed.
De lengte $l$ en breedte $b$ van de tafel kan worden berekend in centimers met de stelling van Pythagoras. de waarden $l$ en $b$ zijn gelijk en kunnen worden vervangen door eenzelfde letter.

$d^2 = l^2 + b^2$

$240^2 = 2*x^2$ , dus $x = sqrt(28800) = 169,71$ cm

De diameter van het tafelkleed moet dus minimaal $169,71$ cm zijn. Afgerond op gehele centimeters is dat minimaal $170$ cm.

Gegeven is $Δ A B C$ met $A B = 12$ cm, $B C = 6$ cm en $A C = 7$ . Op zijde $A C$ ligt punt $D$ zo, dat $/_DBC = /_A$ .

Teken de driehoek met lijnstuk $B D$ er in. Welke twee gelijkvormige driehoeken zijn er? Leg uit waarom ze gelijkvormig zijn.

$ΔABC ∼ ΔBDC$ , want $/_C = /_C$ en $/_DBC = /_A$ (gegeven).

Punt $D$ verdeelt de zijde $A C$ in de twee stukken $A D$ en $D C$ . Bereken de lengte van die twee lijnstukken.

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ B D C$ is $6 / 7 = \frac{6}{7}$ . Dus $D C = \frac{6}{7} \cdot 6 = \frac{36}{7}$ en $A D = 7 - \frac{36}{7} = \frac{13}{7}$ cm.

In deze applet kun je de punten $A$ , $B$ en $C$ verplaatsen. Als je twee zijden van $∆ ABC$ een gehele waarde geeft, krijgt de derde zijde vaak geen gehele waarde.

Controleer de benadering van de lengte van die derde zijde met de stelling van Pythagoras.

Wanneer hebben alle drie de zijden een gehele lengte?