de omtrek en de oppervlakte van een cirkel berekenen;

de omtrek en de oppervlakte van een cirkelsector berekenen.

vlakke figuren, met name driehoeken en vierhoeken en hun eigenschappen;

lengtes van zijden in driehoeken berekenen met de stelling van Pythagoras en/of gelijkvormigheid;

de omtrek en de oppervlakte van veelhoeken berekenen;

werken met formules voor de oppervlakte van driehoeken en vierhoeken.

Gegeven is een driehoek $A B C$ . Van elke zijde is een middelloodlijn getekend. Deze middelloodlijnen lijken door één punt te gaan, hoe je de driehoek ook verandert.

Wat is een middelloodlijn eigenlijk precies?

Een middelloodlijn van een lijnstuk is lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat.

Het lijkt er op dat deze middelloodlijnen door één punt gaan. Ga na, dat dit het geval is ook als je de driehoek verandert.

Doen.

De getekende cirkel heet de omgeschreven cirkel van deze driehoek. Welk middelpunt heeft deze cirkel?

Het middelpunt is $M$ .

Een middelloodlijn van een lijnstuk is een lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat, dus de symmetrieas van dat lijnstuk.

Je ziet hier $Δ A B C$ met daarin de drie middelloodlijnen van de zijden getekend. Die drie lijnen gaan door één punt $M$ . Dit punt $M$ is het middelpunt te zijn van een cirkel door de drie hoekpunten van die driehoek. Deze cirkel heet de omgeschreven cirkel van de driehoek.

Er zijn nog meer bijzondere lijnen in een driehoek...

Bekijk in de Uitleg wat middelloodlijnen zijn.

Teken een (niet al te kleine) driehoek $A B C$ . Teken daarin de middelloodlijnen van elk van de drie zijden van de driehoek.

Doen, zie de uitleg.

Gaan de drie middelloodlijnen door één punt $D$ ?

Ja.

Je kunt een cirkel tekenen die precies om de driehoek past en $D$ als middelpunt heeft. Ga dat in je figuur na, dit is de omgeschreven cirkel van $Δ A B C$ .

Doen, zet de passerpunt in $D$ en de potloodpunt in bijvoorbeeld $A$ .
De andere twee hoekpunten moeten precies op de cirkel liggen.

De deellijn of bissectrice van een hoek is een lijn die deze hoek in twee gelijke delen verdeeld.

Teken een (niet al te kleine) driehoek $A B C$ . Teken daarin de deellijnen van elk van de drie hoeken van de driehoek.

Doen.

Gaan de drie deellijnen door één punt $D$ ?

Ja.

Je kunt een cirkel tekenen die precies binnen de driehoek past en $D$ als middelpunt heeft. Ga dat in je figuur na, dit is de ingeschreven cirkel van $Δ A B C$ .

Doen.

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn door een hoekpunt en het midden van de zijde tegenover dat hoekpunt.

Teken een (niet al te kleine) driehoek $A B C$ . Teken daarin de drie zwaartelijnen $C P$ , $A Q$ en $B R$ van de driehoek.

Doen.

Gaan de drie zwaartelijnen door één punt $Z$ ?

Ja.

In veel vlakke figuren kun je bijzondere lijnen tekenen. Je ziet hier in $Δ A B C$ :

de middelloodlijn van zijde $A B$ , dat is een lijn die deze zijde loodrecht middendoor deelt;

de deellijn of bissectrice van $/_C$ , dat is een lijn die deze hoek middendoor deelt;

de zwaartelijn vanuit punt $C$ , dat is een lijnstuk vanuit dit punt naar het midden van de overstaande zijde (de zijde tegenover punt $C$ );

de hoogtelijn vanuit punt $C$ , dat is een lijnstuk vanuit dit punt loodrecht op de overstaande zijde (de zijde tegenover punt $C$ ).

Dit zijn definities van deze bijzondere lijnen. Andere definities zijn:

de omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel door de drie hoekpunten;

de ingeschreven cirkel van een driehoek is de grootste cirkel die nog precies binnen de driehoek ligt.

De bijzondere lijnen van een driehoek hebben bepaalde eigenschappen. Je kunt uitspraken doen als De drie middelloodlijnen in een driehoek gaan door één punt en dat punt is het middelpunt van een cirkel door de drie hoekpunten van de driehoek.

Je ziet hier $Δ A B C$ met daarin de drie hoogtelijnen.

Ook die drie hoogtelijnen gaan door één punt, zelfs als twee hoogtelijnen niet binnen de driehoek vallen.

Bekijk de hoogtelijnen in Voorbeeld.

Teken zelf een driehoek met drie scherpe hoeken.

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 7$ cm en $B C = 6$ cm.

Teken in je driehoek de drie hoogtelijnen.

Doen, zie het voorbeeld.

Gaan de drie hoogtelijnen door één punt?

Ja, als het goed is wel.

Bekijk de hoogtelijnen in Voorbeeld.

Teken zelf een driehoek met één stompe hoek.

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 5$ cm en $B C = 4$ cm.

Teken in je driehoek de drie hoogtelijnen. Je moet daartoe twee zijden verlengen.

Doen, twee hoogtelijnen liggen buiten de driehoek.

Gaan de drie hoogtelijnen door één punt?

Ja, als je ze langer maakt.

In elke driehoek $A B C$ gaan de drie bissectrices door één punt.

Teken de ingeschreven cirkel van een $Δ A B C$ .

Teken de drie deellijnen door de hoeken op te meten en middendoor te delen. De drie bissectrices gaan door punt $D$ . Zet de stalen passerpunt in $D$ en de potloodpunt op een zijde in een punt dat zo dicht mogelijk bij $D$ ligt. Omcirkelen en klaar...

Je ziet hiernaast $Δ A B C$ waarin de drie zwaartelijnen zijn getekend. Deze lijnstukken verbinden een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Hun snijpunt is het zwaartepunt $Z$ van de driehoek. Een opvallende eigenschap van het zwaartepunt is dat dit punt de zwaartelijnen in twee stukken verdeeld die de verhouding $2 : 1$ hebben.

Laat dit zien met behulp van gelijkvormigheid.

Teken lijnstuk $E F$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $A B C$ en $F E C$ volgt $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
En daarom is $ΔABZ ∼ ΔEFZ$ . De overeenkomstige zijden vormen dus een verhoudingstabel:

$A B$	$B Z$	$A Z$
$E F$	$F Z$	$E Z$

De vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ bedraagt $\frac{1}{2}$ , dus $E Z = \frac{1}{2} \cdot A Z$ en $F Z = \frac{1}{2} \cdot B Z$ . En dus is $A Z : E Z = B Z : F Z = 2 : 1$ .

Bekijk Voorbeeld.

Teken zelf $Δ A B C$ met de zwaartelijnen $A E$ en $B F$ en teken lijnstuk $E F$ .
Waarom zijn de driehoeken $A B C$ en $F E C$ gelijkvormig?

Omdat ze $/_C$ gemeenschappelijk hebben en $C F = \frac{1}{2} \cdot C A$ en $C E = \frac{1}{2} \cdot C B$ .

Leg uit, dat dit betekent dat $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ F E C$ bedraagt $\frac{1}{2}$ . Dus is $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat $/_BAC = /_EFC$ , dus $E F / / A B$ .

Leg uit, dat uit het voorgaande volgt dat $ΔABZ ∼ ΔEFZ$ .

Omdat $E F / / A B$ is $/_BAZ = /_FEZ$ , $/_ABZ = /_EFZ$ (Z-hoeken). En verder is $/_AZB = /_EZF$ (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

Hoe kom je aan de vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ ?

Die volgt uit $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ , zie b.

De stelling dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in stukken die zich verhouden als $2 : 1$ kun je gebruiken bij meetkundige berekeningen.

Van een gelijkbenige driehoek $A B C$ is $A B = A C = 6$ en $B C = 4$ cm. De drie zwaartelijnen snijden elkaar in punt $Z$ .
Bereken de lengte van lijnstuk $A Z$ .

Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je $A E$ , $B F$ en $C D$ .

Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn $A E$ ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: $A E^{2} + 2^{2} = 6^{2}$ . Daarom is $A E = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .
Omdat $A Z : Z E = 2 : 1$ is $A Z = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{2} = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ .

Teken een gelijkbenige driehoek $A B C$ met $A B = A C$ .

Teken de hoogtelijn $A D$ .

Eigen antwoord. Zorg er voor dat $A D$ loodrecht op $B C$ staat.

Welke twee congruente driehoeken vind je nu in je figuur?

$ΔABD ~= ΔACD$

Waarom volgt uit die congruentie dat $A D$ ook deellijn van $/_A$ is? En ook dat $A D$ ook zwaartelijn en middelloodlijn is?

Uit de congruentie volgt dat $/_BAD = /_CAD$ en dat $B D = D C$ . Punt $D$ is dus het midden van zijde $B C$ .

Je ziet hier een gelijkbenige driehoek $P Q R$ met de hoogtelijnen $P T$ en $Q S$ . Verder is $P Q = 4$ en $P R = Q R = 8$ cm.

Teken deze driehoek en teken er de derde hoogtelijn $R U$ bij in.

Doen.

Waarom is $ΔPQS ∼ ΔPRU$ ?

Omdat $/_P = /_P$ en $/_S = /_U = 90^@$ .

Bereken de lengte van alle drie de hoogtelijnen.

Met de stelling van Pythagoras is $R U^{2} + 2^{2} = 8^{2}$ en dus $R U = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}$ .

Vanwege de gelijkvormigheid (maak een verhoudingstabel) bij b is $Q S = \frac{1}{2} \cdot R U = \sqrt{15}$ . En de hoogtelijn $P T$ is even lang.

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek $A B C$ met zijden van $6$ cm.

Teken van deze driehoek zowel de omgeschreven cirkel als de ingeschreven cirkel en bereken van beide de straal.

Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen en hoogtelijnen. Het snijpunt $M$ van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.

Bij de hoogtelijnen hoort een hoogte van $sqrt(6^2 - 3^2) = sqrt(27)$ .

De straal van de omgeschreven cirkel is de lengte van (bijvoorbeeld) $MC$ .
Elke middelloodlijn is ook zwaartelijn en wordt daarom door $M$ verdeeld in de verhouding $2:1$ . Dus $MC = 2/3 * sqrt(27) = 2sqrt(3)$ .

De straal van de ingeschreven cirkel is dan $1/3 * sqrt(27) = sqrt(3)$ .

In een rechthoekige driehoek $P Q R$ is $/_Q = 90^@$ , $P Q = 24$ . Verder is de zwaartelijn $P T = 26$ cm. De zwaartelijnen $P T$ en $R U$ snijden elkaar in $Z$ .

Maak een schets van de situatie.

Doen, teken de zwaartelijnen er in.

Bereken de lengte van $Q R$ en $U R$ .

Omdat $Δ P Q T$ rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus $Q T = 5$ cm. Dat betekent dat $Q R = 10$ cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan $R U = \sqrt{244}$ .

Bereken de lengte van lijnstuk $U Z$ .

Omdat $R Z : R U = 2 : 1$ is $R U = \frac{1}{3} \sqrt{244}$ .

Van dit bord van Delft’s Blauw zijn vier scherven overgebleven. Je kunt zien dat het een rond bord was.

Formuleer een manier om de cirkel die het bord beschreef te reconstrueren.

Neem drie punten op de rand van het ronde bord. Teken twee middelloodlijnen van twee van die punten en bepaal het snijpunt daarvan. De cirkel met dat snijpunt als middelpunt en door één van de drie punten gaat door alle drie deze punten en vormt de rand van het bord.

Het woord zwaartelijn heeft alles te maken met de zwaartekracht. Neem maar eens een hele grote driehoek en een touwtje met een gewicht er aan. Houd die driehoek en het touwtje in één punt van die driehoek losjes vast. De zwaartekracht laat dan het touwtje loodrecht naar beneden hangen. Dit touwtje verdeelt de driehoek in twee even zware delen, dus (als de driehoek overal even dik is) in twee delen met dezelfde oppervlakte. Je kunt op de driehoek een lijn tekenen die precies onder het touwtje ligt, dat is een zwaartelijn van de driehoek.

Doe dit met de drie hoekpunten van de driehoek en je hebt de drie zwaartelijnen. Het zwaartepunt is het snijpunt van de zwaartelijnen, als je je driehoek daaraan ophangt, hangt hij in evenwicht. Zo kun je een mobile maken van driehoeken...

Hierboven wordt verteld dat de zwaartelijnen van een driehoek met de zwaartekracht samenhangen.

Voer zelf dit experiment uit. Het leukst is dit met een willekeurige driehoek die niet te klein en te licht is.

Doen, teken de drie zwaartelijnen. Als het goed is gaan ze ook nu door één punt.

Markeer het zwaartepunt van de driehoek. Laat zien dat als je de driehoek in evenwicht blijft als je in het zwaartepunt ophangt.

Doen, hopelijk lukt het allemaal. Je kunt aan alle drie de punten van de driehoek weer andere (even zware) kleinere driehoeken ophangen en zo een mobile maken.

Een zwaartelijn verdeelt een driehoek in twee delen met dezelfde oppervlakte. Bekijk de figuur hiernaast. $C D$ is een zwaartelijn en $C E$ een hoogtelijn in $Δ A B C$ .

Hoe bereken je ook weer de oppervlakte van een driehoek?

De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. De oppervlakte van $Δ A B C$ is dus $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C E$ .

Laat nu zien dat de oppervlaktes van $Δ A D C$ en $Δ D B C$ even groot zijn.

De oppervlakte van $Δ A D C$ is $\frac{1}{2} \cdot A D \cdot C E$ .

De oppervlakte van $Δ D B C$ is $\frac{1}{2} \cdot D B \cdot C E$ .

Omdat $C D$ een zwaartelijn is, is $A D = D B$ . En dus zijn deze oppervlaktes gelijk.

Leg uit waarom de drie zwaartelijnen een driehoek in zes delen met dezelfde oppervlakte verdelen.

Steeds kun je op elke zijde twee driehoeken naast elkaar maken met dezelfde basis (de helft van die zijde) en dezelfde hoogte (de afstand van $Z$ tot die zijde).

Van een rechthoekige driehoek $ABC$ is $/_A = 90^@$ , $AB = 10$ cm en $AC = 5$ cm.

Teken deze driehoek met zijn omgeschreven cirkel.

Teken de middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ en je vindt het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Waarom is bij elke rechthoekige driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel het midden van de langste zijde (hypothenusa)?

Omdat de middelloodlijnen van de twee rechthoekszijden door dat punt gaan, evenals de middelloodlijn van de hypothenusa.

Bereken de lengte van de straal van de omgeschreven cirkel van $Delta ABC$

$1/2 sqrt(125) = 1 1/2 sqrt(5)$

$BC = sqrt(10^2 + 5^2) = sqrt(125)$ en de helft daarvan is $1/2 sqrt(125) = 1 1/2 sqrt(5)$ .

Gegeven is een driehoek met zijden van $8$ , $5$ en $4$ cm.

Teken het zwaartepunt van deze driehoek.

Teken de drie zwaartelijnen. Hun snijpunt is het gevraagde punt.

Teken het hoogtepunt van deze driehoek, dus het snijpunt van de drie hoogtelijnen.

Teken de drie hoogtelijnen, twee daarvan vallen buiten de driehoek. Hun snijpunt is het gevraagde punt.