In dit onderwerp is het werken met vlakke figuren, gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras, oppervlakteformules, soorten bijzondere lijnen in een driehoek voorbij gekomen.

Je hebt nu alle theorie van Vlakke figuren doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

veelhoekgelijkbenige, gelijkzijdige, rechthoekige driehoekvierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, vlieger, trapezium

gelijkvormigcongruentstelling van Pythagoras

omtrekoppervlakteoppervlakteformule

omtrek en oppervlakte cirkelpi

hoogtelijn, zwaartelijn, bissectrice, middelloodlijn ingeschreven en omgeschreven cirkel

soorten driehoeken herkennen en construerensoorten vierhoeken herkennen en construeren;

gelijkvormige figuren herkennenberekeningen uitvoeren met behulp van gelijkvormigheid en de stelling van Pythagoras;

omtrek en oppervlakte van een veelhoek bepalenwerken met oppervlakteformules van driehoeken en vierhoekenvergrotingsfactor bij oppervlakte gebruiken;

de omtrek en de oppervlakte van een cirkel(sector) berekenen;

hoogtelijnen, zwaartelijnen, bissectrices, middelloodlijnen in een driehoek tekeneningeschreven en omgeschreven cirkel van een driehoek construeren.

Je ziet een parallellogram, een trapezium en een driehoek. Alle afmetingen zijn in cm.

Bereken de omtrek en de oppervlakte van dit parallellogram.

Omtrek: $13 + 11 + 13 + 11 = 48$ cm.
Oppervlakte: $13*10 = 130$ cm2

Bereken de oppervlakte van trapezium $K L M N$ .

$24,75$

oppervlakte (trapezium) $=1/2(a+b)*h=1/2 * ( 8 + 3 ) * 4,5 = 24,75$

Bereken de oppervlakte van $DeltaABC$ .

$28$

oppervlakte (driehoek) $=1/2*b*h=1/2 * 8 * 7 = 28$

Bekijk de figuur. Elk roosterhokje is $5$ mm bij $5$ mm.

Teken zelf deze figuur op zo'n rooster en bereken de omtrek van deze figuur exact en in millimeters nauwkeurig.

De omtrek is $3 + sqrt(3^2+2^2) + sqrt(2^2+1^2) + 4 + sqrt(4^2+1^2) = 7 + sqrt(5) + sqrt(13) + sqrt(17)$ roosterhokjes.
Dat is ongeveer $84,8 ~~ 85$ mm.

Bereken de oppervlakte van deze figuur in cm2.

Zet er eerst een rechthoek omheen van $6$ bij $4$ hokjes. Trek hier de oppervlakte van $3$ rechthoekige driehoeken van af:

oppervlakte (figuur) $= 6 * 4 - 1/2 * 1 * 4 - 1/2 * 1 * 2 - 1/2 * 3 * 2=18$ roostereenheden

$18$ roostereenheden $= 18*0,5^2=4,5$ cm2

Deze twee figuren bestaan uit kwart cirkels, halve cirkels en evenwijdige lijnstukken.

Bereken de omtrek van figuur a in centimeters. Rond af op één decimaal nauwkeurig.

$12,6$ cm

$π * 4 ≈ 12,6$ cm (vier kwartcirkels maken een hele cirkel)

Bereken de omtrek van figuur b in centimeters. Rond af op één decimaal nauwkeurig.

$16,6$ cm

$2 * 2 + π * 2 + 1/2 * π * 4 ≈ 16,6$ cm
Twee lijnstukken plus twee halve, kleine cirkels (dus een hele) plus een halve, grotere cirkel.

Bereken de oppervlakte van figuur a in cm2. Rond af op één decimaal nauwkeurig.

$3,4$ cm2

$4 * 4 - π * 2^2 ≈ 3,4$ cm2
Zet er een vierkant omheen en trek daar vier kwartcirkels, dus een hele cirkel, van af.

Bereken de oppervlakte van figuur b in cm2. Rond af op één decimaal nauwkeurig.

$17,4$ cm2

$4 * 2 + π * 1^2 + 1/2 * π * 2^2 ≈ 17,4$ cm2
Een rechthoek plus twee halve, kleine cirkels (dus een hele) plus een halve, grotere cirkel.

Van een cirkel is de diameter $12$ m.

Bereken de omtrek en van deze cirkel in hele cm.

De omtrek is $π * 12 ≈ 37,70$ m $=3770$ cm.

Bereken de oppervlakte van deze cirkel in cm2 nauwkeurig.

De oppervlakte is $π * 6^2 ≈ 113,0973$ m2 $=1130973$ cm2.

Van een andere cirkel is de oppervlakte $100$ m2.

Bereken de omtrek van die cirkel in hele cm.

$π * r^2 = 100$ geeft: $r ^2= 100/π$ , dus $r = sqrt( 100/π )$ en dus is de omtrek $2 π r = 2 π sqrt( 100/π ) ≈ 35,45$ m $=3545$ cm.

Van een cirkelsector met een straal van $7$ cm is de omtrek $28$ cm.

Wat is de oppervlakte van die cirkelsector in gehele cm2?

omtrek (cirkelsector) $=2r+ text(graden)/360*π*d$ . Alle bekende waarden invullen:

$28=2*7+ text(graden)/360*π*14$ , dit geeft: $28=14+ text(graden)/360*π*14$ . Nu geldt:

$text(graden)/360*π*14=14$ , dus: $text(graden)/360*π=1$ , en dit levert: graden $=360/π ~~ 114,6$ °.
oppervlakte (cirkelsector) $=text(graden)/360 * π * r^2 = (360/π)/360*π*7^2=49$ cm2

omtrek (cirkelsector) $=2r+ text(graden)/360*π*d$ . Alle bekende waarden invullen:

$28=2*7+ text(graden)/360*π*14$ , dit geeft: $28=14+ text(graden)/360*π*14$ . Nu geldt:

$text(graden)/360*π*14=14$ , dus: $text(graden)/360*π=1$ , en dit levert: graden $=360/π ~~ 114,6$ °.
oppervlakte (cirkelsector) $=text(graden)/360 * π * r^2 = (360/π)/360*π*7^2=49$ cm2

Je ziet hier hoe drie evenwijdige lijnen worden gesneden door twee andere lijnen. Zo ontstaan de trapezia $A D E B$ , $B E F C$ en $A D F C$ .

Waarom zijn deze trapezia niet zonder meer gelijkvormig?

Hoewel de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, hoeven de overeenkomstige zijden nog niet in een verhoudingstabel te passen.

Je wilt de lengte van $A B$ berekenen.

Waarom is het verstandig om dat een lijn door $F$ te tekenen die evenwijdig is met lijn $A C$ ?

Omdat je nu gelijkvormige driehoeken krijgt. Voor gelijkvormigheid van driehoeken is het immers genoeg dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Bereken de lengte van $A B$ .

Teken (in gedachten) de lijn evenwijdig $A C$ en door $F$ . Het snijpunt met $A D$ noem je bijvoorbeeld $P$ en dat met $B E$ is $Q$ : $P Q = A B$ .

Nu is $ΔPDF ∼ ΔQEF$ met vergrotingsfactor $\frac{3}{15}$ . Dus $2 = \frac{3}{15} (P Q + 2)$ zodat $P Q = 8$ en dus ook $A B = 8$ .

$A B C D$ is een rechthoek en $F I / / A B$ .

Bereken de lengte van $B H$ .

Met de stelling van Pythagoras vind je $B E = 100$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $B H = \frac{40}{60} \cdot 100 = \frac{200}{3}$ .

Bereken de lengte van $A G$ .

Ga na, dat $E D = 110 - 80 = 30$ en $A F = 40$ en $F D = 20$ .
Met de stelling van Pythagoras vind je $A E = \sqrt{4500} = 30 \sqrt{5}$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $A G = \frac{40}{60} \cdot 30 \sqrt{5} = 80 \sqrt{5}$ .

Je ziet hier een rechthoekige driehoek $A B C$ met daarin hoogtelijn $A D$ .

Bereken de lengte van $A D$ .

$ΔABD ∼ ΔCAD$ . Stel $A D = h$ , dan volgt uit de verhoudingstabel $\frac{h}{3} = \frac{8}{h}$ en dus $h^{2} = 24$ .

Dit geeft $h = \sqrt{24}$ .

Je ziet hier een Jacobsstaf, een oud instrument om de hoogte of de breedte van een bouwwerk te bepalen, maar ook de hoek van de zon ten opzichte van de horizon. Hiermee op zee de breedtegraad vaststellen waarop je je bevindt. De Jakobsstaf is de voorloper van de sextant.

Hij bestaat uit een lat met daarop een schaalverdeling die je vlak onder je oog kon houden. Loodrecht daarop kun je een andere lat (soms meerdere latten) verschuiven. Je houdt de schaalverdeling horizontaal en kijkt langs de bovenkant van die loodrechte lat. Je verschuift hem tot je het hoogste punt van het bouwwerk nog precies ziet. Nu kun je op de schaalverdeling de horizontale afstand tot je oog aflezen.

Hoogte meten met de Jacobsstaf

Je kunt hierboven nalezen wat een Jacobsstaf is.

Stel je voor dat je met zo'n Jacobsstaf de hoogte wilt bepalen van een kerktoren. Je gaat dan ongeveer $100$ m van die toren af staan en houdt de Jacobsstaf op ooghoogte horizontaal tegen je gezicht. Je verschuift de verticale lat totdat je langs de bovenkant nog net de torenspits kunt zien. Je ziet in de figuur dat die verticale lat $30$ cm boven de horizontale lat uitsteekt.

Maak een schets van de situatie.

Doen.

Je leest op de schaalverdeling af dat de verticale lat bij $65$ cm staat. Bereken nu de hoogte van de toren als jouw ooghoogte $1,70$ m boven de grond is.

$\frac{100}{0,65} \cdot 0,30 + 1,70 \approx 47,9$ m.

Hoogte van een boom

Marisa berekent de hoogte van een boom met behulp van een meetlat met een lengte van $30$ cm. Ze houdt de meetlat verticaal en zo, dat de onderkant ervan op ooghoogte zit. Kijkt ze nu precies langs de bovenkant dan ziet ze de top van de boom. Haar vriend Peter meet na dat de onderkant van de meetlat $60$ cm voor haar oog zit en $1,65$ m boven de begane grond. Verder staat Marisa $10$ m van de boom af.

Bereken de hoogte van de boom in dm nauwkeurig.

$\frac{10}{0,60} \cdot 0,30 + 1,65 = 6,65$ , dus ongeveer $6,7$ m.