het begrip vector;
werken met goniometrie bij hoeken die groter zijn dan ;
vectoren ontbinden in twee componenten met behulp van goniometrie.
werken met gelijkvormigheid van driehoeken;
de stelling van Pythagoras toepassen;
goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens toepassen.
De koers van een vliegtuig is de hoek die zijn vliegrichting maakt met het noorden. Zo’n hoek wordt rechtsom (met de wijzers van de klok mee) gemeten. De verplaatsing van het vliegtuig heeft een richtingshoek (de koers) en een lengte (de afstand). Hij is op te splitsen in een Noordelijke component en een Oostelijke component.
Stel je voor dat de verplaatsing km bedraagt en de richtingshoek is.
Bereken de Noordelijke component en de Oostelijke component met behulp van sinus en/of cosinus.
Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus.
Noordelijke component km.
Oostelijke component km.
Bereken ook de Noordelijke component bij een richtingshoek van . Waarom is hij negatief?
Die is . Hij is negatief omdat de Noordelijke richting positief is gekozen.
Bij welke richtingshoeken zijn beide componenten negatief?
Bij hoeken tussen en .
Wanneer zowel grootte als richting een rol speelt, gebruik je een vector. Bijvoorbeeld om de verplaatsing van een vliegtuig weer te geven. De lengte van de verplaatsingsvector is de afstand in km, de richting is de richtingshoek ten opzichte van het noorden. Voor de verplaatsingsvector geldt:
is de hoek met het noorden;
is de afstand in km.
Zo'n vector heeft twee componenten: een noordelijke component en een oostelijke component. Deze twee componenten kun je bepalen door de vector te ontbinden in de twee richtingen (noord en oost):
de noordelijke component is
de oostelijke component is
Die componenten kunnen ook negatief zijn, afhankelijk van hun richting. De noordelijke component is negatief als hij naar het zuiden wijst. De oostelijke component is negatief als hij naar het westen wijst.
Het punt waar de vector begint, heet het aangrijpingspunt. Als er meerdere vliegtuigen op verschillende plaatsen vertrekken, zijn de aangrijpingspunten verschillend. Toch kunnen de verplaatsingsvectoren wel gelijk zijn.
Je ziet vier keer een verplaatsingsvector getekend. Ga er van uit dat elke verplaatsingsvector een lengte heeft van km. Bereken bij elke situatie de lengtes van de noordelijke component en de oostelijke component. Geef met behulp van mintekens de richting aan. Rond indien nodig af op één decimaal.
a
b
c
d
Je vindt ongeveer:
a: en
b: en
c: en
d: en
Van een verplaatsingsvector zijn de componenten gegeven. Bereken de lengte van deze vector en maak er eventueel een tekening van. Bereken ook de grootte van de bijbehorende richtingshoek (met behulp van de tangens).
noordelijke component: km, oostelijke component: km
lengte km en geeft .
lengte km en geeft .
noordelijke component: km, oostelijke component: km
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte en geeft en .
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte en geeft en .
noordelijke component: km, oostelijke component: km
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte km en geeft en .
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte km en geeft en .
noordelijke component: km, oostelijke component: km
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte km en geeft en .
Je ziet dat de richtingshoek nu tussen en ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek uit.
lengte km en geeft en .
noordelijke component: km, oostelijke component: km
lengte km en
lengte km en
noordelijke component: km, oostelijke component: km
lengte km en
lengte km en
Een
de
de
In deze figuur is de hoofdrichting de positieve -as en wordt de
richtingshoek linksom (tegen de wijzers van de klok in) gemeten. De vector kun je dan
beschrijven door aan te geven hoe groot de -
De lengte van deze vector is .
De richtingshoek kun je vanuit de componenten berekenen: .
Hierbij gebruik je geen mintekens, maar let je goed op welke hoek je precies berekent.
De getekende vector heeft de oorsprong als
In de wiskunde zijn twee vectoren gelijk als hun lengtes en hun richtingshoeken
gelijk zijn.
De vector die van de oorsprong naar punt wijst, schrijf je als .
Een piloot vertrekt met zijn sportvliegtuig van vliegveld en vliegt uur met een constante snelheid van km/h en een koers ten opzichte van het noorden. Daarna verandert hij zijn koers in en de snelheid in km/h. Na uur moet hij een noodlanding maken. Over de radio geeft hij aan de verkeersleiding van vliegveld door waar hij is geland en dat hij gewond is geraakt. Er wordt een helikopter gestuurd.
Bereken de koershoek van de helikopter en de te vliegen afstand.
De plaats waar de piloot van koers veranderde is en de plaats waar de noodlanding plaatsvond is .
De noordelijke component
van is
km en de oostelijke component is
km.
De noordelijke component van is en de oostelijke component is .
De noordelijke component van vector is ongeveer en de oostelijke component is ongeveer
De helicopter moet dus ongeveer km naar het noorden en km naar het oosten.
Dat betekent voor de koershoek dat , zodat .
En voor de te vliegen afstand dat
km.
Je ziet in
Teken zelf de beschreven situatie op schaal .
Controleer de gevonden antwoorden door meting.
Maak een figuur zoals die in het voorbeeld.
De lengte van wordt cm en die van wordt cm.
Als het goed is vind je voor de berekende koershoek en de juiste lengte (na vermenigvuldigen met ).
Een piloot vertrekt met zijn vliegtuig van vliegveld en vliegt uur met een constante snelheid van km/h en een koers ten opzichte van het noorden. Daarna verandert hij zijn koers in en de snelheid in km/h. Na uur is hij op zijn bestemming, vliegveld .
Bereken de ligging van vliegveld ten opzichte van vliegveld .
De plaats waar de piloot van koers veranderde is en de plaats van aankomst is .
De noordelijke component van is km en de oostelijke component is km.
De noordelijke component van is en de oostelijke component is .
De noordelijke component van vector is ongeveer en de oostelijke component is ongeveer km.
Vliegveld ligt ten opzichte van dus ongeveer km naar het zuiden en km naar het oosten.
Dezelfde piloot vliegt later rechtstreeks terug van naar .
Welke koers moet hij dan aanhouden en hoeveel km moet hij vliegen?
De piloot moet km naar het noorden en km naar het oosten.
Dat betekent voor de koershoek dat , zodat .
En voor de te vliegen afstand dat km.
Je ziet hier twee krachten en die beide in punt aangrijpen.
De krachten in N (newton) en de hoeken die de krachten maken met de positieve -as zijn gegeven.
Bereken de resulterende kracht . (Geef het aantal N en de bijbehorende hoek.)
Je kunt hierbij gebruik maken van de
horizontale - en de verticale
-componenten van beide krachten.
Er geldt:
N.
N.
Dus: N.
N.
N.
Dus: N.
Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht en de grootte van de hoek berekenen:
N.
Uit volgt voor de hoek van de resultante met de positieve -as.
Bekijk het voorbeeld van het berekenen van een resulterende kracht. Alle hoeken zijn ten opzichte van de positieve -as en alle krachten hebben als aangrijpingspunt.
Neem de krachten van N en een hoek van en van N en een hoek van .
Bereken de grootte van de resultante.
Nu is:
N.
N.
Dus: N.
N.
N.
Dus: N.
Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht berekenen:
N.
De resultante die je bij a hebt gevonden heeft een negatieve - en een positieve -component.
De draaihoek ligt daarom tussen en .
Bij het berekenen van die hoek kun je dan beter werken met omdat je dan niet met mintekens hoeft te rekenen.
Bereken de grootte van de hoek die de resultante met de positieve -as maakt.
Uit volgt voor de hoek van de resultante met de positieve -as.
Neem de krachten van N en een hoek van en van N en een hoek van .
Bereken de grootte en de hoek van de resultante.
Nu is:
N.
N.
Dus: N.
N.
N.
Dus: N.
Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht en de grootte van de hoek berekenen:
N.
Uit volgt voor de hoek van de resultante met de positieve -as.
Hoe bereken je de draaihoek als hij tussen en in ligt?
Dan kun je werken met en moet je nog optellen bij de gevonden hoek.
Je kunt met de applet diverse krachten instellen.
Bereken steeds de grootte en de draaihoek van de resultante.
Oefen jezelf en controleer je antwoorden met de applet.
Deze krachten grijpen aan in de oorsprong van het assenstelsel. De grootte van de kracht is gegeven, evenals de draaihoek ten opzichte van de positieve -as.
Bereken de bijbehorende - en -componenten. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
Grootte N en richtingshoek .
N en N.
N en N.
Grootte N en richtingshoek .
N en N.
N en N.
Grootte N en richtingshoek .
N en N.
N en N.
Grootte N en richtingshoek .
N en N.
N en N.
Deze krachten grijpen aan in de oorsprong van het assenstelsel.
De bijbehorende - en -componenten zijn gegeven. Bereken de grootte (in N) en de richtingshoek ervan.
N en N.
N.
geeft .
N en N.
N.
geeft .
N en N.
N.
geeft .
N en N.
N.
geeft .
Een piloot stijgt op van een vliegveld en vliegt minuten met een snelheid van km/uur en een koershoek van ten opzichte van het noorden. Daarna volgt het vliegtuig een kwartier een koers van met een snelheid van km/uur en vervolgens wordt bij geland.
Hoeveel km is het vliegtuig van verwijderd?
Welke koershoek moet de piloot aanhouden voor een rechtstreekse retourvlucht?
Teken de situatie en zet de gegevens er in.
De noordelijke component van de afgelegde vlucht is
km.
De oostelijke component van de afgelegde vlucht is
km.
De piloot is dus km van verwijderd.
De hoek van de terugvlucht ligt tussen en .
En , zodat .
Twee personen trekken elk aan een touw een lorrie voort. Ze lopen beiden op dezelfde afstand van het midden van de rails. De hoek tussen beide touwen is °. De grootte van elke kracht is N.
Bereken de kracht die ze samen uitoefenen in de bewegingsrichting van de lorrie in één decimaal nauwkeurig.
N
N
Doe hetzelfde voor de situatie waarin de ene persoon trekt met een kracht van N onder een hoek van ° ten opzichte van de rails en de ander trekt met een kracht van N onder een hoek van ° ten opzichte van de rails.
N
N
In welke van beide situaties loopt de lorrie soepeler over de rails? Verklaar je antwoord.
In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.
Een zwemmer probeert een rivier met een breedte van meter recht over te steken, maar heeft last van de stroming. Daardoor komt hij niet recht tegenover zijn startpunt op de andere oever aan, maar op een punt dat verder stroomafwaarts ligt. De stroomsnelheid is km/h en de zwemmer bereikt in vijf minuten de overkant van de rivier.
Bereken de snelheid waarmee hij aflegt in km/h. Rond af op drie decimalen.
De afgelegde weg is te ontleden in een horizontale component en een verticale component. De verticale component is meter, ofwel de breedte van de rivier. De horizontale component wordt bepaald door de stroomsnelheid. In de loop van minuten wordt de zwemmer km ofwel meter door de stroming naar rechts geduwd. De lengte van is dus: meter.
De snelheid waarmee de zwemmer heeft afgelegd, is dus m/s, ofwel ongeveer km/h.
Twee krachten en werken in hetzelfde aangrijpingspunt op een bepaald voorwerp.
Het voorwerp gaat verschuiven.
is N en maakt een hoek van met de bewegingsrichting.
maakt een hoek van met de bewegingsrichting.
Hoe groot moet dan zijn en hoe groot is de resultante van beide krachten?
Omdat het voorwerp volgens de stippellijn beweegt, moeten beide componenten daar loodrecht op even groot en tegengesteld zijn.
Dus moet .
Dit levert op: N.
De grootte van de resultante is ongeveer N.
Aan een ring in een balk zijn drie touwen bevestigd.
Op elk van die drie touwen werkt een bepaalde kracht, het middelpunt van de ring kun je als hun aangrijpingspunt opvatten. De hoofdrichting is de -as die evenwijdig loopt met de balk.
In deze situatie kun je allerlei resultantes berekenen.
Bekijk het plaatje bij
Bepaal de componenten van de krachten , en .
: N en N.
: N en N.
: N en N.
Bepaal hiermee de resultante van en en ook de hoek die deze resultante met de positieve -as maakt.
Voor de resultante van en geldt:
de -component is N;
de -component is N.
De grootte van deze resultante is daarom N.
Voor de hoek die deze resultante met de positieve -as maakt geldt . Dit geeft .
Bereken de resultante van , en en de bijbehorende hoek met de positieve -as.
Voor de resultante van , en geldt:
de -component is N;
de -component is N.
De grootte van deze resultante is daarom N.
Voor de hoek die deze resultante met de positieve -as maakt geldt . Dit geeft .
Een schip vaart vanuit de haven in een afstand van km met een koers van ten opzichte van het noorden.
Hoeveel km is het schip in noordelijk en in oostelijke richting verplaatst?
Ongeveer km noordwaarts en ongeveer km westwaarts.
De noordelijk component is km.
De oostelijke component is km.
Ongeveer km noordwaarts en ongeveer km westwaarts.
Een ander schip vaart vanuit in een rechte lijn. Het zit op zeker moment km ten noorden van en km ten oosten van .
Welke koershoek ten opzichte van het noorden heeft de kapitein aangehouden?
Hoeveel km heeft hij gevaren?
De oppervlakte van de zevenhoek is cm
geeft .
De gevaren afstand is km.
Een piloot vertrekt met zijn sportvliegtuig van vliegveld en vliegt uur met een constante snelheid van km/h in een koers van ten opzichte van het noorden. Daarna verandert hij zijn koers in en de snelheid in km/h. Na uur moet hij een noodlanding maken. Over de radio geeft hij aan de verkeersleiding van vliegveld door waar hij is geland en dat hij ernstig gewond is geraakt. Onmiddellijk wordt een helikopter gestuurd.
Bereken de verplaatsingsvector van de helikopter.
Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde en de plaats waar de noodlanding plaatsvond .
De noordelijke component van vector heeft een lengte van en de oostelijke component heeft een lengte van .
De noordelijke component van vector heeft een lengte van en de oostelijke component heeft een lengte van .
De noordelijke component van vector heeft een lengte van ongeveer en de oostelijke component heeft een lengte van ongeveer
De helicopter moet dus ongeveer km naar het noorden en km naar het oosten.