werken met de sinusregel in (niet-rechthoekige) driehoeken.

werken met gelijkvormigheid van driehoeken en de stelling van Pythagoras toepassen;

goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens toepassen;

werken met goniometrie bij hoeken die groter zijn dan $90^@$ .

Tussen de punten $A$ en $B$ is de weg opgebroken. Er is een omleiding via $P$ . De wegen $AB$ en $AP$ maken een hoek van $20^@$ met elkaar. De hoek tussen $PA$ en $PB$ is $110^@$ . De weg van $A$ naar $P$ is $4$ km.

Hoeveel langer is de weg $A$ naar $B$ via $P$ dan de rechtstreekse weg $AB$ ?

De weg via $P$ is ongeveer $0,9$ km langer.

Teken de hoogtelijn $PD$ .

$angle B=180^@-20^@-110^@=50^@$ .

$PD=4*sin(20^@)~~1,37$ en $AD=4*cos(20^@)~~3,76$ .

$BP=(PD)/(sin(50^@))~~1,79$ en $DB=(PD)/(tan(50^@))~~~1,15$ .

$AP+PB ~~4+1,79=5,79$ en $AB ~~3,76+1,15=4,91$ .

De weg via $P$ is ongeveer $0,9$ km langer.

Je kunt een verband afleiden tussen $a$ , $b$ , $sin(α)$ en $sin(β)$ door de hoogtelijn $CD$ op twee manieren te schrijven:

In $Delta ADC$ is $CD =b sin(α)$

In $Delta DBC$ is $CD =a sin(β)$

Dit betekent: $bsin(α)=a sin(β)$ .
Dit kun je schrijven als: $a/ (sin(α)) =b/ (sin(β))$ .
Met behulp van een andere hoogtelijn kun je ook zo'n verband tussen $a$ , $c$ , $sin(α)$ en $sin(γ)$ afleiden. Hierin is $c=AB$ en $γ=∠C$ .

Dit verband tussen de hoeken en de zijden van een driehoek heet de sinusregel.

Gebruik de sinusregel om het volgende (reeds bekende) probleem op te lossen.

Hoeveel langer is de weg $A$ naar $B$ via $P$ dan de rechtstreekse weg $AP$ ?

$4/(sin(50^@))= (AB)/(sin(110^@))$ geeft $AB ≈4,907$ .

$4/(sin(50^@))= (BP)/(sin(20^@))$ geeft $BP ≈1,786$ .

Je loopt dus $4 +1,786 -4,907 =0,879$ km om.

Gegeven is $△ABC$ met $AB =5$ cm, $∠A=40^@$ en $∠C=65^@$ . Bereken de lengte van $BC$ in twee decimalen nauwkeurig.

$BC ≈3,55$

$5/{:sin(65^@):}= (BC) /{:sin(40^@):}$ geeft $BC ≈3,55$

Gegeven is $△DEF$ met $DE =5$ cm, $∠D=40^@$ en $∠E=65^@$ . Bereken de lengte van $DF$ in twee decimalen nauwkeurig.

$DF ≈4,69$

$angle F=180^@ - 40^@ - 65^@ = 75^@$

$5/(sin(75^@))=(DF)/(sin(65^@) )$ geeft $DF ≈4,69$ .

De algemene afspraak voor het geven van namen aan onderdelen van driehoek $ABC$ is:

$∠A=α$ , $∠B=β$ en $∠C=γ$ ; en $AB=c$ , $BC=a$ en $AC=b$

Nu kun je ook afleiden: $a/(sin(α))=c/(sin(γ))$ . Laat dat zien.

Trek de hoogtelijn uit $B$ op $AC$ . Die hoogtelijn kun je op twee manieren berekenen:

Je krijgt $csin(alpha)=asin(gamma)$ en dus $a/(sin(α))=c/(sin(γ))$ .

Het kan zijn dat in jouw driehoek de hoogtelijn door $B$ op het verlengde van $AC$ komt. Nu krijg je $csin(alpha)=asin(180- gamma)$ , maar omdat $sin(gamma)=sin(180- gamma)$ krijg je hetzelfde resultaat.

In elke $Delta ABC$ noem je $/_A = alpha$ en $a$ is de zijde tegenover $/_A$ . Op dezelfde wijze doe je dit met de andere hoeken en zijden, zie figuur.

In elke $Delta ABC$ geldt de sinusregel: $a/ (sin(α)) =b/ (sin(β)) =c/ (sin(γ))$

Je gebruikt hem vooral in driehoeken die geen rechte hoek hebben.

Bekijk de constructie van $△ABC$ met $∠A=20^@$ , $∠B=50^@$ en $AB =6$ .
Bereken de lengte van $AC$ .

Merk eerst op dat $∠C=110^@$ .

$( AC ) / (sin(50^@)) =6/ (sin(110^@))$

Hieruit volgt: $AC ≈4,89$

In Voorbeeld zie je de constructie van $△ABC$ als gegeven is $∠A=20^@$ , $∠B=50^@$ en $AB =6$ cm.

Construeer zelf deze driehoek.

Als het goed is, heb je dezelfde figuur als in het voorbeeld.

Waarom is het voor het berekenen van de lengte van $AC$ nodig om $∠C$ te berekenen?

Omdat je bij het toepassen van de sinusregel altijd één van de drie breuken compleet moet weten en in elke breuk een zijde en de tegenoverliggende hoek moet voorkomen.

Controleer dat inderdaad $AC ≈4,89$ .

Merk eerst op dat $∠C=110^@$ .

$( AC ) / (sin(50^@)) =6/ (sin(110^@))$

Hieruit volgt: $AC ≈4,89$

Bereken de zijde waar een vraagteken bij staat.

In driehoek $ABC$ :

$sin(∠B)=(60*sin(70^@))/{:58:}$ geeft $/_B~~76,43^@$ , dus $∠C=180-70-76,43=33,57^@$ , ofwel $AB=sin(33,57)*58/{:sin(70):}~~34,1$ .

In driehoek $DEF$ :

$∠E=180-70-32=78^@$ , dus $EF=80/{:sin(78^@):}*sin(70^@)~~76,9$ .

In driehoek $GHI$ :

$sin(∠I)=(30*sin(120^@))/{:80:}$ geeft $/_I~~18,95^@$ dus $∠G=180-120-18,95=41,05^@$ ofwel $HI=sin(41,05)*80/{:sin(120):}~~60,7$ .

In vierhoek $KLMN$ :

De vierhoek is symmetrisch, dus het is makkelijk om hem in twee driehoeken te verdelen, waarin $∠NLM=(30)/2=15^@$ en $∠LNM=180-15-20=145^@$ , en dus $MN=60/{:sin(145^@):}*sin(15^@)~~27,1$ .

Je kunt de sinusregel op meerdere manieren schrijven. Bijvoorbeeld ook zo: $(sin(α)) /a= (sin(β)) /b= (sin(γ)) /c$ .
Bedenk nog twee manieren waarop je de sinusregel kunt schrijven.

Bijvoorbeeld $sin(alpha)={:sin(beta)*a:}/b$ of $a=(bsin(α))/(sin(β))$ .

In deze rechthoekige driehoek kun je de lengte van $AC$ berekenen met behulp van de sinusregel.

Laat zien hoe dat gaat.

$6/( sin(50^@))=( AC )/(sin(90^@))$ geeft $AC ≈7,8$ .

Bereken $AC$ ook zonder de sinusregel te gebruiken.

$cos(40^@)=6/{: AC :}$ geeft $AC ≈7,8$ .

Gegeven is $Delta ABC$ met $angle A=25^@$ , $angle B=55^@$ en $AB=5$ .
Bereken $AC$ en $BC$ in één decimaal nauwkeurig.

$angle C=180-25-55=100^@$

$5/{:sin(100^@):}=AC/{:sin(55^@):}$ geeft $AC ~~4,2$ .

$5/{:sin(100^@):}=BC/{:sin(25^@):}$ geeft $BC ~~ 2,1$ .

Gegeven is $Delta KLM$ met $angle K=40^@$ , $KM=6$ en $LM=8$ .
Bereken $angle L$ en $angle M$ in één decimaal nauwkeurig.

$8/{:sin(40^@):}=6/{:sin(angle L):}$ geeft $sin(angle L)=0,482...$ en dit geeft $angle L ~~ 28,8^@$ .

( $angle L ~~ 151,2^@$ kan niet, omdat je in een driehoek werkt en dus de hoekensom gelijk is aan $180^@$ .) $angle M~~180-40-28,8=111,2^@$

Laat met een berekening zien dat een driehoek $ABC$ met $AB =12$ , $AC =8$ en $∠B=45^@$ onmogelijk is.

Met de sinusregel vind je dat $8/{:sin(45^@):}=12/{:sin(∠C):}$ en dus $sin(∠C)≈1,06$ . Er bestaat geen $∠C$ die hieraan voldoet.

Bereken de zijde waar een vraagteken bij staat in twee decimalen nauwkeurig.

Figuur a:
$Delta ABC$ :
$6/(sin(70^@))=5/(sin(angle A))$ geeft $angle A~~51,5^@$ en dus $angle C~~58,5^@$ .
$AB/(sin(58,5^@))=6/(sin(70^@))$ geeft $AB ~~5,44$ .

Figuur b:
$Delta DEF$ :
$8/(sin(60^@))=(DE)/(sin(45^@))$ geeft $DE=(8sin(45^@))/(sin(60^@))~~6,53$

Voor het berekenen van $DF$ trek je de hoogtelijn $EG$ . $FG=EG=8sin(45^@)~~5,66$ en $DG~~6,53*cos(60^@)~~3,27$
$DF=DG+GF~~3,27 + 5,66 ~~ 8,92$

Met $8/{:sin(60^@):} = {:DE:}/{:sin(/_E):}$ en $/_E=180-60-45=75^@$ krijg je $DE~~8,92$ .

Figuur c:
$Delta GHI$ :
$12/{:sin(120^@):}=(4sqrt(3))/{:sin(angle I):}$ geeft $sin(angle I)=0,5$ en dus $angle I=30^@$ . Nu vind je ook dat $angle G=30^@$ , dus $GH=HI~~6,93$ (gelijkbenige driehoek).

Je wilt de afstand bepalen tussen $A$ en $B$ , maar tussen deze punten ligt een meertje. Je gaat nu als volgt te werk:

Je loopt vanuit punt $A$ $200$ m in een richting die een hoek van $60^@$ maakt met $AB$ . Zo houd je droge voeten.

Je bent op een punt dat je $P$ noemt en meet de hoek tussen $AP$ en $PB$ . Die is $80^@$ .

Vervolgens bereken je de lengte van $AB$ .

Laat met een tekening zien hoe dit in zijn werk gaat en bereken de lengte van $AB$ .

$angle B=180-60-80=40^@$

$(AB)/(sin(80)) = (200)/(sin(40))$ geeft $AB ~~ 306,4$ m

$angle B=180-60-80=40^@$

$(AB)/(sin(80)) = (200)/(sin(40))$ geeft $AB ~~ 306,4$ m

Dit is een symmetrische kapspant, de lengte van de gegeven balk is in cm.

Bereken de lengte van balk $BF$ en de afstand tussen de punten $F$ en $D$ in cm nauwkeurig.

$/_ AFB = 180^@ - 31^@ - 57^@ = 92^@$ .

Sinusregel in $Delta ABF$ :
$(BF)/(sin(57^@)) = (500)/(sin(92^@))$ geeft $BF ~~ 419,6 ~~ 420$ cm.

$/_ FBE = 90^@ - 31^@ = 59^@$ .

$S$ is het snijpunt van $FD$ met $BE$ en $FD$ is de gevraagde afstand.

$sin(59^@) = (FS)/(FB) ~~ (FS)/(419,6)$ geeft $FS ~~ 359,7$ cm.
De afstand tussen $F$ en $D$ is ongeveer $719$ cm.

Om de positie van een bepaald punt $P$ in kaart te brengen, werkten landmeters vroeger met de sinusregel. Daartoe werden de afstanden tot $P$ vanuit bekende punten berekend. Door omcirkelen vanuit die bekende punten kon $P$ op de kaart worden aangegeven. Deze procedure heette voorwaartse insnijding. Deze methode werkt alleen in de lagere geodesie, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd.

Stel dat $A$ en $B$ de bekende punten zijn. Ze liggen $125,3$ m uit elkaar. Je wilt de positie van $P$ bepalen. Je meet de hoeken $BAP$ en $ABP$ : $∠BAP=68,3^@$ en $∠ABP=77,4^@$ .

Bereken nu de lengtes van $AP$ en $BP$ .

$AP≈217,0$ m en $BP≈206,6$ m

$angle P=180^@-68,3^@-77,4^@=34,3^@$

$(125,3)/(sin(34,3^@))=(BP)/(sin(68,3^@))$ geeft $BP ~~206,6$ m

$(125,3)/(sin(34,3^@))=(AP)/(sin(77,4^@))$ geeft $AP ~~217,0$ m

Iemand wil de hoogte van een toren weten. Hij gaat een stuk van de toren vandaan staan en meet de hoek tussen de horizontale richting en de richting naar de spits van de toren (punt $A$ ). Deze hoek $C$ is $32^@$ . Dan loopt hij $50$ m verder van de toren vandaan en meet de hoek naar de top opnieuw; de nieuwe hoek $D$ is nu $15^@$ .

Maak een schets van deze situatie met de gegevens die bekend zijn. Ga er daarbij vanuit dat beide hoeken op $1,80$ m boven de grond zijn gemeten.

Bereken de hoogte van de toren in meter nauwkeurig. (Opmerking: er is een oplossing van dit probleem waarbij je de sinusregel gebruikt, maar er is ook een oplossing te bedenken waarbij dit niet hoeft. Kun je beide oplossingen vinden?)

$/_ACD=180^@-32^@=148^@$ (gestrekte hoek)

$/_CAD=180^@-148^@-15^@=17^@$ (hoekensom)

Met de sinusregel:

$(AC)/(sin(15^@))=50/(sin(17^@))$ geeft $AC ~~44,26$

$AB ~~sin(32^@)*44,26~~23,5$ m

Dus de toren is ongeveer $23,5+1,8=25,3$ m hoog.

Andere oplossing:

schrijf $BC=x$

$tan(32^@)=(AB)/x$ geeft $AB=tan(32)*x$

$tan(15^@)=(AB)/(x+50)$ geeft $AB=tan(15)*(x+50)$

dus $tan(32^@)*x=tan(15)*(x+50)$ geeft $x~~37,54$

$AB ~~tan(32^@)*37,54~~23,5$

Dus de toren is ongeveer $23,5+1,8=25,3$ m hoog.

De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz. Cardinael (1578–1647) bedacht een manier om de hoogte van een toren te bepalen. Je hebt er zelfs geen hoeken voor nodig. Hier zie je hoe hij te werk ging. De toren is $AB$ en er ligt een spiegel op de grond in $C$ . Je zet bij $D$ een verticale stok $DE$ zo, dat de top $A$ van de toren in de spiegel gezien kan worden vanuit $E$ . Vervolgens bepaal je de plaats van punt $F$ zo, dat vanuit $F$ de top $A$ juist boven de stok $DE$ in het verlengde van $FE$ gezien kan worden. Als je de lengtes van $CD$ , $DE$ en $DF$ kent, kun je de hoogte van de toren $AB$ berekenen.

Bereken de hoogte van de toren als $CD =8$ , $DE = 6$ en $DF =9$ .

$Delta BCA∼Delta DCE∼Delta DGE$ en $Delta GFE ∼ Delta CFA$ . De laatste gelijkvormigheid volgt uit $angle BCA =angle DGE$ en $angle ACF = 180^@-angle BCA$ , $angle EGF=180^@-angle DGE=180^@-angle BCA$ .

Nu geldt dat $(CF)/(GF)=(AB)/(DE)$ en als je invult wat je weet, krijg je $17/1=(AB)/6$ . Dus $AB=102$ .

De hoogte van de toren is $102$ meter.

Bereken in de twee onderstaande figuren de lengte van het lijnstuk waar een vraagteken bij staat in twee decimalen nauwkeurig.

$BC ≈ 6,21$
$DF ~~10,93$
$EF ~~ 9,80$

$Delta ABC$ :
$6/(sin(68^@))=4/(sin(angle C))$ geeft $angle C~~38,2^@$ en daarmee $angle A~~73,8^@$
$6/(sin(68^@))=(BC)/(sin(angle A))$ geeft $BC ~~ 6,21$
$Delta EFD$ :
$8/(sin(45^@))=(EF)/(sin(60^@))$ geeft $EF ~~ 9,80$

Teken de hoogtelijn door $EG$ .

$DG=sin(30^@)*8=4$ en $GF ~~sin (45^@)*9,80~~6,93$ .

Dus $DF~~4+6,93=10,93$ .

Als je geen hoogtelijn tekent krijg je $8/{:sin(45^@):}={:DF:}/{:sin(75^@):}$ en ook $DF~~4+6,93=10,93$ .