In dit onderwerp gaat het over gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras, goniometrie, de sinusregel en de cosinusregel. Dit wordt toegepast op het berekenen van omtrek en oppervlakte en het in componenten verdelen van vectoren.

Je hebt nu alle theorie van Goniometrie doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

gelijkvormigstelling van Pythagorassinus, cosinus, tangens

omtrekoppervlakteoppervlakteformule

vectorcomponenten van een vector

sinusregel

cosinusregel

in rechthoekige driehoeken gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras en goniometrie gebruiken;

omtrek en oppervlakte van (samengestelde) figuren berekenen;

werken met hoeken boven de $90^@$

vectoren in componenten ontbinden en dit toepassen;

de sinusregel gebruiken voor berekeningen in (niet-rechthoekige) driehoeken;

de cosinusregel gebruiken voor berekeningen in (niet-rechthoekige) driehoeken.

Bereken in de volgende figuren alle lijnstukken en hoeken waar een vraagteken bij staat. Bereken de lengtes van de lijnstukken in één decimaal en de hoeken in graden nauwkeurig.

Teken lijnstuk $B P$ loodrecht op $D C$ .
$A D = B P = 10 \cdot \sin (50) \approx 7,7$ en $A B = D P = 10 - 10 \cdot \cos (50) \approx 3,6$ .

Teken hoogtelijn $F Q$ .
$F Q = 10 \cdot \sin (30) = 5$ en dus is $sin(/_G) = 5/8$ zodat $/_G ≈ 39^@$ .
(Dit kan ook met de sinusregel.)

Teken lijnstuk $K M$ . Het snijpunt van $K M$ en $N L$ is $S$ .
$sin(/_NMS) = 4/10$ zodat $/_M = 2 * /_NMS ≈ 47^@$ .

Er wordt op Cape Canaveral een raket gelanceerd. De raket stijgt $8$ km loodrecht op en krijgt dan een koerscorrectie, waarna hij $5$ km onder een hoek van $40^@$ met zijn oorspronkelijke richting vliegt. Dan wordt een deel van de raket afgestoten. Dit deel keert onder een hoek van $120^@$ met de vorige vliegrichting terug naar de aarde.

Hoe ver van het vertrekpunt komt dit afgestoten deel van de raket in zee terecht? (Neem voor het gemak aan dat de aarde plat is.)

Werk bijvoorbeeld met vectoren ten opzichte van de verticale richting..
De eerste vector heeft een component van $8$ km in de verticale richting en een component van $0$ km in de horizontale richting.
De tweede vector heeft een component van $5*cos(40^@) ~~ 3,830$ km in de verticale richting en een component van $5*sin(40^@) ~~ 3,214$ km in de horizontale richting.
De laatste vector heeft een component van $8+3,830 = 11,830$ km in de verticale richting en een component van $11,830*tan(180^@ - 160^@) ~~ 4,306$ km in de horizontale richting.
Dit afgestoten deel komt op $3,214 + 4,306 = 7,520$ km van het vertrekpunt in zee.

Twee krachten van $56$ N en $31$ N grijpen in hetzelfde punt aan en maken een hoek van $141^@$ met elkaar.

Bereken resultante van beide krachten.

Teken de resultante $vec(r)$ in een parallellogramconstructie.
De hoek tussen beide is $141^@$ , je gebruikt de hoek $180^@ - 141^@ = 39^@$ .
Voor de lengte van de resultante geldt: $r^2 = 56^2 + 31^2 - 2*56*31*cos(39^@)$ geeft $r ~~ 37,4$ N.

Bereken alle overige zijden en hoeken van $Delta ABC$ als gegeven is (geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig):

$a=5$ , $b=6$ en $γ=120^@$

$α≈27,00^@$ , $β≈33,00^@$ en $c=sqrt(91)~~9,54$

Met de cosinusregel vind je dat $c=sqrt(91)~~9,54$ .

Met de cosinusregel of de sinusregel vind je nu dat $alpha~~27,00^@$ en $beta~~33,00^@$ .

$a=5$ , $b=6$ en $β=120^@$

$α≈46,19^@$ , $γ≈13,81^@$ en $c≈1,65$

Met de sinusregel vind je dat $alpha~~46,19^@$ en daarmee $gamma~~13,81^@$ .

Met de cosinusregel of sinusregel vind je nu dat $c~~1,65$ .

$c=12$ , $α=50^@$ en $β=60^@$

$γ=70^@$ , $a≈9,78$ en $b≈11,06$

$gamma=70^@$ . Met de sinusregel vind je dat $a~~9,78$ en $b~~11,06$ .

$a=12$ , $b=6$ en $α=90^@$

$beta=30^@$ , $gamma=60^@$ en $c=sqrt(108)~~10,39$

$c=sqrt(12^2-6^2)=sqrt(108)~~10,39$ , $beta=30^@$ en $gamma=60^@$

$a=c=10$ en $γ=81^@$

$α=81^@$ , $β=18^@$ en $b≈3,13$

$alpha=gamma=81^@$ en $beta=180^@-2*81^@=18^@$

Met de cosinusregel vind je $b~~3,13$ .

Je kunt dit ook vinden door een hoogtelijn te tekenen en met sin/cos te werken.

De breedte van een rivier bepaal je vanuit een duidelijk herkenbaar punt $P$ op de tegenoverliggende oever. Langs de oever waarop je zelf staat, zet je een lijnstuk $AB$ van bijvoorbeeld $10$ m uit. Vervolgens meet je de hoeken van $AP$ met $AB$ en van $BP$ met $AB$ . Bereken de breedte van de rivier als $∠BAP=65^@$ en $∠ABP=54^@$ .

Ongeveer $8,4$ m.

$angle BPA=180-54-65=61^@$

$10/(sin(61))=(AP)/(sin(54))$ geeft $AP ~~9,25$

Teken de hoogtelijn $PD$ op $AB$ .

$PD=AP*sin(65)~~8,4$

De breedte van de rivier is ongeveer $8,4$ m.

Tussen drie palen die loodrecht op de grond staan, is heel strak een driehoekig zeil gespannen. Paal 1 staat $5$ m van paal 2, paal 2 staat $4$ m van paal 3 en paal 3 staat $3$ m van paal 1. Het zeil is op $2$ m boven de grond aan paal 1, op $2,5$ m boven de grond aan paal 2 en op $3,5$ m boven de grond aan paal 3 bevestigd. Bereken de oppervlakte van dit zeil.

Ongeveer $6,9$ m².

Noem het hoekpunt van het zeil bij paal 1 $A$ , het hoekpunt van paal 2 $B$ en het hoekpunt bij paal 3 $C$ .

$AB=sqrt(5^2+0,5^2)=sqrt(25,25)$
$BC=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)$
$AC=sqrt(3^2+1,5^2)=sqrt(11,25)$

Met de cosinusregel vind je dat $angle A~~54,66^@$ .

Teken hoogtelijn $CD$ op $AB$ .

$CD=sqrt(11,25)*sin(angle A)~~2,74$

Oppervlakte $=1/2*AB*CD ~~6,9$ m².

Oppervlakte van een rechthoek

Van een rechthoek is de omtrek $20$ cm en maken de diagonalen een hoek van $40^@$ met elkaar.

Hoe groot is de oppervlakte van die rechthoek? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Noem de lengte $l$ en de breedte $b$ , dan is $l = 10 - b$ .
Verder is $\tan (20) = \frac{b}{l} = \frac{b}{10 - b}$ . Hieruit volgt $b \approx 2,67$ en dus is $l \approx 7,33$ . De oppervlakte is ongeveer $19,6$ .

Bijzonder plaatje

Je ziet hier een symmetrische figuur die uit delen van cirkels bestaat.
Alle afmetingen zijn in mm.

Bereken de lengte van $d$ in tienden van mm nauwkeurig.

Gebruik $Delta ABC$ en ga na, dat $AB = 44$ mm, $AC = 22$ mm en $BC = 62$ mm.

De cosinusregel geeft dan $22^2 = 62^2 + 44^2 - 2*62*44*cos(/_B)$ , zodat $cos(/_B) ~~ 0,971$ en $/_B ~~ 13,9^@$ .
Hiermee is $d ~~ 64*sin(13,9^@) ~~ 15,4$ mm.