een breuk en de teller en de noemer herkennen;

breuken vereenvoudigen;

breuken gelijknamig maken om ze te kunnen vergelijken;

breuken omzetten naar een decimaal getal.

rekenen met decimale getallen en de juiste rekenvolgorde;

afronden en schatten;

werken met grootheden en de bijbehorende eenheden.

Op een school worden computers vervangen in twee computerlokalen. De oude computers worden nagekeken of ze voor een klein prijsje doorverkocht kunnen worden aan de leerlingen. In lokaal A waren er $3$ computers niet meer bruikbaar voor doorverkoop en in lokaal B waren dat er $5$ . In lokaal A stonden $20$ computers en in lokaal B waren dat er $30$ .

In welk lokaal konden er in verhouding meer computers worden doorverkocht?

Bruikbaar is het $17/20 = 51/60$ deel van de computers in lokaal A en het $25/30 = 50/60$ deel van die in lokaal B.
Dus uit lokaal A konden er in verhouding meer worden door verkocht.

Deze rechthoek is in $12$ gelijke vierkantjes verdeeld. $7$ daarvan zijn rood gekleurd. Dat is $7/12$ deel.
$7/12$ heet een breuk. $7$ is de teller en $12$ is de noemer.

De noemer is de naamgever: het zijn twaalfde delen, kortweg twaalfden.
De teller telt hoeveel twaalfden er zijn: er zijn zeven twaalfden.

Je ziet: $7/12 = 14/24$ .
$7$ van de $12$ is hetzelfde gedeelte als $14$ van de $24$ .
Zo geldt ook: $2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20 = 10/25$ . Je kunt teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen zonder dat de waarde van de breuk verandert.

Als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt, blijft de breuk hetzelfde deel weergeven.
Omgekeerd is $8/20$ gelijk aan $2/5$ , dus je kunt ook teller en noemer door hetzelfde getal delen zonder dat de waarde van de breuk verandert. Het vereenvoudigen van een breuk is het zoeken naar een gelijke breuk met de kleinst mogelijke teller en noemer.

Heb je behalve $7/12$ deel ook nog $2$ gehele rechthoeken rood gekleurd, dan is dat samen $2 + 7/12$ .
Dat schrijf je als $2 7/12$ .

(Dit laatste is eigenlijk een hele rare notatie: een plus-teken mag je eigenlijk niet weglaten, dan is niet duidelijk hoe je moet rekenen!)

Bekijk de figuren hiernaast.

Geef met een breuk aan welk deel van de bovenste figuur gekleurd is.

$3/4$

Wat is de teller en wat is de noemer van de breuk die je bij a hebt opgeschreven?

$3$ is de teller en $4$ is de noemer van de breuk.

Leg met behulp van beide figuren uit waarom $3/4 = 9/12$ .

In de onderste figuur is evenveel gekleurd als in de bovenste. In de onderste figuur is het $9/12$ deel, in de bovenste $3/4$ deel.

Op dezelfde manier als bij Opgave kun je de breuk $1 3/4$ in beeld brengen.

Laat zien hoe de breuk $1 3/4$ er met rechthoeken uit ziet.
Waarom is $1 3/4 = 1 + 3/4$ ?

Als het goed is heb je een rechthoek gekleurd en van een tweede (even grote) rechthoek $3/4$ deel.

Waarom is $1 3/4 = 7/4$ ?

$1 = 4/4$ , dus $1 3/4 = 1 + 3/4 = 4/4 + 3/4 = 7/4$ . Maak eventueel een figuur hierbij.

Hoeveel twaalfden is $1 3/4$ ?

$1 3/4 = 7/4 = 21/12$ .

Bekijk in Uitleg wat je verstaat onder breuken vereenvoudigen.

Leg met behulp van een figuur uit waarom $12/30 = 2/5$ .

Teken op een roosterpapier een rechthoek van $6$ bij $5$ . Je hebt dan $30$ roosterhokjes.
$2$ van de $5$ banen kleuren is even veel als $12$ van de $30$ hokjes kleuren.

Welke breuk krijg je als je in $12/30$ teller en noemer beide door $2$ deelt? Is die breuk ook gelijk aan $2/5$ ?

$6/15 = 2/5$ .

Hoe kun je een breuk vereenvoudigen?

Door te kijken door welk getal je zowel de teller als de noemer kunt delen.

Als je wilt weten welk deel groter is, moet je breuken vergelijken.

$5/12$ deel is minder dan $7/12$ deel. Je schrijft: $5/12 lt 7/12$ .
Het teken $lt$ betekent: is kleiner dan.

$7/12$ deel is meer dan $7/13$ deel. Je schrijft: $7/12 gt 7/13$ .
Het teken $gt$ betekent: is groter dan.

Als je $2/3$ en $3/4$ met elkaar wilt vergelijken, moet je de breuken eerst gelijknamig maken. Je maakt dan de noemers van beide breuken gelijk: $2/3 = 8/12$ en $3/4 = 9/12$ dus: $2/3 lt 3/4$ .

Je weet: $1/10 = 0,1$ en $2/10 = 0,2$ en bijvoorbeeld $12/100 = 0,12$ .

Breuken met als noemer $10, 100, 1000, ...$ kun je als decimaal getal schrijven.

Ook andere breuken kun je als decimaal getal schrijven:

$1/2 = (1 xx 5)/(2 xx 5) = 5/10 = 0,5$

$1/4 = (1 xx 25)/(4 xx 25) = 25/100 = 0,25$

$3/8 = ... = 375/1000 = 0,375$

Je ziet dat je er dan eerst een breuk met als noemer $10$ , of $100$ , of $1000, ...$ van moet maken. Je rekenmachine doet dit snel met een deling.

Bekijk in Uitleg hoe je breuken kunt vergelijken.
Vul het juiste teken $gt$ of $lt$ in.

$2/10 ... 19/100$

$2/10 = 20/100 gt 19/100$

$2/15 ... 1/5$

$2/15 lt 1/5 = 3/15$

$3/4 ... 2/3$

$3/4 = 9/12 gt 2/3 = 8/12$

$13/16 ... 7/8$

$13/16 lt 7/8 = 14/16$

Je kunt breuken ook goed vergelijken door er eerst decimale getallen van te maken.

Doe de voorgaande opgave nog eens, maar nu met behulp van decimale getallen.

$2/10 = 0,20 gt 19/100 = 0,19$

$2/15 ~~ 0,13 lt 1/5 = 0,20$

$3/4 = 0,75 gt 2/3 ~~ 0,67$

$13/16 = 0,8125 lt 7/8 = 0,875$

In groep A hebben $3$ van de $20$ leerlingen voor een wiskundetoets een onvoldoende gehaald.
In groep B hebben voor dezelfde toets $4$ van de $30$ leerlingen een onvoldoende gehaald.

Mag je zeggen dat er in groep B naar verhouding meer onvoldoendes zijn?
Er zijn wel meer onvoldoendes, maar ook meer leerlingen...

In groep A heeft $3/20$ deel een onvoldoende.
In groep B heeft $4/30$ deel een onvoldoende.

Om beide breuken te kunnen vergelijken maak je ze gelijknamig:

$3/20 = 9/60$ en $4/30 = 8/60$ .

Dus voor deze toets zijn in groep B naar verhouding de minste onvoldoendes gehaald.
(Complimenten voor groep B.)

$7/12$ heet een breuk.
$7$ is de teller en $12$ is de noemer.
Van de rechthoek is $7/12$ deel gekleurd.

$7/12$ en $14/24$ geven hetzelfde deel weer: $7/12 = 14/24$ .
Dus omgekeerd kun je zeggen $14/24 = 7/12$ .
Je hebt dan $14/24$ vereenvoudigd tot $7/12$ door teller en noemer door hetzelfde getal $2$ te delen.

Wil je breuken vergelijken dan moet je ze eerst gelijknamig maken.
Je maakt dan de noemers van beide breuken gelijk.

Breuken met als noemer $10, 100, 1000, ...$ kun je als decimaal getal schrijven: $13/100 = 0,13$ ; $2/10 = 0,2$ ; $123/1000 = 0,123$ . Bij andere breuken kan dat ook door de deling uit te voeren, met de hand of met een rekenmachine.
Soms gaat het aantal decimalen eindeloos door. Dan werk je vaak met een benadering: $2/7 = 0,28571428571428... ~~ 0,286$ .

Van mensen van rond de 30 jaar oud dragen al vier op de tien personen een bril of contactlenzen.
Dit is een uitspraak die ooit stond in een artikel van het Centraal Bureau voor de Statistiek.
Hoeveel personen in een groep van $200$ dertigjaren zouden er een bril of contactlenzen moeten dragen?

De uitspraak betekent dat $4/10$ deel van de dertigjarigen een bril of contactlenzen draagt.

Omdat $1/10$ van $200$ gelijk is aan $20$ , zijn er $4 xx 20 = 80$ personen in die groep die een bril of contactlenzen dragen.

Je kunt ook de breuk eerst vereenvoudigen: $4/10 = 2/5$ .
Dan bepaal je eerst $1/5$ deel van $200$ en neem je dat $2$ keer.

Schrijf in de volgende gevallen het beschreven deel als breuk.

$7$ van de $12$ personen bestellen een pizza.

$7/12$ deel.

Van elke $100$ mensen hebben er $45$ een bril.

$45/100$ deel.

$1$ minuut is een deel van $1$ uur.

$1/60$ deel.

$7$ cm is een deel van $1$ m.

$7/100$ deel.

Lees het stukje over het voor komen van kleurenblindheid.

Kleurenblindheid
Kleurenblindheid is het wijdst verspreid onder blanke westerse mannen. Op elke $100$ mannen lijden er ongeveer $11$ aan één of andere vorm van kleurenblindheid. Onder Aziatische mannen is dat aandeel veel lager, slechts $1$ op elke $20$ Aziatische mannen is kleurenblind.

Welk deel van de westerse mannen is kleurenblind? Geef je antwoord als breuk.

$11/100$ deel.

Welk deel van de Aziatische mannen is kleurenblind?

$1/20$ deel.

Laat zien dat het aandeel Aziatische mannen dat kleurenblind is inderdaad kleiner is dan het aandeel westerse mannen dat kleurenblind is.

$1/20 = 5/100$ en dat is minder dan $11/100$ .

Een opslagtank bevat $450$ liter vloeistof wanneer hij voor driekwart is gevuld.

Hoeveel liter vloeistof bevat deze tank als hij voor tweederde deel is gevuld?

$1/4$ deel is $150$ liter, dus een volle tank is $600$ liter.
$1/3$ daarvan is $200$ liter en $2/3$ is daarom $400$ liter.

Je koopt met twee vrienden een pakje met vier repen chocola.
Je verdeelt deze $4$ repen dus met $3$ personen, ieder even veel. Hoeveel krijgt elk?

Bekijk de figuur.
Je ziet dat ieder krijgt dan $4/3$ deel.

Dat is meer dan een hele reep: $4/3 = 1 + 1/3 = 1 1/3$ .

Je verdeelt $15$ repen chocolade met zijn zessen.

Hoeveel chocoladerepen krijgt ieder? Schrijf je antwoord als breuk met de gehelen zichtbaar.

$15/6 = 2 3/6 = 2 1/2$ reep.

Je kent de tandwielen van technisch Lego wel. Ze zijn er met verschillende hoeveelheden tanden. Neem twee tandwielen waarvan de tanden in elkaar grijpen.

Beide tandwielen hebben $20$ tanden. Als je het éne tandwiel één keer helemaal ronddraait, hoeveel draait het andere dan rond?

Ook één keer.

De tandwielen zijn verschillend: het kleinste heeft $8$ tanden, het grootste $18$ tanden.

Je draait het kleinste één keer helemaal rond. Hoeveel draait het grootste tandwiel?

$8/18 = 4/9$ deel van een rondje.

Je draait het grootste één keer helemaal rond. Hoeveel draait het kleinste tandwiel?

$18/8 = 9/4 = 2 1/4$ keer rond.

Wat is meer $3/10$ of $2/7$ ?

10	7
‌
20	14
30	21
40	28
50	35
60	42
70	49
	56
	63
	70

Breuken kun je vergelijken door ze gelijknamig te maken.
Je zoekt dan eerst het kleinste getal dat zowel een veelvoud van $10$ als een veelvoud van $7$ is. Dat getal heet het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV) van $10$ en $7$ .
In de tabel hiernaast zie je dat dit getal $70$ is.

$3/10 = 21/70$ en $2/7 = 20/70$ , dus $3/10 gt 2/7$ .

Je kunt de breuken ook vergelijken door ze eerst beide om te zetten naar een decimaal getal: $3/10 = 0,3$ en $2/7 = 0,28571428...$ .
Ook nu zie je snel welke van beide het grootst is.

Bekijk het voorbeeld.

Vergelijk de breuken $2/7$ en $4/15$ door gelijknamig maken.

$2/7 = 30/105$ en $4/15 = 28/105$ , dus $2/7 gt 4/15$ .

Vergelijk de breuken $2/7$ en $4/15$ door ze om te zetten naar decimale getallen.

$2/7 ~~ 0,285$ en $4/15 ~~ 0,267$ , dus $2/7 gt 4/15$ .

Neem nu de breuken $6/25$ en $4/15$ .
Vergelijk ze door gelijknamig maken.

$6/25 = 18/75$ en $4/15 = 20/75$ , dus $6/25 lt 4/15$ .

Vergelijk de breuken $6/25$ en $4/15$ door ze eerst naar decimale getallen om te zetten.

$6/25 = 0,24$ en $4/15 ~~ 0,27$ . Dus ook zo blijkt $4/15$ het grootst te zijn.

Er wordt van een griepepidemie gesproken als er van elke $1000$ inwoners meer dan $80$ de griep hebben. In de klas van Antoine hebben $3$ leerlingen de griep en zijn er $24$ gezond. Volgens Antoine zou er wel eens sprake kunnen zijn van een epidemie.

Ga na of hij daarin gelijk heeft.

$3/27 gt 80/1000$ , dus het zou best eens waar kunnen zijn.

Uit onderzoek blijkt dat je elke dag gemiddeld ongeveer $8$ uur slaapt, $1,5$ uur eet en $2$ uur televisie kijkt.

Hoe groot is het deel van de dag dat je slaapt?

$8/24 = 1/3$

Ga verder uit van een mens die $84$ jaar oud wordt.

Hoeveel jaar heeft hij dan geslapen?

$1/3$ deel van $84$ is $28$ jaar.

Hoe groot is het deel van de dag dat je aan het eten bent?

$(1,5)/24 = 3/48 = 1/16$ deel.

Hoeveel kijkt een mens gemiddeld in zijn leven televisie?

$2/12 = 1/6$ deel van $84$ is $14$ jaar.

Schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk en haal indien mogelijk de gehelen er uit.

$15/12 = ...$

$15/12 = 5/4 = 1 1/4$

$12/15 = ...$

$12/15 = 4/5$

$13/4 = ...$

$13/4 = 3 1/4$

$4/13 = ...$

$4/13 = 4/13$

$5/85 = ...$

$5/85 = 1/17$

$85/5 = ...$

$85/5 = 17$

Schrijf de volgende breuken als decimale getallen.
Geef waar nodig een benadering in vijf decimalen.

$7/3 = ...$

$7/3 ~~ 2,33333$

$13/12 = ...$

$13/12 ~~ 1,08333$

$8 3/25 = ...$

$8 3/25 = 8,12$

$1/19 = ...$

$1/19 ~~ 0,05263$

$4/21 = ...$

$4/21 ~~ 0,19048$

Schrijf de volgende getallen als een zo eenvoudig mogelijke breuk.

$2,17 = ...$

$2,17 = 2 17/100$

$0,0125 = ...$

$0,0125 = 1/80$

$0,675 = ...$

$0,675 = 27/40$

$0,0002 = ...$

$0,0002 = 1/5000$

Je kunt de euromunten die delen van $1$ euro voorstellen, weergeven door een breuk. Zo is de munt van $50$ eurocent weer te geven als $1/2$ . En zo kun je 2,50 weergeven als $2 + 1/2$ .

Laat zien dat 2,50 ook is te schrijven als $2 + 2/5 + 1/10$ .

2,50 is $2$ euro, $2$ munten van $20$ cent en $1$ munt van $10$ cent.

Geef nog minstens twee andere manieren om 2,50 weer te geven met breuken.

Bijvoorbeeld $2 + 25/50$ en $2 + 5/10$ .

Geef ook 0,99 op minstens drie manieren weer met behulp van breuken.

Bijvoorbeeld $9/10 + 9/100$ en $4/5 + 1/10 + 1/20 + 4/100$ en $1/2 + 2/5 + 1/20 + 2/50$ .

Vul $lt$ , $gt$ ; of $=$ in:

$2/11 ... 3/11$

$2/11 lt 3/11$

$2/11 ... 2/10$

$2/11 lt 2/10$

$2/10 ... 3/11$

$2/10 lt 3/11$

$1 3/8 ... 1 1/3$

$1 3/8 gt 1 1/3$

$1/3 ... 0,33$

$1/3 gt 0,33$

$0,1538 ... 2/13$

$0,1538 lt 2/13$

Volgens de statuten van sportclub LLDM moet $3/4$ deel van de leden op een vergadering aanwezig zijn om over een voorstel te mogen stemmen. Als men over een wijziging van de statuten stemt moet $2/3$ van de aanwezigen vóór stemmen om die wijziging aan te nemen.

Op een ledenvergadering zijn $176$ van de $234$ leden aanwezig. Mag er worden gestemd?

$3/4 = 0,75$ en $176/234 ~~ 0,752$ , dus er zijn voldoende leden aanwezig.

Voor een voorstel tot wijziging van de statuten stemmen $117$ van de aanwezige leden. Wordt het voorstel aangenomen?

$2/3 ~~ 0,667$ en $117/176 ~~ 0,665$ , dus het voorstel tot wijziging van de statuten wordt verworpen.

Fietsen hebben een voortandwiel (dat aan de trapas vast zit) en een achtertandwiel aan de achteras. Het aantal tanden van die tandwielen bepalen de versnelling. Voortandwielen hebben gemiddeld $42$ tot $54$ tanden; achtertandwielen $12$ tot $34$ tanden.

Bij het werken met tandwielen van verschillende groottes heb je met breuken (verhoudingen) te maken.

Deze animatie van het museum Exploratorium in San Francisco, USA, laat zien hoe de overbrenging bij een fiets in elkaar zit.