het begrip procent (en promille) gebruiken

rekenen met percentages (en promillages).

rekenen met positieve en negatieve decimale getallen;

werken met verhoudingstabellen;

rekenen met breuken.

In het jaar 2000 gaf Nederland volgens het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) $5,5$ % van de totale uitgaven (overheid, bedrijven, instellingen en huishoudens samen) aan onderwijs uit.

Leg uit hoeveel euro per uitgave van € 100,00 besteed werd aan onderwijs.

Van elke € 100,00 die uitgegeven werd, ging € 5,50 naar het onderwijs.

$5,5$ % van € 100,00 is: $(5,5)/100$ deel van 100 euro, ofwel $5,5$ euro. Dus van elke € 100,00 die uitgegeven werd, ging € 5,50 naar het onderwijs.

Welk deel van elke euro van de totale Nederlandse uitgaven ging dat jaar naar het onderwijs?

$11/200$ deel

$(5,5)/100=11/200$ deel

Vroeger gaven scholieren minder geld uit dan nu. In 1984 gaven ze gemiddeld € 53,00 per maand uit. Er kwam toen gemiddeld € 103,00 per maand binnen. In de loop van de jaren is dit veranderd. De gemiddelde totale uitgaven waren enkele tijd geleden € 100,00 per maand tegenover € 144,00 aan inkomsten. In 1984 hield een scholier aan het einde van de maand dus een groter deel van zijn inkomen over dan tegenwoordig het geval is. De gemiddelde prijsstijging in deze tijd is 63%. Anno nu zou een scholier uit 1984 dus € 86,00 uitgeven. Jongeren van nu besteden beduidend meer, terwijl hun inkomsten niet evenredig zijn toegenomen met de prijsstijgingen.

In 1984 gaf de gemiddelde scholier € 53,00 per maand uit. Hoeveel hield een scholier in dat jaar dan maandelijks over?

€ 50,00

Ontvangsten: € 103,00. Uitgaven: € 53,00.

$103,00 - 53,00 = 50,00$ euro

Hoeveel houdt een scholier tegenwoordig gemiddeld maandelijks over?

€ 44,00

Ontvangsten: € 144,00. Uitgaven: € 100,00.

$144,00 - 100,00 = 44,00$ euro

Is dat naar verhouding even veel?

Nee: $50 : 103$ is meer dan $44 : 144$ .

Je gaat na of $50/103$ groter of kleiner is dan $44/144$ . Je kunt dat op verschillende manieren doen:

Methode 1 (breuken uitrekenen): met je rekenmachine reken je uit dan $50/103=0,485$ en $44/144=0,306$ .

Methode 2 (verhoudingen vergelijken): $50/103$ kan niet vereenvoudigd worden. $44/144=22/72=11/36$ . Kleinste gemene veelvoud van 103 en 36 is $103xx36$ . De verhoudingstabellen worden dan zo:

50	$50xx36=1800$
103	$103xx36=3708$

44	11	$11xx103=1133$
144	36	$36xx103=3708$

Je ziet dat $50/103$ groter is dan $44/144$ .

Methode 3 (breuken vergelijken): vergelijken van de breuken $50/103$ en $44/144=11/36$ . Van de linkerbreuk teller en noemer vermenigvuldigen met 36 en van de rechterbreuk teller en noemer vermenigvuldigen met 103 levert:

$(50xx36=1800)/(103xx36)$ en $(11xx103=1133)/(36xx103)$

Bij alle drie de methodes zie je dat de verhoudingen niet evenveel zijn, want $50:103$ is meer dan $44:144$ .

naar: nationaal scholieren onderzoek Nibud

Het Latijnse pro centum betekent per honderd. Dus $1$ procent ( $1$ %) betekent $1$ van elke $100$ .

Dat is $1/100$ deel van het totaal. Je schrijft: $1% = 1/100 = 0,01$ .

Dus $1$ % van $500$ is $1/100$ deel van $500$ . Dat is $1/100 xx 500 = 5$ of $0,01xx500=5$ .

En $12$ % van $500$ is $12/100$ deel van $500$ . Dat is $12/100 xx 500 = 60$ of $0,12xx500=60$ .

$100$ % van $500$ is $500$ .

$1$ %, $12$ %, $100$ % en dergelijke zijn percentages.

percentage	100	1	12
hoeveelheid	500	5	60

Op de vraag welk percentage $60$ is van $500$ , is het antwoord: $12$ %. Dit kun je met een verhoudingstabel uitrekenen, in dit geval via $1$ .

Veel gebruikt wordt ook promille, dat is $1$ op de $1000$ . Het teken daarvoor is ‰.
$4$ ‰ is een promillage van $4$ . $4$ ‰ van $500$ is $4/1000 * 500 = 2$ .

$45$ % komt overeen met $45/100$ deel.

Met welk deel komt $23$ % overeen?

$23/100$

Bereken $23$ % van $150$ .

$34,50$

$23/100 * 150 = 34,5$

Laat zien dat $25$ % overeenkomt met $1/4$ deel.

$25/100 = 1/4$

Waarom is $33$ % niet precies gelijk aan $1/3$ deel? Is het meer of minder?

$33/100 = 0,33$ en $1/3 = 0,33333333...$
Dus $33$ % is iets minder dan $1/3$ deel.

Bereken.

$10$ % van $350$ .

$10$ % van $350$ is $10/100xx350=35$

$12$ ‰ van € 68,00.

$12/1000 xx 68 = 0,816$ , dus € 0,82.

Hoeveel procent is $15$ van de $1560$ ?

$15/1560 ~~ 0,0096$ en $0,0096 xx 100 = 0,96$ %.

Van welk bedrag is 45,00 $20$ %?

Bijvoorbeeld met een verhoudingstabel en via $1$ rekenen:

bedrag	45	2,25	225
percentage	20	1	100

Dus van 225,00.

Meer dan $100$ % komt ook voor. De inkomsten per maand van een twaalfjarige scholier bedroegen enige tijd geleden gemiddeld € 49,00. Van een achttienjarige scholier was dit € 358,00.

Hoeveel procent bedragen de inkomsten van een achttienjarige ten opzichte van die van een twaalfjarige?

$358/49 ~~ 7,31$ dus dat is $731$ %.

$1$ procent is $1/100 = 0,01$ . Dus $1$ % ergens van is $1/100$ deel daarvan.

getal	125	‌	50
procent	100	1	?

Bij het rekenen met procenten kun je werken met verhoudingstabellen.
Daarin bereken je bijvoorbeeld welk percentage (hoeveel procent) $50$ van de $125$ is:

$50/125 * 100 = 40$ %.

Je gebruikt procenten vooral om te vergelijken.
Het is niet eenvoudig om te zeggen of $11$ van de $43$ een groter of kleiner deel is dan $23$ van de $81$ .
Wanneer je berekent hoeveel procent $11$ van de $43$ is ( $25,58…$ %) en hoeveel procent $23$ van de $81$ is ( $28,39…$ %), dan kun je het antwoord zo geven.

$1$ promille is $1/1000$ . Het teken daarvoor is ‰.
$4$ ‰ is een promillage van $4$ . $4$ ‰ van $500$ is $4/1000 * 500 = 2$ .

Wat is meer: $23$ van de $53$ of $31$ van de $64$ ?

aantal	53	23
procent	100	?

Je kunt werken met een verhoudingstabel: $?=23/53 * 100~~43,4$ %.
Of je deelt: $23/53 ~~ 0,434$ , dus is het $43,4$ %.

aantal	64	31
procent	100	?

Je kunt werken met een verhoudingstabel: $?=31/64 * 100~~48,4$ %.
Of je deelt: $31/64 ~~ 0,484$ , dus is dit $48,4$ %.

Conclusie: $31$ van $64$ is meer dan $23$ van $53$ .

Wat is naar verhouding meer?

$5$ van de $11$ of $45$ van de $100$

$5$ van de $11$ .

$5/11=0,4545...~~45,5$ % en dat is meer dan $45/100$ .
$5/11$ is dus meer.

$23$ % of $15/71$ deel

$23$ %

$15/71~~0,211...~~21,1$ % en dat is minder dan $23$ %.
Dus $23$ % is meer.

Jaap spaart maandelijks € 18,00 van zijn € 55,00 inkomsten. Zijn oudere broer Willem heeft maandelijks € 125,00 aan inkomsten en spaart € 40,00 euro per maand.

Wie spaart naar verhouding het meest?

Jaap: $18/55 ~~ 0,33$ dus ongeveer $33$ %.
Willem: $40/125 = 0,32$ dus $32$ %.
Jaap spaart naar verhouding het meest.

Ooit was al ons gas om te koken en het huis te verwarmen afkomstig uit Nederland, maar tegenwoordig wordt ook gas uit het buitenland gekocht. In 2013 was $63$ % van het gebruikte gas afkomstig uit Nederland. Dit was samen $38,7$ miljard m3 gas. Hoeveel aardgas was afkomstig uit het buitenland?

miljard m3 gas	38,7	?
procent	63	37

Het buitenland leverde $100 - 63 = 37$ %.
Met een verhoudingstabel: $?=37/63*38,7~~ 22,7$ miljard m3.

Een basketballer heeft van de zestien doelpogingen veertien keer gescoord.

Hoe hoog is zijn scoringspercentage?

$14/16 = 7/8 =0,875=87,5$ %

Bekijk de voedingswaardetabel van karnemelk per portie van 150 gram.

Voor hoeveel procent bestaat deze karnemelk uit water?

$(136,5)/150 = 0,91=91$ %

Hoeveel procent vet bevat de karnemelk?

$(0,6)/150 = 0,004=0,4$ %

Bij het werken met procenten gaat het vaak om:

Percentage erbij: Een winkelier koopt zijn artikelen voor een bepaalde inkoopprijs. Hij wil ze verkopen voor een verkoopprijs die bijvoorbeeld $12$ % hoger ligt. Hij moet dan bij elk artikel $12$ % van de inkoopprijs optellen, ofwel de inkoopprijs met $1+0,12=1,12$ vermenigvuldigen.

Percentage eraf: Een winkelier doet bepaalde artikelen in de uitverkoop. Van alle verkoopprijzen gaat bijvoorbeeld $8$ % af, ofwel hij moet de inkoopprijs met $1-0,08=0,92$ vermenigvuldigen.

Wil je weten met hoeveel procent een hoeveelheid gestegen of gedaald is?
Als bijvoorbeeld de temperatuur van water van $45$ graden naar $65$ graden stijgt, is de stijging $65-45=20$ graden. Dat is een stijging van $20/45=0,444=44,4$ %.

Bereken de nieuwe prijs of het nieuwe bedrag.

Je koopt een fiets van € 650,00 en krijgt $12,5$ % korting.

€ 568,75

Je moet $100 - 12,5 = 87,5$ % betalen. Dit is:

bedrag	650	?
procent	100	87,5

$?=(87,5)/100*650=568,75$ euro

De contributie van de tafeltennisclub is € 120,00 per jaar en wordt met $5$ % verhoogd.

€ 126,00

Je moet nu $100 + 5 = 105$ % betalen. Dit is:

bedrag	120	?
procent	100	105

$?=105/100*120=126$ euro

Sinds 1960 is de prijs van benzine met ongeveer $180$ % gestegen. Toen kostte $1$ liter benzine € 0,54.

€ 1,512

Benzine kost nu $100 + 180 = 280$ % van de oude prijs.

bedrag	0,54	?
procent	100	280

$?=280/100*0,54~~1,512$ euro

Je haalt van een bedrag eerst $10$ % af en doet er dan weer $10$ % van het nieuwe bedrag bij. Laat met een berekening zien of je weer hetzelfde bedrag hebt gekregen.

Nee, bijvoorbeeld $100xx0,9xx1,1=99$ .

Bereken het percentage.

Hoeveel procent is $1/10$ deel?

$10$ %

$1/10=10/100=10$ %

Hoeveel procent is $5$ van de $20$ ?

$25$ %

$5/20=25/100=25$ %

Hoeveel procent is € 3,50 van € 21,00? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

$~~16,7$ %

bedrag in €	21	3,5
procent	100	?

$?= (3,5)/21 * 100~~ 16,7$ %

Een bedrag neemt af van € 125,00 naar € 100,00. Hoeveel procent is de korting?

$20$ %

De korting is $125,00 - 100,00 = 25,00$ euro.

bedrag in €	125	25
procent	100	?

$?= 25/125 * 100= 20$ %

Een bedrag neemt toe van € 100,00 naar € 125,00. Hoeveel procent is de toename?

$25$ %

De toename is $125,00 - 100,00 = 25,00$ euro.

bedrag in €	100	25
procent	100	?

$?= 25/100 * 100 = 25$ %

Bereken het bedrag.

Hoeveel is $4$ % van € 1000,00?

€ 40,00

bedrag in €	1000	?
procent	100	4

$?= 4/100 * 1000 =40$ ; € 40,00

Een bedrag van € 1,34 wordt met $12$ % verhoogd. Bereken de nieuwe prijs.

€ 1,50

Het bedrag neemt toe van $100$ % naar $100+12=112$ %.

bedrag in €	1,34	?
procent	100	112

$?= 112/100 * 1,34 ~~ 1,50$ ; € 1,50

Een bedrag van € 24,65 wordt met $28$ % verlaagd. Bereken de nieuwe prijs.

€ 17,75

De prijs verandert van $100$ % naar $100-28=72$ %.

bedrag in €	24,65	?
procent	100	72

$?= 72/100 * 24,65 ~~ 17,75$ ; € 17,75

Een bedrag is met $10$ % verhoogd en is nu € 127,50. Bereken de oude prijs.

€ 115,91

De prijs is nu $100 + 10 = 110$ %.

bedrag in €	127,50	?
procent	110	100

$?= 100/110 * 127,5~~ 115,91$ ; € 115,91

Een bedrag is met $24$ % verlaagd en is nu € 40,80. Bereken de oude prijs.

€ 53,68

De prijs is nu $100 - 24 = 76$ %.

bedrag in €	40,80	?
procent	76	100

$?= 100/76* 40,80~~ 53,68$ ; € 53,68

Bereken.

Je krijgt $2/7$ deel van € 140,00. Hoeveel procent is dat? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

28,6%

aantal	7	2
procent	100	?

$?= 2/7*100~~ 28,6$

Een trui is afgeprijsd van € 39,00 voor € 34,50. Hoeveel procent is de korting? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

$~~11,5$ %

De korting is $39,00 - 34,50 = 4,50$ euro.

bedrag in €	39,00	4,50
procent	100	?

$?= (4,50)/(39,00)*100~~ 11,5$
De korting bedraagt 11,5%.

Een telefoonabonnement is duurder geworden, van € 15,00 naar € 18,00. Hoeveel procent is het duurder geworden?

$20$ %

Het is $18,00 - 15,00 = 3,00$ euro duurder. Dit is:

bedrag in €	15,00	3,00
procent	100	?

$?= (3,00)/(15,00)*100=20$
Het abonnement is $20$ % duurder.

Het water van de Rijn verdeelt zich als het Nederland binnenkomt over meerdere rivieren. Eerst gaat $65$ % van het water naar de Waal en $35$ % naar het Pannerdensch Kanaal. Dat kanaal splitst zich vlak voor Arnhem, waarbij $60$ % van het water naar de Nederrijn stroomt en $40$ % naar de IJssel.

Hoeveel procent van het Rijnwater stroomt door de IJssel?

$0,40 xx 0,35 = 0,14=14$ %

In het Ruhrgebied in Duitsland wordt het water van de Rijn vervuild doordat er een bepaalde hoeveelheid kleurstof wordt geloosd. Onderzoekers schatten dat $640$ kilogram van die kleurstof in de IJssel terecht is gekomen. Hoeveel kilogram kleurstof is er geloosd?

$640/14 xx 100 ~~ 4571$ kilogram.

$640$ kilogram is $14$ % (zie a).

Dus $1$ % is $640/14 ~~ 45,71$ kilogram. En dus is $100$ % gelijk aan $4571$ kg. Dus er is $4571$ kg geloosd.

Marianne is met haar vriendin Anneke aan het winkelen. Op een gegeven moment komen ze langs een winkel met aanbiedingen. Daar stormen ze meteen naar binnen.

Marianne ziet een trui van € 49,98. Wat gaat die trui kosten met deze korting?

€ 37,49

$0,75 xx 49,98 = 37,485~~ 37,49$ euro

Anneke koopt twee spijkerbroeken met een winkelprijs van elk € 51,75. Wat betaalt ze daarvoor?

€ 82,80

$51,75 + 0,60 xx 51,75 = 82,80$ euro

Marianne ziet een blouse waarop $20$ % korting staat. De winkelprijs is € 33,50 en ze moet er € 27,00 voor betalen.

Klopt het kortingspercentage wel?

Nee, ze krijgt nu maar $19,4$ % korting.

$27/(33,50) = 0,806 = 80,6$ %. Ze krijgt dus 19,4% korting in plaats van 20%.

Je koopt een fiets van € 650,00 voor € 600,00. Hoeveel procent korting krijg je dan?

Bereken dit percentage door eerst de korting in euro's te berekenen.

Ongeveer $7,7$ % korting

$50$ euro korting, dat is $50/650 ~~ 0,077~~7,7$ % korting.

Bereken dit percentage door rechtstreeks met de bedragen $600$ en $650$ te rekenen.

$600/650 ~~ 0,923$ , dus $600=0,923xx650$ . In woorden: $600$ is $92,3$ % van $650$ dus $100-92,3=7,7$ % minder.

Btw is de afkorting voor belasting toegevoegde waarde. Die belasting betaal je meestal bij het kopen van een product of dienst. De belastingdienst maakt onderscheid tussen luxe artikelen ( $21$ % btw) en basisartikelen ( $6$ % btw) zoals brood.

Je zus koopt een elektrische scooter. De winkelier verkoopt deze voor € 2250,00. Dit is de prijs zonder btw (dat heet exclusief btw). Hij moet $21$ % btw rekenen: de scooter kost daarom $21$ % meer. Hij kost dan:
$1,21 xx 2250,00 = 2722,50$ euro inclusief btw.

Meestal zet de winkelier de prijs al meteen inclusief btw op het artikel. Je koopt een fiets en je betaalt € 900,00 inclusief $21$ % btw. Hoeveel btw heb je dan betaald?

De winkelier heeft de verkoopprijs berekend door de prijs zonder btw te vermenigvuldigen met $1,21$ .
De prijs zonder btw krijg je dus terug door te delen door $1,21$ :
$900/(1,21)~~743,80$ euro.
De btw is: $900-743,80=156,20$ euro.

Je kunt ook met een verhoudingstabel via $1$ rekenen.

Denk erom dat je nu niet $21$ % van $900$ kunt uitrekenen en dat van de $900$ aftrekken, want de € 900,00 is het bedrag dat tot stand komt nadat er $21$ % bij opgeteld is. Je moet dan $900$ op $121$ % stellen.

Bekijk de rekenvoorbeelden met btw hierboven.

Voor een fiets betaal je € 650,00, exclusief $21$ % btw.

Hoeveel betaal je voor deze fiets inclusief btw?

$1,21 xx 650 = 786,50$ euro

Voor een koelkast betaal je € 677,60, inclusief $21$ % btw.

Hoeveel euro bedraagt de btw?

De btw is € 117,60.

$121$ % is € 677,60 dus $1$ % is $(677,60)/121 = 5,60$ euro.
De btw is $21$ % dus € 117,60.

Hoeveel kost deze koelkast zonder btw?

De prijs exclusief btw is $100$ %, dus € 560,00.

Methode 1: prijs excl. btw is $(677,60)/(1,21)= 560,00$ euro.

Methode 2: prijs excl. btw is $677,60-117,60=560,00$ euro.

In de horeca bestaat ook het lage btw-tarief van $6$ %.
Dat tarief geldt voor het leveren van voedsel en (niet-alcoholische) dranken.
Je eet in een restaurant een maaltijdsalade met een glas bubbelwater. Dat kost je € 8,75 inclusief btw.

Hoeveel bedraagt de prijs exclusief btw?

€ 8,25

€8,75 is $106$ %, dus de prijs exclusief btw is $(8,75) / (1,06) ~~ 8,25$ euro.

Bij een loterij worden $750$ loten verkocht.
Er zijn twee eerste prijzen van € 35,00, drie tweede prijzen van € 25,00 en vier derde prijzen van € 5,00.
$15$ % van de inkomsten wordt uitgekeerd aan prijzen.

Wat kost een lot? Rond af op $10$ cent.

€ 1,50

Prijzen: $2xx35+3xx25+4xx5= 165,00$ euro, en dat is $15$ %.

15%	5%	100%
€ 165	€ 55	€ 1100

$(1100)/750 = 1,466~~1,50$ euro

Hoeveel promille van de inkomsten wordt er aan derde prijzen uitbetaald?

$~~18,2$ ‰

Derde prijzen: $4xx5=20$ euro, dat is $20/1100~~0,0182=18,2$ ‰

Je kunt in de uitverkoop sneakers kopen voor € 125,00 met $10$ % korting of voor € 150,00 met $21$ % korting. Hoeveel procent prijsverschil hebben - na aftrek van de korting - de duurste sneakers ten opzichte van de goedkoopste?

Ongeveer $5$ %

$0,9xx125=112,50$

$0,79xx150=118,50$

$(118,50)/(112,50)xx100~~105$ %. Het prijsverschil is dus ongeveer $5$ %.