de begrippen wortel en hogere machtswortel en deze berekenen/benaderen;

wortelvormen herleiden.

rekenen met positieve en negatieve decimale getallen, breuken en machten met de juiste rekenvolgorde;

oppervlakte van een vierkant en inhoud van een kubus berekenen.

Van een vierkant met zijde $3$ is de oppervlakte $3^{2} = 9$ .
Van een vierkant met oppervlakte $9$ is de zijde $\sqrt{9} = 3$ .
Worteltrekken is terugrekenen vanuit een kwadraat.

Je ziet hier een vierkant $A B C D$ met oppervlakte $10$ . Hoe lang is de zijde exact? En ongeveer?

$\sqrt{10}$ en dat is ongeveer $3,16$ .

Door vier van die vierkanten tegen elkaar te leggen, kun je weer een vierkant maken. De zijde ervan kun je op twee manieren berekenen.

Welke oppervlakte heeft dit vierkant? Op welke twee manieren kun je de zijde ervan berekenen?

De oppervlakte van het vierkant is $40$ en dus is elke zijde $\sqrt{40}$ . Maar elke zijde is ook $2 \sqrt{10}$ .

Rechthoek $A E F D$ heeft een lengte van $\sqrt{40}$ en een breedte van $\sqrt{10}$ .

Laat zien dat hieruit volgt $sqrt(40)*sqrt(10)=sqrt(40*10)$ .

De oppervlakte van deze rechthoek is $sqrt(40)*sqrt(10)=sqrt(40*10)$ en die oppervlakte is ook $20 = \sqrt{400}$ roosterhokjes.

Laat ook zien, dat $2*(2sqrt(10)+sqrt(10)) = 6sqrt(10)$ .

Dit is de omtrek van rechthoek $A E F D$ op twee manieren opgeschreven.

Van een kubus met ribbe $2$ is de inhoud $2^{3} = 8$ .
Van een kubus met inhoud $8$ is de ribbe $\sqrt[3]{8} = 2$ .
Derdemachts worteltrekken is terugrekenen vanuit een derde macht.

Hoe lang is een ribbe van een kubus met inhoud $10$ exact? En ongeveer?

$\sqrt[3]{10}$ en dat is ongeveer $2,15$ .

Door acht van die kubussen tegen elkaar te leggen, kun je weer een kubus maken. De ribbe ervan kun je op twee manieren berekenen.

Welke inhoud heeft deze kubus? Op welke twee manieren kun je de ribbe ervan berekenen?

De inhoud van de kubus is $80$ en dus is elke zijde $\sqrt[3]{80}$ . Maar elke zijde is ook $2*root[3](10)$ .

Een balk die bestaat uit twee van deze kubussen heeft een lengte van $\sqrt[3]{80}$ en een breedte en een hoogte van $\sqrt[3]{10}$ .

Laat zien dat hieruit volgt $root[3](80)*root[3](10)*root[3](10) = root[3](80*10*10)$ .

De inhoud van deze balk is $root[3](80)*root[3](10)*root[3](10)$ en die inhoud is ook $20 = \sqrt[3]{8000}$ .

Worteltrekken is terugrekenen vanuit kwadrateren.
De wortel uit $9$ is $3$ omdat $3^{2} = 9$ . Je schrijft:

$\sqrt{9} = 3$

Helaas zijn de meeste getallen geen zuivere kwadraten en kun je de wortels eruit alleen maar benaderen: $sqrt(2) ~~ 1,4142$ .
Maar vroegtijdig benaderen is in berekeningen vaak niet gewenst. En daarom moet je het rekenen met wortels oefenen. Bijvoorbeeld:

$sqrt(3)*sqrt(2)=sqrt(3*2)=sqrt(6)$

$sqrt(6)//sqrt(2)=sqrt(6//2)=sqrt(3)$

Alleen gelijke wortels kun je optellen of aftrekken: $3 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} = 5 \sqrt{10}$ , maar $3 \sqrt{10} + 2 \sqrt{11}$ kun je niet verder vereenvoudigen.

Bij worteltrekken gaat het om terugrekenen vanuit een kwadraat. Maar er bestaan ook hogere machten. Bij het terugrekenen vanuit derde machten spreek je van derdemachts worteltrekken, bij het terugrekenen vanuit vierde machten van vierdemachts worteltrekken, enz.
Met hogere machtswortels kun je op dezelfde manier rekenen als met gewone wortels. Bijvoorbeeld is:

$root[3](64) = 4$ omdat $4^3 = 64$

Er is wel één ding waar je op moet letten: derde machten en vijfde machten, enz., kunnen ook negatief zijn. En kwadraten, vierde machten, zesde machten, enz., kunnen niet negatief zijn. Dit betekent dat $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , maar $\sqrt[4]{- 16}$ geen reëel getal is.

In de Uitleg wordt behalve over gewone wortels ook gesproken over hogere machtswortels. Bereken de volgende hogere machtswortels en laat ook zien dat ze juist zijn.

$\sqrt[3]{64}$

$\sqrt[3]{64} = 4$ , want $4^{3} = 64$ .

$\sqrt[3]{- 343}$

$\sqrt[3]{- 343} = - 7$ , want ${(- 7)}^{3} = - 343$ .

$\sqrt[4]{16}$

$\sqrt[4]{16} = 2$ , want $2^{4} = 16$ .

$\sqrt[4]{- 16}$

$\sqrt[4]{- 16}$ bestaat niet, want er is geen getal waarvan de vierde macht $- 16$ is.

$\sqrt[5]{243}$

$\sqrt[5]{243} = 3$ , want $3^{5} = 243$ .

Bekijk in de Uitleg hoe je met wortels kunt rekenen. Je kunt door kwadrateren aantonen dat de rekenregels juist zijn.

Waarom is een wortel wel een tweede machtswortel?

Omdat hij hoort bij het terugrekenen vanuit een kwadraat, dus een tweede macht.

Gebruik de rekenregels om de volgende uitdrukkingen met wortels te vereenvoudigen.

$5sqrt(15)-sqrt(3)*sqrt(5)$

$5sqrt(15)-sqrt(3)*sqrt(5) = 5*sqrt(15)-sqrt(15) = 4*sqrt(15)$

$(4*sqrt(42))/(2sqrt(3))+2sqrt(2)*sqrt(7)$

$(4*sqrt(42))/(2sqrt(3))+2sqrt(2)*sqrt(7) = 2*sqrt(14)+2*sqrt(14) = 4*sqrt(14)$

Met derdemachtswortels kun je net zo rekenen als met gewone wortels. Toch is er een verschil.

Waarom is de derdemachtswortel uit een negatief getal wel mogelijk? Geef een voorbeeld.

Omdat derde machten ook negatief kunnen zijn. Bijvoorbeeld $\sqrt[3]{-64} = -4$ omdat ${(-4)}^{3} = -64$ .

Gebruik de rekenregels om de volgende uitdrukkingen met wortels te vereenvoudigen.

$5root[3](15)-root[3](3)*root[3](5)$

$5root[3](15)-root[3](3)*root[3](5) = 5*root[3](15)-root[3](15) = 4*root[3](15)$

$(4*root[3](42))/(2root[3](3))+2root[3](2)*root[3](7)$

$(4*root[3](42))/(2root[3](3))+2root[3](2)*root[3](7) = 2*root[3](14)+2*root[3](14) = 4*root[3](14)$

Worteltrekken is terugrekenen vanuit kwadrateren.
n-de-machts worteltrekken is terugrekenen vanuit een $n$ de macht. Zo geldt:

$sqrt(49) = sqrt(7^2) = 7$
$root[3](243) = root[3](7^3) = 7$

Het rekenen met wortels gaat zo:

$sqrt(7)*sqrt(5)=sqrt(7*5)$ en $root[3](7)*root[3](5) = root[3](7*5)$

$sqrt(7)//sqrt(5)=sqrt(7//5)$ en $root[3](7)//root[3](5) = root[3](7//5)$

Alleen gelijke wortels kun je optellen en/of aftrekken.

In de rekenvolgorde komen machten en wortels voor vermenigvuldigen en delen.

Let er op dat oneven machten ook negatief kunnen zijn. En even machten kunnen niet negatief zijn. Dit betekent dat bijvoorbeeld dat $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , maar dat $\sqrt[4]{- 16}$ geen reëel getal is.

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

H: je berekent eerst wat er binnen de haakjes staat (of in de teller en noemer van een breuk);

MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn. Hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Bereken nu $2 *sqrt(16 )+2 *3 -4 *(2 +6 )/(2^3)$ .

$2 *sqrt(16 )+2 *3 -4 *(2 +6 )/(2^3)$
$=2 *sqrt(16 )+2 *3 -4 *8/8$
$=2 *4+2 *3 -4 *8/8$
$=8+6 -4$
$=10$

Let op de rekenvolgorde en bereken.

$4 *2^5-400 /sqrt(16 )$

$4 *2^5-400 /sqrt(16 )=28$

$4 *2^5-400 /sqrt(16 )=4*32-400/4=4*32-100=128 -100 =28$

$(2^3+3^2) ^2/17 -root3 (64 )$

$(2^3+3^2) ^2/17 -root3 (64 )=13$

$(2^3+3^2) ^2/17 -root3 (64 )=(8+9)^2/17-4=17^2/17-4=17-4 =13$

$(2 * {: root3 (2) :}) ^3$

$(2 * {: root3 (2 ) :} )^3 = 16$

$(2 * {: root3 (2 ) :} ) ^3 = 2^3*( {: root3(2) :} )^3 = 8 * 2 = 16$

Hier zie je hoe je met behulp van de rekenregels voor wortels uitdrukkingen kunt herleiden.

$2*sqrt(10) + sqrt(50)/sqrt(5) = 2*sqrt(10) + sqrt(10) = 3*sqrt(10)$

$2*root[3](15) + 4*root[3](3)*root[3](5)= 2*root[3](15) + 4*root[3](15)= 6*root[3](15)$

$3/(sqrt(2)) = (3*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = (3*sqrt(2))/(sqrt(2^2)) = (3*sqrt(2))/2 = 3/2*sqrt(2)$

Bekijk de herleidingen in Voorbeeld en loop ze even na. Herleid zelf de volgende uitdrukkingen tot er geen wortels meer in de noemer van een breuk staan en ze zo eenvoudig mogelijk zijn.

$sqrt(30) + 4sqrt(2)*sqrt(15)$

$sqrt(30) + 4sqrt(2)*sqrt(15) = sqrt(30) + 4*sqrt(30) = 5*sqrt(30)$

$(sqrt(5))^5 - sqrt(5)$

$(sqrt(5))^5 - sqrt(5) = sqrt(5)^2 * sqrt(5)^2 * sqrt(5) - sqrt(5) = 25*sqrt(5) - sqrt(5) = 24*sqrt(5)$

$sqrt(2)*sqrt(5) + 5/(2sqrt(10))$

$sqrt(2)*sqrt(5) + 5/(2sqrt(10)) = sqrt(10) + (5*sqrt(10))/(2*sqrt(10)*sqrt(10)) = sqrt(10) + (5*sqrt(10))/20 = sqrt(10) + 1/4 * sqrt(10) = 1 1/4 sqrt(10)$

$root[3](2)*root[3](3) - (root[3](36))/(root[3](6))$

$root[3](2)*root[3](3) - (root[3](36))/(root[3](6)) = root[3](6) - root[3](36/6) = 0$

Bereken of benader de volgende wortels in drie decimalen nauwkeurig

$sqrt(2 1/4)$

$sqrt(2 1/4) = sqrt(9/4) = 3/2 = 1 1/2$

$sqrt(1 1/4)$

$sqrt(1 1/4) ~~ 1,118$

$root[3](66)$

$root[3](66) ~~ 4,041$

$root[3](3 3/8)$

$root[3](3 3/8) = root[3](27/8) = 3/2 = 1,5$

Bereken de volgende wortels en controleer het antwoord door machtsverheffen.

$\sqrt{1024}$

$\sqrt{1024} = 32$ want $32^{2} = 1024$ .

$\sqrt[5]{1024}$

$\sqrt[5]{1024} = 4$ want $4^{5} = 1024$

$\sqrt[10]{1024}$

$\sqrt[10]{1024} = 2$ want $2^{10} = 1024$

Herleid de volgende wortelvormen tot ze zo eenvoudig mogelijk zijn.

$3*sqrt(16)+sqrt(2)*sqrt(8)$

$3*sqrt(16)+sqrt(2)*sqrt(8) = 3*4 + sqrt(16) = 12 + 4 = 16$

$(root[4](10))^8$

$(root[4](10))^8 = (root[4](10))^4 * (root[4](10))^4 = 10 * 10 = 100$

$\frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{5}$

$\frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{5} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} - \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$(2*root[3](16))/(root[3](8)) - root[3](2)$

$(2*root[3](16))/(root[3](8)) - root[3](2) = 2*root[3](16/8) - root[3](2) = 2*root[3](2) - root[3](2) = root[3](2)$

Bereken.

$(sqrt(81)-4)^2//(5^2 - sqrt(6^2 + 8^2))$

$(sqrt(81)-4)^2//(5^2 - sqrt(6^2 + 8^2)) = 5^2 // (25 - 10) = 25//15 = 5/3$

$root[3](10^2//2+4*5-sqrt(3)*sqrt(12))$

$root[3](10^2//2+4*5-sqrt(3)*sqrt(12)) = root[3](50+20-sqrt(36)) = root[3](70-6) = root[3](64) = 4$

Een balk heeft ribben van $4$ , $8$ en $12$ cm.

Bereken de lengtes van alle mogelijke zijvlaksdiagonalen.

$sqrt(4^2+8^2) = sqrt(80) = 4sqrt(5)$
$sqrt(4^2+12^2) = sqrt(160) = 4sqrt(10)$
$sqrt(8^2+12^2) = sqrt(208) = 4sqrt(13)$

Bereken de lengte van alle lichaamsdiagonalen.

$sqrt(4^2+8^2+12^2) = sqrt(224) = 4sqrt(14)$

Je ziet hier twee tekendriehoeken zoals die in veel wiskundelokalen nog wel voorkomen.
De éne driehoek is rechthoekig en gelijkbenig en heeft daarom dezelfde vorm als je geodriehoek. Als de beide rechthoekszijden $1$ zijn, is de langste zijde $sqrt(2)$ .
Je berekent dit met de stelling van Pythagoras.
Die stelling zegt dat in elke rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde: $a^2 + b^2 = c^2$ als $a$ en $b$ de rechthoekszijden zijn.

De andere tekendriehoek is ook rechthoekig en is de helft van een gelijkzijdige driehoek. Als de kortste rechthoekszijde $1$ is, dan is de langste zijde (ook wel de schuine zijde) $2$ en de langste rechthoekszijde dus $sqrt(3)$ (gebruik de stelling van Pythagoras).

Bekijk de twee tekendriehoeken hierboven. Je ziet hoe lang hun zijden zijn als de kleinste een lengte van $1$ eenheid heeft. Neem eerst een driehoek die dezelfde vorm heeft als de geodriehoek.

Laat zien dat de langste zijde $sqrt(2)$ cm is als de twee rechthoekszijden $1$ cm zijn.

$1^2 + 1^2 = 2 = c^2$ dus de langste zijde is $c = sqrt(2)$ .

Hoe lang is de langste zijde als de kortste zijden $16$ cm zijn?

$16*sqrt(2)$ cm.

Neem nu de andere tekendriehoek.

Laat zien hoe je de andere zijden berekent als de kortste zijde $1$ cm is?

$a = 1$ , $c = 2$ en $1^2 + b^2 = 2^2$ cm.
Dus $b = sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(3)$ .

Hoe lang zijn alle zijden als de langste zijde $10$ cm is?

$10$ , $5$ en $5 \sqrt{3}$ cm.

Hoe lang zijn alle zijden als de langste rechthoekszijde $6$ cm is?

$6$ , $2 \sqrt{3}$ en $4 \sqrt{3}$ cm.

Je kunt de stelling van Pythagoras ook toepassen in drie dimensies.

Een balk heeft ribben van $4$ , $8$ en $12$ cm.

Bereken de lengtes van alle mogelijke zijvlaksdiagonalen.

$sqrt(4^2+8^2) = sqrt(80) = 4sqrt(5)$
$sqrt(4^2+12^2) = sqrt(160) = 4sqrt(10)$
$sqrt(8^2+12^2) = sqrt(208) = 4sqrt(13)$

Bereken de lengte van alle lichaamsdiagonalen.

$sqrt(4^2+8^2+12^2) = sqrt(224) = 4sqrt(14)$

Bereken of benader in drie decimalen nauwkeurig.

$sqrt(144)$

$12$

$root3(text(-)216)$

$root3(text(-)216)=text(-)6$

$sqrt(125)$

$sqrt(125) ~~ 11,180$

$root[3](100)$

$root[3](100) ~~ 4,642$

Bereken.

$(2^5 - 12)//(sqrt(64)-sqrt(9))$

$(2^5 - 12)//(sqrt(64)-sqrt(9)) = 20//(8-3) = 50//5 = 4$

$(sqrt(75) // sqrt(3) - 2)^4$

$(sqrt(75) // sqrt(3) - 2)^4 = (sqrt(25) - 2)^4 = (5-2)^4 = 3^4 = 81$

Herleid.

$sqrt(3)*sqrt(5) + 4*sqrt(30)//sqrt(2)$

$5*sqrt(15)$

$sqrt(3)*sqrt(5) + 4*sqrt(30)//sqrt(2) = sqrt(15) + 4 * sqrt(15) = 5*sqrt(15)$

$sqrt(162) - sqrt(32)$

$5*sqrt(2)$

$sqrt(162) - sqrt(32) = sqrt(81*2) - sqrt(16*2) = 9*sqrt(2) - 4*sqrt(2) = 5*sqrt(2)$

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het rekenen met wortels. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.