In dit onderwerp is het rekenen met breuken, procenten, machten en wortels voorbij gekomen.

Je hebt nu alle theorie van Rekenen II doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

breuk met teller en noemervereenvoudigengelijknamig maken en vergelijken

rekenen met breuken

procent, percentagepromille, promillage

macht met grondtal en exponentrekenen met machten

wortelhogere machtswortelrekenen met wortels

breuken vereenvoudigenbreuken vergelijken door gelijknamig makenbreuken omrekenen naar een decimaal getal;

breuken optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen;

rekenen met procentenrekenen met promillages

rekenen met machten en de juiste rekenvolgorde;

rekenen met (hogere machts)wortels en de juiste rekenvolgordewortelvormen herleiden.

Bereken met de hand (dus zonder rekenmachine):

$1/4 + 4/15 = ...$

$1/4 + 4/15 = 31/60$

$4/15 - 1/4 = ...$

$4/15 - 1/4 = 1/60$

$2 1/4 + 1 4/15 = ...$

$2 1/4 + 1 4/15 = 3 31/60$

$2 1/4 - 1 4/15 = ...$

$2 1/4 - 1 4/15 = 59/60$

$1/4 xx 4/15 = ...$

$1/4 xx 4/15 = 1/15$

$1/4 // 4/15 = ...$

$1/4 // 4/15 = 15/16$

$2 1/4 xx 1 4/15 = ...$

$2 1/4 xx 1 4/15 = 57/20 = 2 17/20$

$2 1/4 // 1 4/15 = ...$

$2 1/4 // 1 4/15 = 135/76 = 1 59/76$

Van de scooters die uit een fabriek komen is $2/3$ deel rood. $5/8$ deel van de rode scooters is elektrisch, de rest loopt op benzine.

Welke deel van alle scooters is rood en elektrisch?

$5/8 xx 2/3 = 10/24 = 5/12$ deel.

Per dag verlaten er $960$ scooters de fabriek.

Hoeveel daarvan zijn rood en elektrisch?

$5/12 * 960 = 400$ .

De rode scooters die op benzine lopen worden in de fabriek gevuld met elk $2 1/3$ liter benzine.

Hoeveel liter benzine wordt er dus op één dag getankt?

$240 * 2 1/3 = 560$ liter.

In de grote benzinetank van de fabriek gaat $7000$ liter.

Hoeveel scooters kunnen ze daarmee van $2 1/3$ liter benzine voorzien?

$7000 // 2 1/3 = 3000$ scooters.

Maak de volgende berekeningen kloppend door het juiste getal of de juiste getallen (soms een breuk) in te vullen:

$3/8 + (...)/12 = 19/24$

$3/8 + 5/12 = 19/24$

$1 7/8 - ... = 3/4$

$1 7/8 - 9/8 = 3/4$

$7/12 * (...)/13 = 14/39$

$7/12 * 8/13 = 14/39$

$3/5 // ... = 10$

$3/5 // 3/50 = 10$

Een winkelier geeft op Lego wel $40$ % korting, omdat de oude voorraad weg moet om ruimte te maken voor de nieuwste series.

Hoeveel kost de brandweerkazerne van 78,50 dan nog?

$0,60 xx 78,50 = 47,10$ dus 47,10.

De brandweerauto kost met korting nog 21,30. Hoeveel kostte hij zonder korting?

$(21,30)/60 xx 100 = 35,50$ dus 35,50.

Aanbiedingen!

Een leren bureaustoel van 295,00 kun je met korting kopen voor 200,00. Hoeveel procent korting krijg je dan?

$95/295 xx 100 ~~ 32,2$ %.

Een pak hagelslag van $250$ gram kost 1,75. De fabrikant doet een aanbieding: $100$ gram meer voor dezelfde prijs. Hoeveel korting krijg je dan eigenlijk?

$100$ gram kost $100/250 xx 1,75 = 0,70$ euro.
Je zou dan $1,75 + 0,70 = 2,45$ euro moeten betalen.
Echter de fabrikant laat je $0,70$ euro minder betalen, dat is een korting van $(0,70)/(2,45)xx100~~28,6$ %.

Bereken (gebruik alleen waar nodig je rekenmachine om het antwoord in twee decimalen nauwkeurig te geven):

$7^{2}$

$7^{2} = 49$ .

${1,5}^{2}$

${1,5}^{2} = 2,25$

${(\frac{2}{5})}^{2}$

${(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{4}{25}$

$\sqrt{6,25}$

$\sqrt{6,25} = 2,5$

$\sqrt{\frac{4}{81}}$

$\sqrt{\frac{4}{81}} = \frac{2}{9}$

$\sqrt{1 \frac{9}{16}}$

$\sqrt{1 \frac{9}{16}} = 1 \frac{1}{4}$

$\sqrt{70}$

$sqrt(70) ~~ 8,37$

${(3 \sqrt{6})}^{2}$

${(3 \sqrt{6})}^{2} = 54$

Maak de volgende berekeningen, geef steeds exacte antwoorden.

$7^{4}$

$7^{4} = 2401$ .

$5^{0}$

$5^{0} = 1$

${(\frac{2}{3})}^{4}$

${(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{16}{81}$

${1,6}^{3}$

${1,6}^{3} = 4,096$

$sqrt(2*2^2 + 17)$

$sqrt(2*2^2 + 17) = 5$

$(5sqrt(3) + sqrt(3))^2$

$(5sqrt(3) + sqrt(3))^2 = 108$

$(6*3^2)/(6-3^2)$

$(6*3^2)/(6-3^2) = text(-)18$

$5^(1+sqrt(25))//25 - 5$

$5^(1+sqrt(25))//25 - 5 = 620$

Schrijf als macht van $7$ :

$7*7^140$

$7*7^140 = 7^141$

$7^141 // 7^15$

$7^141 // 7^15 = 7^126$

$(7^70)^7$

$(7^70)^7 = 7^490$

$7^5 + 42*7^4$

$7^5 + 42*7^4 = 7^6$

$7^5 + 42*7^4 = 7*7^4 + 42*7^4 = 49*7^4 = 7^2*7^4 = 7^6$

$(3*7^115)/1029$

$(3*7^115)/1029 = 7^112$

$(3*7^115)/1029 = (7^115)/(343) = (7^115)/(7^3) = 7^112$

$(8*7^200)/(7^201 + 7^200)$

$(8*7^200)/(7^201 + 7^200) = 1$

$(8*7^200)/(7^201 + 7^200) = (8*7^200)/(7*7^200 + 1*7^200) = (8*7^200)/(8*7^200) = 1$

Kosten van printerinkt

In 2003 bevatte een standaard kleuren-zwartcartridge nog $42$ mL inkt, in 2018 was dit nog maar $16$ mL inkt. De prijs bleef echter rond de 25,00.

Hoe duur was een liter printerinkt in 2003? En in 2018?

In 2003: $25/42*1000 ~~ 595,24$ euro.

In 2018: $25/16*1000 = 1562,50$ euro.

Met hoeveel procent is de printerinkt in die $15$ jaar gestegen? Hoeveel procent per jaar is dat?

Met $42/16*100 = 262,5$ %, dus er is $162,5$ % bijgekomen.

Noem de groeifactor per jaar $g$ , dan is $g^15 = 2,625$ en $g = root[15](2,625) ~~ 1,45$ .
Het groeipercentage is dus ongeveer $45$ % per jaar.

Wortels benaderen

Voor het benaderen van wortels bestaan verschillende technieken. Deze gaat vrij snel:

Stap 1: Doe een gok.

Stap 2: Deel het getal waarvan je de wortel wilt benaderen door je gok.

Stap 3: Bereken het gemiddelde van het getal dat je bij stap 2 hebt gevonden en je gok.

Je hebt nu een nieuwe gok en daarmee herhaal je de stappen 2 en 3 tot je de gewenste benadering hebt gevonden.

Probeer deze techniek uit en laat zien dat $sqrt(12) ~~ 3,464$ in drie decimalen nauwkeurig.

Gok bijvoorbeeld eerst $2$ , dan levert stap 2 het getal $6$ op en stap 3 het getal $4$ . Dit is je nieuwe gok waarmee je de stappen 2 en 3 herhaalt. Resultaat $3,5$ . En hiermee doe je weer stap 2 en 3; resultaat $3,465$ . En nog een keer; resultaat $3,464$ .

Benader op dezelfde manier $sqrt(40) ~~ 6,324$ in drie decimalen nauwkeurig.

Controleer je antwoord met je rekenmachine.

Geef een verklaring voor deze methode met behulp de oppervlakte van rechthoeken.

Neem bijvoorbeeld het benaderen van $sqrt(12) ~~ 3,464$ .
Na de stappen 1 en 2 heb je een rechthoek van $2$ bij $6$ die oppervlakte $12$ heeft. Dan neem je door het middelen een nieuwe zijde voor die rechthoek. Die zijde levert weer een nieuwe rechthoek op met dezelfde oppervlakte die al meer lijkt op een vierkant. Dit proces herhaal je steeds weer. Je rechthoek wordt steeds meer een vierkant met oppervlakte $12$ en dus komt de zijde steeds dichter bij $sqrt(12) ~~ 3,464$ te liggen.

Deze methode is in feite een algoritme om wortels in een gewenst aantal decimalen te benaderen en kun je daarom programmeren. Zoek uit hoe je dit kunt doen.

Bijvoorbeeld met een grafische rekenmachine.

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het rekenen met breuken. Je kunt daarmee telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier. Met zie je het antwoord. Je kunt op de uitwerking inzoomen. Met krijg je een nieuwe opgave.

Je kunt nu optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken.
Oefen dit eindeloos door elkaar: