uitdrukkingen en formules herleiden door termen op te tellen of af te trekken.
de begrippen variabele, formule, tabel en grafiek;
bij een formule een tabel en een grafiek maken.
Een kralenketting bestaat uit groene en rode kralen. De rode kralen hebben een diameter van cm en de groene kralen hebben een diameter van cm.
Iemand bepaalt zo de lengte van de kralenketting:
Is dit een handige methode? Bereken zo de lengte van de kralenketting.
cm is de kralenketting lang. Alles bij elkaar optellen is geen handige manier.
cm. Alles bij elkaar optellen is geen slimme manier, het kan veel handiger.
Iemand anders berekent de lengte van de kralenketting door het aantal rode kralen met te vermenigvuldigen en het aantal groene kralen met te vermenigvuldigen en beide antwoorden op te tellen.
Hoe kun je deze berekening als formule kort opschrijven?
, waarbij de lengte van de kralenketting is, het aantal rode kralen en het aantal groene kralen.
Noem de totale lengte van de kralenketting , het aantal rode kralen en het aantal groene kralen . Omdat de rode kralen een diameter van cm en de groene kralen een diameter van cm hebben, wordt de formule voor de lengte van de kralenketting .
Je krijgt een doos met kralen met daarin groene kralen en rode kralen.
Hoe lang is de langste ketting die je hiermee kunt maken?
cm is de langste kralenketting die je met de kralen kunt maken.
Gebruik de formule en vul voor de waarde in voor de waarde . Je vindt dan:
cm
Dus de langste kralenketting die je met de kralen kunt maken, is cm lang.
De formule voor de omtrek van een rechthoek kun je schrijven als:
, waarbij de variabelen de lengte, de breedte en de omtrek van de rechthoek voorstellen. Deze formule kun je korter schrijven, dat noem je herleiden. Hier kun je de uitdrukking herleiden tot , nog korter .
en noem je de termen van de uitdrukking.
De formule wordt zo .
Je kunt formules of uitdrukkingen herleiden door gelijksoortige termen samen te nemen:
en
,
maar kan niet korter; die twee termen zijn niet van dezelfde soort.
.
Bij aftrekken mag dit alleen als je het minteken meeneemt: of met variabelen .
schrijf je korter als , net zoals .
Je ziet een rechthoek gelegd van twee soorten lucifers. Noem de lengte van de kortste lucifer en die van de langste lucifer .
Welke formule geldt voor de omtrek van de rechthoek? Schrijf de formule zo kort mogelijk op.
Moet je ook nog iets afspreken over de gebruikte eenheden van de verschillende variabelen in de formule?
Ja, , en moeten dezelfde lengte-eenheid hebben.
Welke van de volgende uitspraken zijn waar?
kun je niet herleiden.
kun je herleiden tot .
kun je niet herleiden.
kun je herleiden tot .
kun je herleiden tot .
kun je herleiden tot .
kun je herleiden tot .
Er is er maar één die niet klopt. De derde vergelijking. Deze kun je wél herleiden, omdat de variabele in de gegeven formule tweemaal voorkomt. . De kortere formule is dan .
Herleid.
Je hebt te maken met twee gelijke variabelen . Deze mag je bij elkaar optellen. Je krijgt dus .
Dit blijft want er zijn geen gelijksoortige termen.
Je hebt te maken met twee variabelen en die niet gelijk zijn. Je mag de termen niet bij elkaar optellen. Je houdt dus .
Je hebt hier steeds te maken met dezelfde variabele, namelijk .
. Dus dat eerste deel van de formule kun je al korter schrijven. Dan heb je over .
Een formule zoals bestaat uit vier
Je kunt de
De formule is dan herleid tot: .
Andere voorbeelden van herleiden zijn:
.
kun je niet herleiden want er zijn geen gelijksoortige termen.
en .
en .
.
De omtrek van de figuur wordt voorgesteld door de letter . De verschillende zijden van de figuur hebben de lengte of de lengte , behalve de zijde die drie keer de lengte van is.
Er geldt:
Met behulp van de eigenschappen van optellen kun je dit schrijven als:
En dus herleiden tot:
kun je niet korter schrijven.
Bekijk de luciferfiguur. Neem aan dat alle hoeken recht zijn. Noem de lengte van de korte lucifer en die van de langere lucifer boven en onder . Alleen de onderste en de bovenste lucifer zijn lang.
Geef een zo kort mogelijke formule voor de omtrek van de figuur.
Er zijn korte lucifers en lange, dus .
Bereken als cm en cm met behulp van je formule.
cm
cm
Geef een zo kort mogelijke formule voor de breedte van de figuur.
Er zijn in de breedte korte lucifers en lange, dus .
Stel, de omtrek van de figuur is cm. De lengte van de korte lucifer is gelijk aan cm. Wat is dan de lengte van de lange lucifer?
De lengte is cm.
Gebruik de formule voor de omtrek die je bij a gevonden hebt.
Dan geldt . Dus . Nu kun je nagaan dat gelijk moet zijn aan cm.
Schrijf bij de twee rechthoekige luciferfiguren zo eenvoudig mogelijke formules voor de omtrek. Noem de lengte van de korte lucifer en de lengte van de lange lucifer .
I
II
Figuur I:
Figuur II:
Figuur I: Er zijn korte en lange lucifers, dus .
Figuur II: Er zijn korte en lange lucifers, dus .
Iemand verkoopt telefoonhoesjes en oordopjes op de markt. Een telefoonhoesje verkoopt ze voor € 7,50 en een oordopje voor € 5,00 per stuk.
Ze heeft hierbij de volgende formule bedacht:
Waarbij staat voor de opbrengst in euro's, voor het aantal verkochte telefoonhoesjes en voor het aantal verkochte oordopjes.
Als ze telefoonhoesjesjes en oordopjes verkoopt, heeft ze een opbrengst van € 237,50.
Bekijk het voorbeeld.
Kun je de formule die de verkoopster heeft bedacht, herleiden?
Er zijn geen gelijksoortige termen, maar je kunt het schrijven als .
Laat met een berekening zien hoe je aan de opbrengst van € 237,50 komt.
euro
Hoe groot is de opbrengst als ze twaalf telefoonhoesjes en achttien oordopjes verkoopt?
, dus de opbrengst is € 180,00.
, dus de opbrengst is € 180,00.
Een andere marktkoopman verkoopt ook telefoonhoesjes en oordopjes. Hij verkoopt een telefoonhoesje voor € 10,00 en een oordop voor € 3,50.
Welke formule voor de opbrengst hoort hierbij?
Als beide marktkooplui allebei tien telefoonhoesjes en twintig oordopjes verkopen, wie heeft dan de grootste opbrengst?
De opbrengst van haar is euro en die van hem euro. Zij heeft dus de grootste opbrengst.
Bij een telefoonabonnement hoort de formule , waarbij de kosten in euro's zijn per maand en het aantal belminuten per maand.
Door een actie van de telefoonmaatschappij krijg je per belminuut € 0,02 korting. Daarnaast krijg je nog eens € 5,00 korting per maand.
Stel een formule op voor de nieuwe belkosten.
Stel dat je minuten gebeld hebt in een maand. Hoeveel euro spaart je uit met het nieuwe tarief?
Kosten oude tarief: euro
Kosten nieuwe tarief: euro
Je bespaart euro.
Stel dat je niet € 5,00 korting krijgt, maar € 7,00 en dat je niet € 0,02 per belminuut korting krijgt, maar € 0,01. Hoe ziet de formule er dan uit?
, dus
, dus
Stel dat je minuten in een maand belt en dat je mag kiezen tussen de eerste korting en de tweede korting. Welke korting neem je dan?
Kosten na de eerste korting: euro
Kosten na de tweede korting: euro
Je kunt dus beter de eerste korting nemen.
Schrijf bij de twee rechthoekige luciferfiguren zo eenvoudig mogelijke formules voor de omtrek. De lengte van de korte lucifer is en die van de lange is .
Figuur A:
Figuur B:
Figuur A: Er zijn korte en lange lucifers, dus .
Figuur B: Er zijn korte en lange lucifers, dus .
Herleid.
Herleid.
Iemand werkt bij een boer als aardbeienplukster. Ze krijgt € 3,00 per uur en voor elke gevulde mand krijgt ze € 1,50. Hierbij kun je de volgende formule opstellen:
Wat stellen de variabelen in de formule voor?
staat voor het loon in euro's, voor het aantal gewerkte uren en voor het aantal gevulde manden.
Waarom mag je de formule ook schrijven als ?
Het vermenigvuldigingsteken mag je weglaten en je mag bij optellen de volgorde veranderen.
Deze plukster werkt op een dag zeven uur en ze krijgt vijftien manden vol. Wat is haar loon op die dag?
€ 43,50
, dus haar loon is die dag € 43,50.
Bekijk de figuur.
Hoe groot is de lengte van het lijnstuk bij het vraagteken?
Geef een zo kort mogelijke formule voor de omtrek van de figuur.
Neem cm. Hoe groot is dan de omtrek van de figuur?
Gebruik de formule die je bij b gevonden hebt en vul voor de waarde in.
Je vindt:
Een tuindersbedrijf maakt tegelpatronen voor terrassen. Daarvoor gebruiken ze drie typen tegels. De oppervlakte van tegel 1 is , van tegel 2 en van tegel 3 . In de figuren zie je twee tegelpatronen die het bedrijf maakt.
Maak een formule voor oppervlakte van tegelpatroon 1 en tegelpatroon 2.
patroon 1:
patroon 2:
Om het werk te versnellen, maakt het bedrijf grotere tegelpatronen door samenstellingen te maken van patroon 1 en patroon 2. Een samenstelling ziet er als volgt uit:
| patroon 1 | patroon 2 | patroon 1 |
| patroon 2 | patroon 1 | patroon 2 |
| patroon 1 | patroon 2 | patroon 1 |
Maak een formule voor de oppervlakte van dit samengestelde tegelpatroon.
In het nieuwe patroon zit keer patroon 1 verwerkt, en keer patroon 2.
keer patroon 1:
keer patroon 2:
Formule voor het hele patroon:
, ofwel
Het herleiden van uitdrukkingen pas je bijvoorbeeld toe als je formules moet optellen of aftrekken.
Een voor de hand liggend voorbeeld is het berekenen van winst door inkomsten en uitgaven van elkaar af te halen.
Een voorbeeld daarvan is de winkelier die een kopieermachine huurt om zijn klanten in staat te stellen kopieën te maken. Hij vraagt
Maar het huren en het onderhoud van het apparaat kost met
Je kunt bij deze situatie een formule opstellen voor de kosten per maand afhankelijk van het aantal kopieën dat er wordt gemaakt. Ook kun je een formule opstellen voor de inkomsten per maand afhankelijk van .
De winst bereken je dan uit .
Bekijk hierboven de situatie rond de kopieermachine in een winkel.
Stel een formule op voor de inkomsten per maand van de winkelier.
.
Elke kopie levert
Stel ook een formule op voor de totale kosten per maand.
.
De vaste kosten bedragen
Per kopie zijn de kosten
Totaal: .
Stel nu een formule op voor de maandelijkse winst door inkomsten en kosten van elkaar af te trekken.
Herleid je formule tot een zo eenvoudig mogelijke vorm.
Maak een figuur met daarin alle drie de grafieken van , en .
Doen, gebruik een computerprogramma zoals GeoGebra, of maak eerst tabellen.
Vanaf welk aantal kopieën per maand maakt deze winkelier winst op zijn kopieermachine?
Vanaf . Je kunt dit met de grafieken oplossen, b.v. door inklemmen.
Je kunt ook bedenken dat er
Volgens het CBS waren er in Nederland in 2017 ongeveer miljoen koopwoningen en ongeveer miljoen huurwoningen.
In de periode 2012 - 2017 zijn er koopwoningen per jaar bijgekomen tegenover huurwoningen per jaar.
Neem aan dat die jaarlijkse groei zo door gaat en dat het aantal jaren na 2017 voorstelt.
Welke formule kun je opstellen voor het aantal koopwoningen (in duizendtallen) afhankelijk van ?
Welke formule kun je opstellen voor het aantal huurwoningen (in duizendtallen) afhankelijk van ?
Stel een formule op voor het totaal aantal woningen (in duizendtallen) afhankelijk van .
Je kunt ook een formule opstellen voor het verschil (in duizendtallen) van het aantal koopwoningen en het aantal huurwoningen. Stel zo'n formule op.
Bijvoorbeeld .
Hoe zie je aan deze laatste formule dat het aantal huurwoningen op deze manier het aantal koopwoningen inhaalt?
De bijbehorende grafiek is een rechte lijn door die naar beneden loopt. Dus het verschil wordt steeds kleiner.
Herleid
Je brengt folders en kranten rond. Voor de folders krijg je een vast bedrag van € 6,00 plus voor elke rondgebrachte folder cent. Voor elke rondgebrachte krant krijg je cent.
Hierbij kun je de volgende formule voor het weekloon opstellen: .
Waar staan de letters , en in de formule voor?
is het weekloon in euro, het aantal rondgebrachte folders en het aantal rondgebrachte kranten.
Waarom kun je deze formule ook schrijven als ?
Bij optellen mag je de volgorde veranderen.
Hoeveel bedraagt het weekloon als je per week folders en kranten rondbrengt?
€ 42,50
, dus zijn weekloon is dan € 42,50.
Met
Met
Met 