uitdrukkingen en formules herleiden door factoren te vermenigvuldigen.
de begrippen variabele, formule, tabel en grafiek;
bij een formule een tabel en een grafiek maken;
uitdrukkingen en formules herleiden door termen op te tellen of af te trekken.
In de afbeelding zie je een balk die bestaat uit zes kubussen. Iedere kubus heeft zijden van cm.
Maak een formule waarbij je de inhoud van één kubus kunt berekenen. Noem de inhoud en de zijden .
De inhoud van een kubus bereken je door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte en de hoogte. Maar bij een kubus zijn deze allemaal gelijk: . De inhoud van één kubus is dus .
Maak nu een formule waarbij je de inhoud van de gehele balk berekent. Noem de inhoud weer en gebruik , de lengte van de zijden van een kubus.
Een kubus kon je berekenen met . De balk bestaat uit kubussen en dus is de inhoud van de balk keer zo groot en krijgen we .
Ook de oppervlakte van de balk kun je uitdrukken in . Hoe groot is de oppervlakte van een zijvlak van een kubus?
De oppervlakte van een zijvlak van een kubus is
Wat is de oppervlakte van de bovenkant van de balk? En de voorkant? En de zijkant?
Maak een berekening van de oppervlakte van de gehele balk, uitgedrukt in . Vergeet niet de zijkanten mee te tellen die je niet ziet. Geef de oppervlakte van de balk aan met .
In de figuur zie je drie rijen met rechthoeken met breedte en lengte (of hoogte) . Elke rechthoek heeft dus een oppervlakte van .
Je kunt dit ook schrijven als , dus .
Je vermenigvuldigt beide variabelen; de volgorde maakt daarbij niet uit.
Voor de oppervlakte van de gehele figuur geldt:
Dus .
Als je vierkanten met een oppervlakte van stapelt, zoals in de rechthoek in de tweede figuur, dan zie je .
Je kunt van ingewikkelder figuren de oppervlakte bepalen door de oppervlakte van (halve) rechthoeken op te tellen.
Heb je bijvoorbeeld een figuur die bestaat uit twee vierkanten met een oppervlakte van en drie rechthoeken met een oppervlakte van , dan wordt de totale oppervlakte: .
Ook nu kun je gelijksoortige termen optellen.
Je hebt een rechthoek met een lengte van en een breedte van .
Op welke twee manieren kun je de oppervlakte hiervan beschrijven?
en want er zijn kleinere rechthoeken met een oppervlakte van .
Je hebt een rechthoek met een lengte van en een breedte van .
Op welke twee manieren kun je de oppervlakte hiervan beschrijven?
en want er zijn kleinere rechthoeken met een oppervlakte van .
Stel een zo kort mogelijke formule op voor de omtrek en de oppervlakte van de figuur.
en
Herleid.
Herleid.
Je kunt
Vaak gebruik je de wisseleigenschap: , dus .
In bijvoorbeeld heten en de
Weer kun je de gelijksoortige termen optellen of aftrekken:
Deze figuur bestaat uit vijf rechthoeken en een vierkant.
Geef een formule voor de oppervlakte van de figuur.
Voor de oppervlakte geldt:
Bekijk de formule voor de figuur uit het voorbeeld.
Leg uit hoe je aan de formule voor de oppervlakte kunt komen.
De formule voor de oppervlakte van de figuur in het voorbeeld krijg je door de oppervlakte van alle rechthoeken en het vierkant apart uit te rekenen.
Neem en en bereken de oppervlakte . Controleer je antwoord met behulp van de figuur.
Bekijk de luciferfiguur. Neem aan dat alle hoeken recht zijn. Noem de lengte van de korte lucifer en die van de langere lucifer boven en onder . Alleen de onderste en de bovenste lucifer zijn lang.
Geef een zo kort mogelijke formule voor de oppervlakte van de figuur.
Er twee vierkantjes en drie rechthoeken, dus .
Bereken als cm en cm met behulp van je formule.
cm
Je ziet enkele voorbeelden van het herleiden van uitdrukkingen met variabelen erin.
Herleid of schrijf:
Kan niet korter.
Kan niet korter, er zijn geen gelijke termen.
Kan niet korter.
Kan niet korter, er zijn geen gelijke termen.
Herleid.
Herleid.
Van een balk is de lengte vier keer de breedte en de hoogte twee keer de breedte. Noem de breedte van de balk . Dus:
Geef formules voor de inhoud en de oppervlakte van de balk.
Als je invult wat je weet, krijg je:
Dit kun je korter opschrijven als:
De oppervlakte van de balk vind je door de oppervlakte van alle grensvlakken op te tellen:
.
Stel formules op voor de inhoud en de oppervlakte van de balk.
Van een rechthoek is de lengte en de breedte .
Geef een formule voor de oppervlakte van deze rechthoek.
Hoe groot is als ?
Herleid.
Herleid.
Herleid. Als je het niet korter kunt schrijven, neem je de uitdrukking over.
en kun je niet bij elkaar optellen, omdat ze niet gelijknamig zijn. Deze kan dus niet korter: .
Stel een formule op voor de inhoud en de oppervlakte van deze balk.
en
De balk heeft lengte , breedte en hoogte .
Voor de inhoud van een balk geldt dus: .
Voor de oppervlakte van een balk geldt: .
Schrijf bij de twee rechthoekige luciferfiguren zo eenvoudig mogelijke formules voor de oppervlakte. Noem de lengte van de korte lucifer en de lengte van de lange lucifer .
I
II
Figuur I:
Figuur II:
Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem.
Voor een doosje gebruikt hij cm
Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft.
De hoogte van zo’n doosje wordt aangegeven met en de zijde van het grondvlak met , beide in cm.
Voor het verband tussen en geldt de formule: .
Bekijk hierboven de beschrijving van een bepaald type verpakkingsdoosje.
Leid zelf de formule die in de tekst wordt gegeven af.
De oppervlakte van de bodem is . De oppervlakte van de bovenkant is hetzelfde.
De oppervlakten van de opstaande zijvlakken zijn alle vier . Dus cm
De verpakkingsmachine laat een maximale breedte van cm toe.
Bepaal de waarde van bij .
betekent .
Dus cm
Bekijk de oppervlakteformule van het doosje hagelslag nog eens.
Welke formule kun je opstellen voor de inhoud van het doosje?
Hoeveel cm
cm
Herleid.
Neem en bereken de oppervlakten van de driehoek, het vierkant en de rechthoek.
Driehoek:
Vierkant:
Rechthoek:
Driehoek:
Vierkant:
Rechthoek:
Hoe groot is de oppervlakte van de gehele figuur als ?
Geef formules voor de oppervlakte van de rechthoek en het vierkant.
en
Doe hetzelfde voor de driehoek.
Oppervlakte driehoek is , dus
Geef de formule voor de oppervlakte van de hele figuur. Schrijf de formule zo kort mogelijk.
, dus
Neem en bereken de oppervlakte met behulp van de formule van de gehele figuur. Klopt dit met jouw antwoord bij opgave b?
De oppervlakte van de hele figuur is .
De formule voor de oppervlakte van de hele figuur is , dus en .
Met
Met
Met 