de begrippen vergelijking en oplossing van een vergelijking met één variabele;

vergelijkingen met één variabele grafisch oplossen, eventueel met behulp van inklemmen;

vergelijkingen met één variabele oplossen door vergelijkend rekenen, terugrekenen en/of de balansmethode.

de begrippen variabele, formule, tabel en grafiek;

bij een formule een tabel en een grafiek maken;

uitdrukkingen en formules herleiden door termen op te tellen of af te trekken of factoren te vermenigvuldigen en/of haakjes weg te werken.

Een rol behang is $60$ cm breed. De hoogte van de kamer is $l$ cm. Om het behang aan de onderkant te kunnen bijsnijden maak je elke baan $10$ cm langer dan de hoogte van de kamer.
Voor de oppervlakte van een baan behang geldt dus: oppervlakte $= 60*(l + 10)$

Leg uit waarom deze formule klopt.

Je moet eerst $10$ cm optellen bij de lengte $l$ . Dan heb je de juiste afmeting en kun je de oppervlakte berekenen door $60$ te vermenigvuldigen met $l + 10$ .

De kamer die je gaat behangen is $220$ cm hoog. Hoe groot is de oppervlakte van een baan behang?

$13800$ cm²

oppervlakte $= 60*(l + 10)$

oppervlakte $= 60*(220 + 10)$

oppervlakte $= 60*230$

oppervlakte $= 13800$ cm²

Op school staat een kopieermachine. Leerlingen mogen daar voor € 0,10 per kopie gebruik van maken. De school huurt deze machine voor € 150,00 per maand en elke kopie kost de school $7,5$ eurocent.

De vraag: Vanaf hoeveel kopieën per maand zijn de kosten voor het gebruik van deze kopieermachine even groot als de inkomsten? is een vergelijking.

Noem het aantal kopieën per maand $a$ en de vergelijking wordt:

$150 +0,075a =0,10a$

In een vergelijking zijn twee uitdrukkingen met één of meer variabelen gelijk aan elkaar. In deze vergelijking staan aan de linkerzijde van het isgelijkteken de kosten per maand en aan de rechterzijde de inkomsten per maand. Hij bevat één variabele: $a$ .
Je zoekt de waarden van $a$ die ervoor zorgen dat de linker- en rechterzijde van de vergelijking gelijk zijn, dat zijn de oplossingen van de vergelijking.
Deze vergelijking heeft één oplossing: $a = 6000$ .
Ga maar na:

$150 +0,075 *6000 =0,10 *6000$

Maar hoe kom je aan die oplossing en waarom is er maar één?

Als je de oplossing niet meteen ziet, kun je er altijd uitkomen door getallen voor $a$ in te vullen (te substitueren), net zolang tot je de juiste waarde voor $a$ gevonden hebt.
Links van het isgelijkteken heb je: $L =150 +0,075a$ en rechts van het isgelijkteken heb je: $R =0,10a$ . Maak daarbij een tabel.

$a$	0	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000
$L$	150	225	300	375	450	525	600	675	750
$R$	0	100	200	300	400	500	600	700	800

In dit geval zit de oplossing meteen in de tabel: bij $a =6000$ zijn $L$ en $R$ gelijk! Vaak moet je nog verder zoeken door de tabel te verfijnen.
Dan kun je ook een grafiek gebruiken: bij het snijpunt van $L$ en $R$ zijn beide gelijk. De waarde van $a$ die daarbij hoort, kun je aflezen (vaak: schatten). Met behulp van nauwkeuriger tabellen rond het snijpunt kun je de waarden van $a$ steeds nauwkeuriger bepalen. Dit proces heet inklemmen.

In dit geval zijn de grafieken van $L$ en $R$ rechte lijnen en is er maar één snijpunt, en dus precies één oplossing.

Op school komt een nieuwe kopieermachine. Leerlingen mogen daar voor € 0,10 per kopie gebruik van maken. De school huurt deze machine voor € 220,00 per maand en elke kopie kost de school € 0,085. De vraag is: vanaf welk aantal kopieën per maand zijn de kosten voor het gebruik van deze kopieermachine even groot als de inkomsten?

Welke vergelijking hoort hierbij?

$220 + 0,085a = 0,10a$

Kort gezegd is de vraag: wanneer zijn de kosten gelijk aan de inkomsten. Daarom maak je eerst een formule voor de kosten. Dat is € 220,00 per maand plus € 0,085 per kopie. De formule voor de kosten per maand is dus: $220 + 0,085a$ , waarbij $a$ het aantal kopieën dat gemaakt wordt in een maand.

De inkomsten zijn € 0,10 per kopie. Dus de formule daarbij is $0,10a$ , waarbij $a$ weer het aantal kopieën per maand is. Let op: dat je in beide formules dezelfde variabele kiest, anders kun je de vergelijking niet oplossen.

De vergelijking is dus:

$220 + 0,085a = 0,10a$

Maak bij deze vergelijking een tabel en de bijhorende grafiek.

$a$	$0$	$2500$	$5000$	$7500$	$10000$	$12500$	$15000$	$17500$	$20000$
$L$	$220,00$	$432,50$	$645,00$	$857,50$	$1070,00$	$1282,50$	$1495,00$	$1707,50$	$1920,00$
$R$	$0,00$	$250,00$	$500,00$	$750,00$	$1000,00$	$1250,00$	$1500,00$	$1750,00$	$2000,00$

In de tabel zet je de linkerkant (L) van de vergelijking, dat is $220 + 0,085a$ . En (R) aan de rechterkant van het isgelijkteken, dat is $0,10a$ . Vervolgens kies je waarden voor $a$ en substitueer je deze in de formule. Je krijgt dan de tabel:

$a$	$0$	$2500$	$5000$	$7500$	$10000$	$12500$	$15000$	$17500$	$20000$
$L$	$220,00$	$432,50$	$645,00$	$857,50$	$1070,00$	$1282,50$	$1495,00$	$1707,50$	$1920,00$
$R$	$0,00$	$250,00$	$500,00$	$750,00$	$1000,00$	$1250,00$	$1500,00$	$1750,00$	$2000,00$

Bij deze tabel maak je een grafiek. Het snijpunt van de grafiek is het punt waar de kosten gelijk zijn aan de inkomsten:

Probeer zo nauwkeurig mogelijk uit de tabel en de grafiek af te lezen welke waarde van $a$ de oplossing van de vergelijking geeft.

$a ≈14700$ kopieën

Het snijpunt van de grafiek is de oplossing van de vraag. In de tabel zie je dat tussen $12500$ en $15000$ $R$ groter wordt dan $L$ , terwijl tot die tijd $L$ groter was dan $R$ . In de grafiek zie je dan ook dat het snijpunt tussen $12500$ en $15000$ ligt en kun je aflezen dat het snijpunt ongeveer bij $a =14700$ ligt. Een schatting vlak bij $14700$ is ook goed.

De vergelijking is niet exact op te lossen met behulp van de grafiek. Waarom is dat in het geval van de kopieermachine ook niet echt nodig?

Het dekken van de kosten komt in de praktijk niet op één kopie aan. De school hoopt een wat ruimer aantal kopieën te verkopen om ook onvoorziene bijkomende kosten te kunnen dekken. Je noemt dat ook wel een ruimere marge.

Je kunt de uitkomst wel exact bepalen met behulp van een tabel en de methode van inklemmen. Kies waarden rond het getal $14700$ .

$a$	$14645$	$14650$	$14655$	$14660$	$14665$	$14670$	$14675$	$14680$	$14685$
$L$	$1464,83$	$1465,25$	$1465,68$	$1466,1$	$1466,53$	$1466,95$	$1467,38$	$1467,8$	$1468,23$
$R$	$1464,5$	$1465$	$1465,5$	$1466$	$1466,5$	$1467$	$1467,5$	$1468$	$1468,5$

De vraag: Vanaf hoeveel kopieën per maand zijn de kosten voor het gebruik van deze kopieermachine 2250,-? is een vergelijking.

Noem het aantal kopieën per maand $a$ en de vergelijking wordt:

$150 +0,075a = 2250$

Een vergelijking als $150 + 0,075a = 2250$ kun je oplossen door te bekijken hoe je moet rekenen.
Het rekenschema is:

En dus kun je zo terugrekenen:

Dit betekent: $a = (2250 - 150)//0,075 = 28000$ kopieën.

Bij de vraag: Vanaf hoeveel kopieën per maand zijn de kosten voor het gebruik van deze kopieermachine even groot als de inkomsten? hoort de vergelijking:

$150 +0,075a =0,10a$

Deze vergelijking kun je niet oplossen door terugrekenen omdat de variabele aan beide zijden van het isgelijkteken voorkomt.

Nu kun je beter de balansmethode toepassen: voer aan beide zijden van het isgelijkteken dezelfde bewerking uit.
De oplossing gaat dan zo:

$150 +0,075a$

$=$

$0,10a$

beide zijden $- 0,075a$

$150$

$=$

$0,025a$

beide zijden verwisselen

$0,025a$

$=$

$150$

beide zijden delen door $0,025$

$a$

$=$

$150/(0,025) = 6000$

Je ziet dat je dezelfde oplossing krijgt als bij Uitleg.

Welke vergelijking hoort hier bij?

Bijvoorbeeld $220 + 0,085*a = 3200$ , als $a$ het aantal maandelijkse kopieën voorstelt.

Los deze vergelijking op met behulp van terugrekenen.

Rekenschema: $a overset (times 0,085)( rarr ) ... overset (+220) ( rarr ) 3200$

Terugrekenschema: $... overset(// 0,085)( larr ) ... overset (- 220)( larr ) 3200$

Dus $a = (3200 - 220) // 0,085 ~~ 35059$ .

Laat zien dat je deze vergelijking ook kunt oplossen met de balansmethode.

Dat gaat zo:

$220 + 0,085*a$

$=$

$3200$

beide zijden $- 220$

$0,085*a$

$=$

$2980$

beide zijden delen door $0,085$

$a$

$=$

$2980//0,085 ~~ 35059$

Welke vergelijking kun je hierbij opstellen?

Bijvoorbeeld $220 + 0,085a = 0,10a$ , als $a$ het aantal maandelijkse kopieën voorstelt.

Waarom kun je deze vergelijking niet oplossen door terugrekenen?

Omdat de variabele aan beide zijden voorkomt.

Los deze vergelijking op met de balansmethode.

Zo bijvoorbeeld:

$220 + 0,085a$

$=$

$0,10a$

beide zijden $- 0,085a$

$220$

$=$

$0,015a$

beide zijden verwisselen

$0,015a$

$=$

$220$

beide zijden delen door $0,015$

$a$

$=$

$220 // 0,015 ~~ 14667$

Welk antwoord geef je op de vraag die aan het begin werd gesteld?

Bij ongeveer $14667$ kopieën.

Je ziet hier een viertal vergelijkingen.
Los ze op met behulp van terugrekenen of met behulp van de balansmethode.
Geef exacte antwoorden.

$4p - 1500 = 275$

Beide methoden zijn bruikbaar.
Je vindt $p = 443,75$ .

$4p - 1500 = 300 - 2,5p$

Dit kan alleen met de balansmethode. Bijvoorbeeld zo:

$4p - 1500$

$=$

$300 - 2,5p$

beide zijden $+ 2,5p$

$6,5p - 1500$

$=$

$300$

beide zijden $+ 1364$

$6,5p$

$=$

$1800$

beide zijden $// 6,5$

$p$

$=$

$1800 // 6,5 = 276 12/13 ~~ 276,9$

$4(p - 5)^2 = 64$ .

Beide methoden kunnen, terugrekenen ligt het meest voor de hand. Denk er wel om dat er bij terugrekenen vanuit een kwadraat twee mogelijkheden zijn.

$p = +-sqrt(64/4) + 5$ geeft $p = 1$ en/of $p = 9$ .

$4sqrt(p - 5) = 64$ .

Beide methoden kunnen, terugrekenen ligt het meest voor de hand.

$p = (64/4)^2 + 5$ geeft $p = 261$ .

In een vergelijking zijn twee uitdrukkingen met één of meer variabelen gelijk aan elkaar. De getallen voor die variabelen die beide zijden van het isgelijkteken gelijk maken heten de oplossingen van de vergelijking. Voor vergelijkingen met één variabele bestaan verschillende methoden om die oplossingen te vinden.

De inklemmethode waarbij je systematisch naar de oplossing zoekt met behulp van steeds nauwkeuriger tabellen.
Deze methode kun je goed gebruiken als je toch al grafieken hebt die je vergelijkt, of als de andere twee niet werken.

De terugrekenmethode waarbij je eerst bedenkt welk rekenschema op de variabele kan worden toegepast. Vervolgens ga je alle rekenstappen vervangen door de terugrekenstappen.
Deze methode is alleen bruikbaar als je ervoor kunt zorgen dat de variabele precies één keer voorkomt.

De balansmethode waarbij je de vergelijking opvat als een balans in evenwicht. Je kunt dan aan beide zijden dezelfde bewerking uitvoeren zonder het evenwicht te verbreken. Zo maak je de vergelijking systematisch eenvoudiger.

Ook zijn er nog wel andere handigheden die je kunnen helpen bij het oplossen van vergelijkingen.
Een bekende manier is het opschrijven van een eenvoudige berekening die dezelfde structuur heeft als de vergelijking. Dit heet wel vergelijkend rekenen.

In de voorbeelden zie je hoe deze methoden worden toegepast.

Twee kaarsen worden tegelijk aangestoken.
De eerste kaars is $20$ cm en wordt elk uur $1,5$ cm korter.
De tweede kaars is $30$ cm en wordt elk uur $3,25$ cm korter.
Noem je de brandtijd in uren $t$ , dan geeft de vergelijking $20 -1,50t = 30 -3,25t$ aan wanneer de kaarsen even lang zijn.

Bereken nu wanneer deze twee kaarsen even lang zijn. Ofwel: voor welke waarden van $t$ is deze vergelijking waar?

Maak een tabel en een grafiek bij $L =20 -1,50t$ en $R =3 -3,25t$ .

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8
L	20,00	18,50	17,00	15,50	14,00	12,50	11,00	9,50	8,00
R	30,00	26,75	23,50	20,25	17,00	13,75	10,50	7,25	4,00

Je ziet nu dat de oplossing tussen $t =5$ en $x =6$ zit. Je maakt dan een nieuwe tabel tussen $5$ en $6$ met $t$ in één decimaal.

Nu vind je dat de oplossing tussen $t =5,7$ en $t =5,8$ zit. Op gehelen afgerond krijg je $t ≈6$ . De kaarsen zijn dus na ongeveer zes uur even lang.

Wil je het antwoord nog nauwkeuriger krijgen, dan maak je een tabel tussen $5,7$ en $5,8$ met $t$ in twee decimalen. Je vindt dan de oplossing tussen $t = 5,71$ en $t = 5,72$ . Op één decimaal nauwkeurig wordt je antwoord $t ≈5,7$ . De kaarsen zijn dus na ongeveer $5,7$ uur even lang, dat is na $5$ uur en $42$ minuten ( $0,7$ maal $60$ minuten).

Wil je een nog nauwkeuriger antwoord, dan maak je een tabel tussen $5,71$ en $5,72$ met $t$ in drie decimalen.

En zo kun je eindeloos doorgaan. Deze procedure heet inklemmen.

In het voorbeeld wordt de vergelijking $20 - 1,50t = 30 - 3,25t$ opgelost.

Hoe kun je met behulp van de grafiek een eerste benadering van de oplossing aflezen?

Door de waarde van $t$ bij het snijpunt zo nauwkeurig mogelijk te schatten.

Door de waarde van $t$ bij het snijpunt zo nauwkeurig mogelijk te schatten. Het snijpunt is het punt waar beide zijden van de vergelijking gelijk zijn.

Maak nu zelf de tabel tussen $t = 5,7$ en $t = 5,8$ en bepaal de oplossing in één decimaal nauwkeurig.

$t$	$5,70$	$5,71$	$5,72$	$5,73$	$5,74$	$5,75$	$5,76$	$5,77$	$5,78$	$5,79$	$5,80$
$L$	$11,45$	$11,435$	$11,42$	$11,405$	$11,39$	$11,375$	11,36	$11,345$	$11,33$	$11,315$	$11,3$
$R$	$11,475$	$11,443$	$11,41$	$11,378$	$11,345$	$11,313$	$11,28$	$11,248$	$11,215$	11,183	$11,15$

Bij $t= 5,71$ is $L$ kleiner dan $R$ en bij $t=5,72$ is $L$ groter dan $R$ . Dat betekent dat de oplossing tussen $t = 5,71$ en $t = 5,72$ ligt en dat dus $t ≈5,7$ de oplossing is in één decimaal nauwkeurig.

Bepaal nu je oplossing in twee decimalen nauwkeurig.

$t$	$5,710$	$5,711$	$5,712$	$5,713$	$5,714$	$5,715$	$5,716$	$5,717$	$5,718$	$5,719$	$5,720$
$L$	$11,435$	$11,434$	$11,432$	$11,431$	$11,429$	$11,428$	$11,426$	$11,425$	$11,423$	$11,422$	$11,42$
$R$	$11,443$	$11,439$	$11,436$	$11,433$	$11,43$	$11,426$	$11,423$	$11,42$	$11,417$	$11,413$	$11,41$

De oplossing ligt tussen $t = 5,714$ en $t = 5,715$ en is dus $t ≈5,71$ .

Bepaal tot slot je oplossing in drie decimalen nauwkeurig.

Maak een tabel tussen $t = 5,714$ en $t = 5,715$ . Je krijgt dan de tabel:

$t$	$5,7140$	$5,7141$	$5,7142$	$5,7143$	$5,7144$	$5,7145$	$5,7146$	$5,7147$	$5,7148$	$5,7149$	$5,7150$
$L$	$11,429$	$11,42885$	$11,4287$	$11,42855$	$11,4284$	$11,42825$	$11,4281$	$11,42795$	$11,4278$	$11,42765$	$11,4275$
$R$	$11,4295$	$11,429175$	$11,42885$	$11,428525$	$11,4282$	$11,427875$	$11,42755$	$11,427225$	$11,4269$	$11,426575$	$11,42625$

De oplossing zit tussen $t = 5,7142$ en $t = 5,7143$ en is dus $t ≈5,714$ .

Twee schildersbedrijven adverteren met hun kosten. Ze beweren allebei heel goedkoop te zijn.

Schildersbedrijf A:
Spotgoedkoop: voor maar € 30,00 per vierkante meter komen wij uw muur een nieuwe kleur geven.

Schildersbedrijf B:
Wij schilderen voor slechts € 28,95 per vierkante meter. Daar komt € 48,00 aan voorrijkosten bij.

Welke vergelijking hoort bij de vraag: Wanneer zijn beide schildersbedrijven even duur?

$30a = 28,95a + 48$ , waarbij $a$ het aantal vierkante meter dat geschilderd moet worden.

Om de vergelijking op te stellen, moet je de kosten voor beide schildersbedrijven aan elkaar gelijkstellen.

De formule voor de kosten bij schildersbedrijf A is: $30a$ , waarbij $a$ het aantal vierkante meter is.

De formule voor de kosten bij schildersbedrijf B is: $28,95a + 48$ , waarbij $a$ het aantal vierkante meter is. Let op! In beide formules moet je dezelfde variabele gebruiken.

De vergelijking wordt dan $30a = 28,95a + 48$ .

Los de vergelijking in één decimaal nauwkeurig op.

$a ~~45,7$

Maak eerst een tabel voor $L = 30a$ en voor $R = 28,95a + 48$ . Je krijgt dan de tabel:

$a$	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$L$	0,00	300,00	600,00	900,00	1200,00	1500,00	1800,00	2100,00	2400,00	2700,00	3000,00
$R$	48,00	337,50	627,00	916,50	1206,00	1495,50	1785,00	2074,50	2364,00	2653,50	2943,00

Maak daarna de grafiek:

In de grafiek zie je dat de oplossing tussen $a=45$ en $a=50$ ligt. Je krijgt dan de tabel:

$a$	45	46	47	48	49	50
$L$	1350,00	1380,00	1410,00	1440,00	1470,00	1500,00
$R$	1350,75	1379,70	1408,65	1437,60	1466,55	1495,50

Je ziet dat de oplossing tussen $a=45$ en $a=46$ ligt. Tussen deze waarden maak je een tabel. Je krijgt dan de tabel:

$a$	45,0	45,1	45,2	45,3	45,4	45,5	45,6	45,7	45,8	45,9	46,0
$L$	1350,00	1353,00	1356,00	1359,00	1362,00	1365,00	1368,00	1371,00	1374,00	1377,00	1380,00
$R$	1350,75	1353,65	1356,54	1359,44	1362,33	1365,23	1368,12	1371,02	1373,91	1376,81	1379,70

In de tabel zie je dat de oplossing tussen $a=45,7$ en $a=45,8$ ligt. Tussen deze waarden maak je een tabel. Je krijgt dan de tabel:

$a$	45,7	45,71	45,72	45,73	45,74	45,75	45,76	45,77	45,78	45,79	45,80
$L$	1371,00	1371,30	1371,60	1371,90	1372,20	1372,50	1372,80	1373,10	1373,40	1373,70	1374,0
$R$	1371,02	1371,305	1371,594	1371,884	1372,173	1372,463	1372,752	1373,042	1373,331	1373,621	1373,91

Je ziet dat de oplossing tussen $a=45,71$ en $a=45,72$ ligt. Op één decimaal nauwkeurig is de oplossing van de vergelijking dus $a ~~45,7$ . Dat betekent dat bij het schilderen van 45,7 vierkante meter beide schildersbedrijven even duur zijn.

De eerste kaars is $20$ cm en wordt elk uur $1,5$ cm korter.

Na hoeveel uur is deze kaars nog $12$ cm lang?

Voor de lengte van de kaars past de formule $L = 20 - 1,5t$ als $t$ de tijd in uren en $L$ de lengte in cm is.

De vraag kun je vertalen naar de vergelijking $20 - 1,5t = 12$ .

Deze vergelijking kun je op meerdere manieren oplossen:

Door vergelijkend rekenen:
$20 - ... = 12$ betekent $... = 8$ , dus $1,5t = 8$ .
$1,5 * ... = 8$ betekent $... = 8 // 1,5$ , dus $t = 8//1,5~~5,33$ uur.

Door een terugrekenschema te gebruiken:
Vanuit de variabele moet je zo rekenen:

En dus kun je zo terugrekenen:

Dus is $t = (12 - 20) // text(-)1,5 ~~ 5,33$ .

Door de balansmethode te gebruiken:

$20 - 1,5t$

$=$

$12$

beide zijden $20$ aftrekken

$text(-)1,5t$

$=$

$text(-)8$

beide zijden delen door $text(-)1,5$

$t$

$=$

$text(-)8 // text(-)1,5 ~~ 5,33$

Ook hier vind je $t ~~ 5,33$ uur.

Bekijk in Voorbeeld hoe een vergelijking op drie manieren kan worden opgelost.

Wat is kenmerkend voor een vergelijking waarbij dit kan?

De variabele komt precies één keer in de vergelijking voor.

Bekijk de vergelijking $0,2a^2 + 200 = 600$

Laat zien dat deze vergelijking op alle drie de beschreven manieren kan worden opgelost.
Voer de drie oplossingsmethoden uit.

Zo bijvoorbeeld:

Door vergelijkend rekenen:
$... + 200 = 600$ betekent $... = 400$ , dus $0,2a^2 = 400$ .
$0,2 * ... = 400$ betekent $... = 400 // 0,2$ , dus $a^2 = 400//0,2 = 2000$ .
$a^2 = 2000$ geeft $a = +-sqrt(2000)$ .

Door terug te rekenen:
$a = +-sqrt((600 - 200)//0,2) = +-sqrt(2000)$ .

Door de balansmethode te gebruiken:

$0,2a^2 + 200$

$=$

$600$

beide zijden $200$ aftrekken

$0,2a^2$

$=$

$400$

beide zijden delen door $0,2$

$a^2$

$=$

$2000$

beide zijden worteltrekken

$a$

$=$

$+-sqrt(2000)$

Bekijk de vergelijking $0,2(a - 20)^2 = 400$

Los deze vergelijking zo handig mogelijk op.

Terugrekenen: $a = +-sqrt(400//0,2) + 20$ geeft $a = 20 +- sqrt(2000)$ .

Bekijk de vergelijking $0,2 sqrt(a - 20) = 4$

Los deze vergelijking zo handig mogelijk op.

Terugrekenen: $a = (4//0,2)^2 + 20 = 420$ .

Los de volgende vergelijkingen op.
Gebruik de methode die je het handigst vindt.

$15*(2x + 10) = 240$

$x = (240/15 - 10)//2 = 3$

$0,01(x - 4)^2 + 25 = 26$

$x = +-sqrt((26-25)//0,01) + 4$ geeft $x = text(-)6$ en/of $x = 14$ .

$15 - 2sqrt(x) = 35$

$x = ((35-15)//text(-)2)^2 = 100$

$60/(2x-4) = 3$

$2x-4 = 60/3 = 20$ geeft $x = (20+4)/2 = 12$

Bereken nu wanneer deze twee kaarsen even lang zijn. Ofwel: voor welke waarden van $t$ is deze vergelijking waar?

De vergelijking $20 -1,50t = 30 -3,25t$ kun je niet oplossen met terugrekenen.
Maar wel met de balansmethode:

$20 -1,50t$

$=$

$30 -3,25t$

beide zijden $3,25t$ optellen

$20 + 1,75t$

$=$

$30$

beide zijden $20$ aftrekken

$1,75t$

$=$

$10$

beide zijden door $1,75$ delen

$t$

$=$

$10/(1,75) = 40/7 ~~ 7,71$

Bekijk in het voorbeeld hoe je de balansmethode gebruikt om een vergelijking op te lossen.
Los nu zelf de vergelijkingen op.

$7g+6 =5g+15$

$7 g+6$

$=$

$5 g+15$

$7 g$

$=$

$5 g+9$

$2 g$

$=$

$9$

$g$

$=$

$9 /2 =4,5$

$8g-15 =5g+21$

$8 g-15$

$=$

$5 g+21$

$8 g$

$=$

$5 g+36$

$3 g$

$=$

$36$

$g$

$=$

$36 /3 =12$

$8g-15 =5g$

$8 g-15$

$=$

$5 g$

$8 g$

$=$

$5 g+15$

$3 g$

$=$

$15$

$g$

$=$

$15 /3 =5$

$12 -4g=6g+2$

$12 -4 g$

$=$

$6 g+2$

$text(-)4 g$

$=$

$6 g-10$

$text(-)10 g$

$=$

$text(-)10$

$g$

$=$

$(text(-)10) /(text(-)10) =1$

Los de vergelijkingen op.

$2 g+15 +6 g=5 +3 g-20$

$g = text(-)6$

$2 g+15 +6 g$

$=$

$5 +3 g-20$

$8g+15$

$=$

$text(-)15+3g$

$8g$

$=$

$text(-)30+3g$

$5g$

$=$

$text(-)30$

$g$

$=$

$text(-)6$

$6 +(8 g)/2 =4 -5 g+12 +g$

$g=1,25$

$6 +(8 g)/2$

$=$

$4 -5 g+12 +g$

$6+4g$

$=$

$16-4g$

$6+8g$

$=$

$16$

$8g$

$=$

$10$

$g$

$=$

$10/8=1,25$

$26 -a-4 a=8 a$

$a=2$

$26 -a-4 a$

$=$

$8 a$

$26-5a$

$=$

$8a$

$26$

$=$

$13a$

$2$

$=$

$a$

$x+6 -0,5 x=3,4 +0,1 x$

$x=text(-)6,5$

$x+6 -0,5 x$

$=$

$3,4 +0,1 x$

$0,5x+6$

$=$

$3,4+0,1 x$

$0,4x+6$

$=$

$3,4$

$0,4x$

$=$

$text(-)2,6$

$x$

$=$

$(text(-)2,6)/(0,4)=text(-)6,5$

Neem een getal in je hoofd. Vermenigvuldig het getal met $4$ en tel bij het antwoord $20$ op. Trek hiervan twee keer het getal af en neem de helft van wat je nu hebt gevonden.
Als je me nu de uitkomst van deze berekening vertelt, weet ik het getal dat je had bedacht.

Hoe kan dat? Geef een duidelijke uitleg door de bijbehorende vergelijking op te stellen.

Noem het getal $g$ en de uitkomst $u$ .
De vergelijking die je moet oplossen is $(4 g+20 -2 g)/2=u$ .
De linkerzijde van de vergelijking kun je herleiden. De vergelijking wordt: $g + 10 = u$ .
Als je de uitkomst weet, dat kun je het getal berekenen door er $10$ af te trekken.

Hoveniersbedrijf Jongman rekent voor het winterklaar maken van een tuin € $75,00$ plus € 2,50 per m2.

Maak een formule bij het verband tussen de oppervlakte $A$ van de tuin en de kosten $K$ voor het winterklaar maken.

$K = 75,00 + 2,50A$

Je betaalt sowieso € $75,00$ . Daarbovenop betaal je € $2,50$ voor elke vierkante meter. Je berekent dus de kosten door € $75,00$ op te tellen bij € $2,50$ maal het aantal vierkante meter $A$ . In een formule wordt dat: $K = 75,00 + 2,50A$

Meneer Van Gils heeft zijn tuin laten opknappen. Hij krijgt een rekening van € $475,00$ . Welke vergelijking moet je oplossen om te weten hoe groot de tuin van meneer Van Gils is?

$475,00 = 75,00 + 2,50A$

De kosten $K$ zijn dus € $475,00$ . Je substitueert 475,00 voor $K$ in de formule. Je krijgt de volgende vergelijking: $475,00 = 75,00 + 2,50A$

Los deze vergelijking op met behulp van een tabel en een grafiek. Hoe groot is de tuin van meneer Van Gils? Geef je antwoord in m2 nauwkeurig.

160 m2

Je krijgt dan de tabel:

A (m 2)	0	50	100	150	200	250	300	350	400
K (euro)	75	200	325	450	575	700	825	950	1075

Maak daarbij een grafiek:

In de grafiek lees je af dat $A = 160$ . Dus de tuin van meneer Van Gils is 160 m2.

Het concurrerende hoveniersbedrijf Green Garden rekent voor het winterklaar maken slechts € 25,00 en daarbij € 3,60 per m2. Met welke vergelijking kun je berekenen bij hoeveel m2 tuin beide bedrijven even duur zijn?

$75,00 + 2,50A = 25,00 + 3,60A$

Je stelt de twee formules voor de kosten van beide bedrijven aan elkaar gelijk. De formule voor Jongman heb je al, die is $75,00 + 2,50A$ .

Op dezelfde manier stel je de formule voor Green Garden op: $25,00 + 3,60A$

De vergelijking wordt dus: $75,00 + 2,50A = 25,00 + 3,60A$

Los deze vergelijking op met behulp van tabellen en een grafiek door in te klemmen. Geef je antwoord in gehele m2 nauwkeurig.

$A ~~ 45$ m2

In deze vergelijking is $L= 75,00 + 2,50A$ en $R=25,00 + 3,60A$ . Je krijgt dan de tabel:

$A$	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$L$	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
$R$	25	61	97	133	169	205	241	277	313	349	385

Hierbij maak je een grafiek:

In de grafiek lees je af dat het snijpunt tussen $A=45$ en $A=46$ ligt. Dus maak je een nauwkeuriger tabel met waarden voor $A$ : $45$ en $46$ . Je krijgt dan de tabel:

$A$	45,0	45,1	45,2	45,3	45,4	45,5	45,6	45,7	45,8	45,9	46,0
$L$	187,50	187,75	188,00	188,25	188,50	188,75	189,00	189,25	189,50	189,75	190,00
$R$	187,00	187,36	187,72	188,08	188,44	188,80	189,16	189,52	189,88	190,24	190,60

Het snijpunt ligt tussen $A=45,4$ en $A=45,5$ . Dus in gehele m2 is de prijs van de twee hoveniersbedrijven gelijk bij een oppervlakte van 45 m2.

Er is een verband tussen de lengte (in cm) van je voet en je schoenmaat: Vermenigvuldig de lengte van je voet met $1,5$ en tel daar $2$ bij op. Neem voor je voetlengte $L$ en de schoenmaat $S$ .

Beschrijf dit verband met een rekenschema.

Het rekenschema begint met de lengte van je voet. Die is gelijk aan $L$ , dus dat schrijf je eerst op. Daarna vermenigvuldig je dit met $1,5$ en tel je er vervolgens nog $2$ bij op. Dan weet je je schoenmaat en die is gelijk aan $S$ .

Stel een formule op bij het verband tussen $L$ en $S$ .

$S=1,5L+2$

Als je $L$ invult, komt er $S$ uit. Hierdoor weet je dat de formule moet beginnen met $S=...$ . Als je de $L$ invult, ga je dit eerst vermenigvuldigen met $1,5$ en daarna tel je er nog $2$ bij op. Je kunt nu de formule afmaken: $S=1,5L+2$ .

Bereken je schoenmaat als je voet $26$ cm lang is.

Je schoenmaat is dan $41$ .

Bereken je schoenmaat met behulp van het rekenschema of de formule. Vul voor $L$ $26$ in en bereken hiermee $S$ . Met de formule ziet je dat je schoenmaat $1,5*26+2=41$ is.

Welke vergelijking hoort er bij de vraag: Bij welke voetlengte heb je een schoenmaat van 36,5?
Geef een terugrekenschema.

$1,5L+2 =36,5$

De schoenmaat is gegeven en die is in de formule gelijk aan $S$ . Vul voor de $S$ nu de gegeven schoenmaat $36,5$ in. De voetlengte $L$ is onbekend, zowel in de formule als in de vraag. Hierdoor weet je zeker dat je de juiste vergelijking hebt opgeschreven: $1,5L+2 =36,5$ .

Los deze vergelijking op door terug te rekenen.

Bekijk het terugrekenschema en het terugrekenschema.

Maak eerst het terugrekenschema aan de hand van het rekenschema. Draai de pijlen om en neem de inverse van $*1,5$ en $+2$ . Je weet dat de schoenmaat $S$ gelijk is aan $36,5$ . Dit kun je nu in het terugrekenschema invullen en je weet wat $L$ is.

Voor een toets kun je maximaal $51$ punten krijgen. Het cijfer wordt berekend met de formule $c=p/51*9 +1$ . De $c$ staat voor het cijfer en de $p$ voor het aantal punten.

Welke cijfer heb je als je $33$ punten hebt behaald? Rond af op één decimaal.

$6,8$

Het aantal punten $p$ is gelijk aan $33$ . Vul dit in de formule in om het cijfer te berekenen. Je krijgt dan de volgende berekening: $33/51 * 9 + 1 ~~6,8$ .

Maak een terugrekenschema bij deze formule.

Rekenschema:

Terugrekenschema:

Om het terugrekenschema te maken, kun je het beste gebruik maken van het rekenschema. Als je het rekenschema hebt gemaakt, draai je de pijlen om. Vervolgens schrijf je de inverse van $/ 51$ , $*9$ en $+1$ op.

Rekenschema:

Terugrekenschema:

Jan Willem had een $6,5$ voor de toets.
Welke vergelijking moet je oplossen om uit te rekenen hoeveel punten hij had? Los die vergelijking op.

Je moet oplossen $p/51*9 +1 =6,5$ . Hij heeft $31$ punten behaald.

Maak gebruik van het terugrekenschema van opdracht b. Je weet dat zijn punt een $6,5$ is. Hiervan haal je er eentje vanaf $6,5-1=5,5$ . Dit deel je vervolgens door $9$ wat de volgende berekening geeft: $(5,5)/9~~0,61$ . Als laatste vermenigvuldig je dit met $51$ en weet je hoeveel punten hij heeft behaald. $0,61*51~~31$ punten.

Welke formule hoort bij het terugrekenschema?
Controleer je formule met behulp van c.

$p = (c - 1)/9 * 51$

Maak gebruik van het terugrekenschema. Als je $c$ invult, komt er $p$ uitgerold. De formule begint dus met $p=...$ . Als je $c$ invult haal je er eerst $1$ vanaf. Daarna deel je alles door $9$ , dus $c-1$ moet samen in de teller van de breuk komen te staan. Als laatste vermenigvuldig je alles met $51$ . De formule komt er dan als volgt uit te zien: $p = (c-1)/9 * 51$ .

Los de vergelijkingen op.

$12g+3 =7g+18$

$12g+3$

$=$

$7g+18$

$12g$

$=$

$7g+15$

$5g$

$=$

$15$

$g$

$=$

$3$

$13+6g - 2 =2 +8g$

$13+6g - 2$

$=$

$2 +8g$

$11+6g$

$=$

$2+8g$

$9+6g$

$=$

$8g$

$9$

$=$

$2g$

$4,5$

$=$

$g$

$2(x - 12)^2 = 32$

$2(x - 12)^2$

$=$

$32$

$(x - 12)^2$

$=$

$16$

$x-12$

$=$

$+-sqrt(16) = +-4$

$x$

$=$

$8$ en/of $x = 16$

$text(-)6p+55 =4(p-5)$

$text(-)6p+55$

$=$

$4p-20$

$text(-)6p+75$

$=$

$4p$

$75$

$=$

$10p$

$p$

$=$

$7,5$

$text(-)x+7 =x-(11+3x)$

$text(-)x+7$

$=$

$x - 11 - 3x = text(-)2x - 11$

$text(-)x$

$=$

$text(-)2x-18$

$x$

$=$

$text(-)18$

$320 +0,5g=950 -1,25g$

$320 +0,5g$

$=$

$950 -1,25g$

$0,5g$

$=$

$630 -1,25g$

$1,75g$

$=$

$630$

$g$

$=$

$360$

Los de vergelijkingen op.

$2 (k+5 )=text(-)4k$

$2 (k+5 )$

$=$

$text(-)4k$

$2k+10$

$=$

$text(-)4k$

$6k + 10$

$=$

$0$

$6k$

$=$

$text(-)10$

$k$

$=$

$text(-) 10/6 = text(-)1 2/3$

$0,1(a - 5)^2 = 5$

$0,1(a - 5)^2$

$=$

$5$

$(a - 5)^2$

$=$

$50$

$a-5$

$=$

$+-sqrt(50)$

$a$

$=$

$5 +- sqrt(50)$

$3 (x+1 )-2 (x-4 )=1$

$3 (x+1 )-2 (x-4 )$

$=$

$1$

$3x+3-2 x+8$

$=$

$1$

$x+11$

$=$

$1$

$x$

$=$

$text(-)10$

$0,5 sqrt(2x - 1) = 1$

$0,5 sqrt(2x - 1)$

$=$

$1$

$sqrt(2x - 1)$

$=$

$2$

$2x-1$

$=$

$4$

$2x$

$=$

$5$

$x$

$=$

$2,5$

Mina en Yassin hebben beiden een moestuin. Beide moestuinen hebben dezelfde oppervlakte, maar andere afmetingen. Noem de standaard afmetingen $x$ bij $x$ bij meter. De moestuin van Mina is elf meter langer maar twee meter korter in de breedte. De moestuin van Yassin is vier meter langer en drie meter breder.

Met welke formule kun je de oppervlakte van de moestuin van Yassin berekenen?

oppervlakte $=(x+4)(x+3)$

De moestuin wordt vier meter langer, dus de lengte is gelijk aan $x+4$ . De moestuin wordt ook drie meter breder, dus de breedte is gelijk aan $x+3$ . De oppervlakte van de moestuin kun je berekenen door lengte keer breedte te doen. De oppervlakte van de moestuin van Yassin is gelijk aan $(x+4)(x+3)$ .

Met welke formule kun je de oppervlakte van de moestuin van Mina berekenen?

oppervlakte $=(x+11)(x-2)$

De moestuin wordt elf meter langer, dus de lengte is gelijk aan $x+11$ . De moestuin wordt in de breedte twee meter ingekort, dus de breedte is gelijk aan $x-2$ . De oppervlakte van de moestuin kun je berekenen door lengte keer breedte te doen. De oppervlakte van de moestuin van Mina is gelijk aan $(x+11)(x-2)$ .

De oppervlaktes van de moestuinen van Mina en Yassin zijn even groot. Welke afmetingen hebben ze?

Los op: $(x+4)(x+3) = (x+11)(x-2)$ .
Dit geeft na haakjes wegwerken: $x=17$ .
De afmetingen van Yassin' moestuin zijn $20$ bij $21$ m.
De afmetingen van Mina's moestuin zijn $15$ bij $28$ m.

$(x+4)(x+3)$

$=$

$(x+11)(x-2)$

$x^2+3x+4x+12$

$=$

$x^2-2x+11x-22$

$x^2+7x+12$

$=$

$x^2+9x-22$

$7x+12$

$=$

$9x-22$

$7x+34$

$=$

$9x$

$34$

$=$

$2x$

$x$

$=$

$17$

Hoeveel m² is de oppervlakte van de moestuinen?

$420$ m²

Er geldt dat $x=17$ , dus dit kun je invullen in de formule voor de oppervlakte van de moestuin van bijvoorbeeld Mina. Hieruit volgt: $(17+11)(17-2) = 28*15=420$ m².

Je ziet hier een leeg zuiver cilindervormig blik.

Dergelijke blikken worden gemaakt van metaal. De oppervlakte van het blik bepaalt hoeveel metaal je ervoor nodig hebt.

Noem de straal van de cirkelvormige bodem $r$ cm en de hoogte van het blik $h$ cm.

Voor de oppervlakte $A$ van blik met deksel geldt dan (ongeveer):

$A = 2pi r^2 + 2pi r h$

Deze formule kun je zelf afleiden.

Bekijk de formule voor de oppervlakte van een cilindrisch blik.

Leg uit hoe je deze formule zelf kunt afleiden.

Het blik met deksel bestaat bij benadering uit twee cirkels met straal $r$ en een (als je rest plat uitvouwt) rechthoek waarvan de lengte de omtrek van de cirkel en de hoogte $h$ is.
De oppervlakte van een cirkel is $pi r^2$ en de omtrek van die cirkel is $2pi r$ .

Je krijgt dus $A = 2*pi r^2 + 2pi r * h$ .

Bekijk alleen blikken waarvan de hoogte en de diameter even groot zijn.

Welke formule geldt voor de oppervlakte van zo'n blik?

Dan is $h = 2r$ .
En dus $A = 2pi r^2 + 2pi r * 2r = 6pi r^2$ .

Hoe groot is de diameter van zo'n blik als de oppervlakte $500$ cm2 is? Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

$6 pi r^2 = 500$ geeft (terugrekenen) $r = sqrt(500/(6pi)) ~~ 5,15$ cm.

De diameter is ongeveer $10,3$ cm.

Bekijk de oppervlakteformule van het cilindrische blik nog eens.

Welke formule kun je opstellen voor de inhoud $I$ van zo'n blik?

$I = pi r^2 h$

Hoeveel cm2 is de oppervlakte van een blik met een hoogte van $10$ cm en een inhoud van $1$ L? Geef je antwoord in mm2 nauwkeurig.

$I = pi r^2 * 10 = 1000$ cm3 geeft $r = sqrt(100/(pi)) ~~ 5,64$ cm.

De oppervlakte is dan $A ~~ 554,49$ cm2.

Een zwembad heeft een kortingskaart voor een jaar. Voor deze kortingskaart betaal je € 45,00, maar met deze kaart betaal je maar € 2,50 per keer zwemmen. Als je geen kortingskaart hebt, betaal je € 4,50 per keer zwemmen.

Je wilt weten hoeveel keer je in een jaar moet gaan zwemmen om voordeliger uit te zijn met een kortingskaart.
Welke vergelijking past daar bij?

$45,00 + 2,50a = 4,50a$ , waarbij $a$ het aantal keren zwemmen.

In dit geval wil je de kosten zonder kortingskaart vergelijken met de kosten met een kortingskaart. Dus je stelt voor beide situaties een formule op voor de kosten $K$ met als onafhankelijke variabele het aantal keer zwemmen die je $a$ noemt.

Met kortingskaart: je betaalt sowieso 45,00 euro. Daarbovenop betaal je 2,50 euro per keer. De formule wordt dus: $K = 45,00 + 2,50a$ .

Zonder kortingskaart: je betaalt 4,50 euro per keer zwemmen, dus de formule is: $K = 4,50a$ .

Deze twee formules stel je aan elkaar gelijk, dus die vergelijking is: $45,00 + 2,50a =4,50a$ .

Los deze vergelijking op.

Dat kan met de balansmethode of met behulp van inklemmen.
Je vindt $a= 22,5$ , dus met $23$ keer zwemmen ben je voordeliger uit met een kortingskaart.

Los de volgende vergelijkingen op.

$26 - 3,5x = 10$

$x = 32/7$

$3,5x = 16$ geeft $x = 16//3,5 = 32/7$

$26 - 3,5x = 10 + 2x$

$x = 32/11$

De balansmethode geeft $x = 16//5,5 = 32/11$

$3(x - 4)^2 = 300$

$x = 14$ en/of $x = text(-)6$

$(x-4)^2 = 100$ geeft $x = 14$ en/of $x = text(-)6$ .

$(k-3)(k+6) = k(k - 2)$

$k = 3,6$

$k^2 + 3k - 18 = k^2 - 2k$ geeft $3k - 18 = text(-)2k$ en dus $5k = 18$ zodat $k = 3,6$ .

$26/(3p + 5) = 2$

$p = 8/3$

$3p+5 = 13$ geeft $p = 8/3$

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het oplossen van vergelijkingen met de balansmethode. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.

$A$	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$L$	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
$R$	25	61	97	133	169	205	241	277	313	349	385

$A$	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$L$	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
$R$	25	61	97	133	169	205	241	277	313	349	385

$A$	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$L$	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
$R$	25	61	97	133	169	205	241	277	313	349	385