formules met machten van variabelen herleiden, ook met delingen.
de begrippen variabele, formule, tabel en grafiek;
bij een formule een tabel en een grafiek maken.
Drie geostationaire satellieten boven de evenaar zijn, indien goed geplaatst, genoeg om de hele wereld te bedekken, met uitzondering van het poolgebied. Zo'n satelliet moet op een hoogte van km boven het aardoppervlak zitten en net zo snel ronddraaien als het punt op het aardoppervlak waar het recht boven blijft. Dat punt doet over één omwenteling uur. De straal van de aarde is ongeveer km.
Neem aan dat de baan van zo'n satelliet zuiver cirkelvormig is.
Hoe lang is die baan?
De diameter van de baan is ongeveer km.
Dus de lengte (omtrek cirkel) is km.
Hoe snel beweegt deze satelliet in km/h?
km in uur, dus dat is km/uur.
Een Boeing 747 vliegt ongeveer met een snelheid van km/uur.
Hoeveel keer zo snel vliegt de satelliet (hoewel hij steeds op hetzelfde punt boven het aardoppervlak blijft)?
keer zo snel.
De oppervlakte van een bol (zoals de aarde ongeveer is) bereken je met de formule , waarin de straal van de bol is. De satelliet bestrijkt ongeveer deel van het aardoppervlak.
Welke oppervlakte heeft het gebied dat de satelliet bestrijkt ongeveer?
km
Als je in formules hele grote of hele kleine getallen moet invullen, werk je met machten van .
Bijvoorbeeld als je de omtrek en de oppervlakte van een rechthoek gaat berekenen met lengte m en breedte m.
m.
m
Verder is de lengte keer zo groot dan de breedte.
Je ziet:
Je kunt machten van van dezelfde soort (met dezelfde exponent) optellen.
Er geldt: .
Dit geldt ook voor machten met andere grondtallen: .
Je kunt machten van met gelijke of verschillende exponenten vermenigvuldigen.
Er geldt: .
Dit geldt ook voor machten met andere grondtallen: .
Je kunt machten van met gelijke of verschillende exponenten delen.
Er geldt: .
Dit geldt ook voor machten met andere grondtallen: .
Bij optellen en vermenigvuldigen van variabelen mag je de volgorde verwisselen: en . Dit heet de wisseleigenschap van optellen en vermenigvuldigen. Let op! Voor aftrekken en delen geldt de wisseleigenschap niet: en .
Voor een cilinder met diameter en hoogte geldt voor het volume de formule .
Een koperen draad heeft een lengte van m en een diameter van m.
Bereken de hoeveelheid koper die voor deze draad nodig is.
m
Van een grote cilindrische tank zijn diameter en hoogte gelijk, allebei mm.
Je kunt het volume van deze tank berekenen door en beide
in de formule in te vullen.
Maar je kunt ook eerst de formule herleiden tot .
Laat zien, hoe je aan deze laatste formule komt.
Bereken vervolgens op beide manieren het volume van de tank.
Omdat geldt: .
Invullen van en in de eerste formule geeft: .
Invullen van in de tweede formule geeft: .
Voor de oppervlakte van een cilinder geldt: .
Ga uit van dezelfde cilindervormige tank als bij b.
Schrijf de formule voor de oppervlakte zo, dat alleen in is uitgedrukt.
Bereken daarna de totale oppervlakte van deze tank.
.
Dit levert op: .
In de uitleg zie je hoe je met machten moet rekenen als dezelfde variabelen herhaaldelijk met elkaar worden vermenigvuldigd of opgeteld.
Schrijf korter.
.
Schrijf korter.
Je moet optellen en aftrekken. Je ziet dat ze allemaal de factor bevatten.
Schrijf korter.
Schrijf korter.
Bij deze opdracht moet je optellen en aftrekken. De termen met tel je bij elkaar: . Daarnaast heb je ook termen met en: .
Je kunt korter schrijven als .
Bij deze opdracht moet je optellen en aftrekken. De termen met tel je bij elkaar: . Daarnaast heb je ook termen met en: .
Je kunt korter schrijven als .
Schrijf zo kort mogelijk.
Schrijf zo kort mogelijk.
Herleid de volgende formules.
Je kunt uitdrukkingen waarin machten voorkomen herleiden door deze
Dit kun je gebruiken bij het werken met machten van .
Hiermee kun je ook formules herleiden waarin machten voorkomen.
Daarbij kun je ook gebruik maken van gelijksoortige termen samennemen en haakjes wegwerken.
Je kunt hiermee formules zo eenvoudig mogelijk schrijven. Maar vooral bij het oplossen van vergelijkingen heb je dergelijke herleidingen nodig.
Je ziet hier een staalplaat die bestaat uit een vierkant met daartegen een halve cirkel. Uit het vierkant is een kleiner vierkant weggesneden.
De oppervlakte van een cirkel met diameter is .
Laat zien dat voor de oppervlakte van deze staalplaat geldt: .
Bereken die oppervlakte als mm.
De oppervlakte van de staalplaat kun je zo berekenen:
de halve cirkel heeft een straal van , dus een oppervlakte van ;
de rest van de figuur is een groot vierkant met zijden waaruit een kleiner vierkant met zijden van is weggesneden, zodat de oppervlakte is;
de totale oppervlakte is .
Dit kun je herleiden tot: .
Hierin vul je in en je krijgt:
mm
Bekijk de staalplaat in
Voer het herleiden van de formule voor de oppervlakte zelf uit.
.
Voor de afwerking wordt om de staalplaat een kunststof rand gemaakt.
Welke formule kun je voor de lengte van die rand opstellen? Herleid je formule zo ver mogelijk.
.
Bereken de lengte van de kunststof rand als mm.
mm.
Werken met machten en gelijksoortige termen samennemen is belangrijk als je met formules werkt. Herleid de uitdrukkingen.
Hier zie je formules waarin machten voorkomen. Schrijf elk van die formules eerst zo eenvoudig mogelijk. Vul daarna en in elke formule in en bereken de waarde van .
Eerst herleiden:
Daarna en invullen geeft:
Je maakt een vierkante omlijsting door uit een gegeven vierkant en kleiner vierkant te zagen.
De omlijsting heeft overal een dikte van cm en een oppervlakte van cm
Welke afmetingen heeft het grootste vierkant?
Noem de zijden van het grootste vierkant cm.
Die van het kleinste vierkant zijn dan .
De oppervlaktes zijn dan
en cm
Uit de gegevens volgt .
Oplossing:
Het grootste vierkant heeft zijden van cm.
Los de vergelijkingen op.
Bert heeft een tuin die meter langer is dan hij breed is. Van de tuin van Bart is de breedte meter minder dan de tuin van Bert, maar de lengte is meter meer dan die van Berts tuin. Beide tuinen hebben een even grote oppervlakte. Je wilt weten hoe breed de tuin van Bert is.
Maak een schets van beide tuinen.
Bert's tuin: rechthoek van bij .
Bart's tuin: rechthoek van bij .
Welke vergelijking kun je opstellen om de breedte van de tuin van Bert te berekenen?
De oppervlakte van de tuin van Bert is .
De oppervlakte van de tuin van Bart is .
Als je de vergelijking oplost, weet je de breedte van de tuin van Bert.
Los de vergelijking op.
Hoe lang en hoe breed is de tuin van Bert?
De breedte is m, de lengte is m.
Herleid.
Voor een cilinder met diameter en hoogte geldt voor het volume de formule en voor de oppervlakte de formule .
Van een cilinder is de hoogte drie keer zo groot dan de diameter.
Laat zien dat voor de inhoud van deze cilinder de formule geldt.
Laat zien dat voor de oppervlakte van deze cilinder de formule geldt.
.
Bereken de inhoud en de oppervlakte van deze cilinder als de diameter m is.
m
m
Los de vergelijkingen op.
Schrijf de volgende formules zo eenvoudig mogelijk.
De twee landjes hebben dezelfde oppervlakte.
Welke vergelijking levert dit op?
Om de oppervlakte van landje te berekenen, maak je gebruik van de volgende formule: . Om de oppervlakte van landje te berekenen, maak je gebruik van de volgende formule: . De oppervlakten van landje en landje zijn gelijk aan elkaar. Je kunt de formules nu gelijk aan elkaar stellen. Dan krijg je de vergelijking .
Los de vergelijking op.
Welke oppervlakte hebben deze landjes?
Je weet dat en dat beide landjes een even groot oppervlakte hebben. Vul de waarde van bij landje in om de oppervlakte te berekenen. Hieruit volgt:
Het land van boer Brandwijk is een vierkant van bij meter. Door de aanleg van een fietspad moet hij aan de oostkant een strook van drie meter afstaan. Hij wil er aan de zuidkant een strook van vier meter bij.
Levert hem dat extra land op?
Bekijk hierboven de situatie waarin boer Brandwijk terecht is gekomen.
Welke oppervlakte heeft zijn land na de aanleg van het fietspad als hij zijn zin krijgt? Schrijf de uitdrukking met haakjes en zonder haakjes.
De lengte en de breedte van zijn oorspronkelijke land is meter. Aan de rechterkant verliest hij drie meter, dus wordt de breedte m. Aan de onderkant krijgt hij er vier meter bij, dus wordt de lengte m. De oppervlakte wordt . Dit kun je schrijven zonder haakjes, namelijk: .
De lengte en de breedte van zijn oorspronkelijke land is meter. Aan de rechterkant verliest hij drie meter, dus wordt de breedte m. Aan de onderkant krijgt hij er vier meter bij, dus wordt de lengte m. De oppervlakte wordt . Dit kun je schrijven zonder haakjes, namelijk: .
Als zijn land oorspronkelijk honderd meter lang en breed was, hoeveel m² heeft hij er dan bij gekregen?
Zijn oorspronkelijke oppervlakte was: m². De oppervlakte van zijn nieuwe land is gelijk aan: en je weet dat gelijk is aan . Door dit in te vullen volgt de nieuwe oppervlakte: m². Hij krijgt er dus m² bij.
Zijn oorspronkelijke oppervlakte was: m². De oppervlakte van zijn nieuwe land is gelijk aan: en je weet dat gelijk is aan . Door dit in te vullen volgt de nieuwe oppervlakte: m². Hij krijgt er dus m² bij.
Bij welke waarde van is het land na de aanleg van het fietspad even groot als daarvoor?
Los op: .
Dit geeft: m.
De oppervlakte van zijn oorspronkelijke land kun je berekenen door te doen. De oppervlakte van zijn nieuwe land kun je berekenen door te doen. Als de oppervlakte van zijn oorspronkelijke land en nieuwe land even groot moeten zijn, stel je de formules aan elkaar gelijk. Je krijgt dan de volgende vergelijking die je moet oplossen: .
Hieruit volgt dat , dus bij een waarde van is het land na de aanleg van het fietspad even groot.
Los het volgende probleem op:
Stel is het aantal stoelen per rij. In zaal 1 zijn er even veel stoelen per rij als er rijen zijn. Dit betekent dat er stoelen zijn. Zaal 2 heeft vijf rijen meer, dus , maar vier stoelen per rij minder, . Je moet dan de vergelijking oplossen.
Je vindt: , dus elke zaal heeft stoelen.
Stel is het aantal stoelen per rij. In zaal 1 zijn er even veel stoelen per rij als er rijen zijn. Dit betekent dat er stoelen zijn. Zaal 2 heeft vijf rijen meer, dus , maar vier stoelen per rij minder, . Je moet dan de vergelijking oplossen.
Hieruit volgt dat , dus er staan stoelen in zowel zaal als zaal .
Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk. Werk ook de haakjes weg.
Los de vergelijkingen op.
of
of
Bekijk deze schets van twee grasvelden. Alle hoeken zijn recht.
Beide velden hebben een even grote oppervlakte. Hoe groot is die oppervlakte?
m²
Om de oppervlakte van veld 1 te berekenen moet je eerst rechthoeken maken. Daarna kun je de oppervlakte van beide rechthoeken bij elkaar optellen. Je krijgt dan . Om de oppervlakte van veld 2 te berekenen moet je deze ook eerst in rechthoeken verdelen. Daarna kun je de oppervlakte van beide rechthoeken bij elkaar optellen. Je krijgt dan .
Beide velden hebben dezelfde oppervlakte, dus krijg je de vergelijking die je moet oplossen.
Hieruit volgt dat , dus de oppervlakte van veld 2 is gelijk aan m