breuken met variabelen vereenvoudigen en gelijknamig maken;

breuken met variabelen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

het begrip breuk (alleen met getallen), breuken vereenvoudigen en gelijknamig maken;

rekenen met breuken met getallen.

Reken met de breuken $3/5$ en $2/7$ .

Bereken de som van beide breuken.

$3/5+2/7=31/35$

Maak beide breuken eerst gelijknamig. $3/5+2/7=21/35+10/35=31/35$

Bereken het verschil van $3/5$ en $2/7$ .

$3/5-2/7=11/35$

$3/5-2/7=21/35-10/35=11/35$

Hoeveel is het product van beide breuken?

$3/5*2/7=6/35$

$3/5 * 2/7 = (3*5)/(5*7) = 6/35$

Bereken het quotiënt van beide breuken, deel de grootste door de kleinste.

$(3/5)/(2/7)=21/10$

$(3/5)/(2/7)=(21/35)/(10/35)=21/10$

Kun je de voorgaande berekeningen ook uitvoeren met de breuken $3/a$ en $2/b$ ?

Dat kan inderdaad, alleen weet je bij verschil en quotiënt de juiste volgorde niet.

Je kunt al rekenen met breuken: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Het rekenen met breuken waarin variabelen voorkomen, gaat net zo.

Bij optellen en aftrekken maak je de breuken eerst gelijknamig:
$a/b+c/d= (a*d) / (b*d) + (b*c) / (b*d) = (ad+bc) / (bd)$ en $a/b-c/d= (a*d) / (b*d) - (b*c) / (b*d) = (ad-bc) / (bd)$

Bij vermenigvuldigen moet je de tellers en noemers afzonderlijk vermenigvuldigen:
$a/b*c/d= (a*c) / (b*d) = (ac) / (bd)$

Bij delen maak je de breuken eerst gelijknamig:
$a/b//c/d=(a/b)/(c/d)= ((a*d) / (b*d)) / ((b*c) / (b*d)) = (ad) / (bc)$ (beide breuken met $b*d$ vermenigvuldigen)

Omdat $a/b//c/d=(a/b)/(c/d)= (ad) / (bc) = a/b * d/c$ kun je ook onthouden dat delen door een breuk als $c/d$ op hetzelfde neerkomt als vermenigvuldigen met het omgekeerde $d/c$ van die breuk.

Er is een maar: door $0$ delen heeft geen betekenis. In de berekeningen hierboven moet daarom steeds gelden $b!=0$ en $d!=0$ en bij de deling geldt ook $c!=0$ .

Soms is het voordat je met breuken gaat rekenen verstandig om ze eerst te vereenvoudigen.
Dat doe je door teller en noemer door hetzelfde te delen: $(ac)/(bc) = a/b$ .

Bekijk in de uitleg hoe je met breuken rekent als daar variabelen in voorkomen. Neem aan dat alle variabelen ongelijk zijn aan $0$ . Bereken.

$p/q+r/s$

$p/q+r/s= (ps+qr) / (qs)$

$p/q+r/s= (ps) / (qs) + (qr) / (qs) = (ps+qr) / (qs)$

$2/p-3/q$

$2/p-3/q= (2 q-3 p) / (pq)$

$2/p-3/q= (2 q) / (pq) - (3 p) / (pq) = (2 q-3 p) / (pq)$

$2/a-1/2$

$2/a-1/2=(4 -a) / (2 a)$

$2/a-1/2=4/ (2 a) -a/ (2 a) = (4 -a) / (2 a)$

$a/2+1/a$

$a/2+1/a= (a^2+2) / (2 a)$

$a/2+1/a=a^2/ (2 a) +2/ (2 a) = (a^2+2) / (2 a)$

Bekijk in de uitleg hoe je met breuken rekent als daar variabelen in voorkomen. Neem aan dat alle variabelen ongelijk zijn aan $0$ . Bereken en vereenvoudig de breuken waar het nodig is.

$p/q//r/s$

$p/q//r/s=(p/q)/(r/s) = (ps)/(qr)$

$p/q//r/s=(p/q)/(r/s) = ((ps)/(qs))/((qr)/(qs)) = (ps)/(qr)$

$2/a*1/2$

$2/a*1/2 =1/a$

$2/a*1/2=2/ (2 a) =1/a$

$a/2*1/a$

$a/2*1/a=1/2$

$a/2*1/a=a/ (2 a) =1/2$

$2/p//3/q$

$2/p//3/q=(2/p)/(3/q)=(2q)/(3p)$

$2/p//3/q=(2/p)/(3/q)= ((2 q) / (pq))/ ((3 p) / (pq)) = (2 q) / (3 p)$

Breuken kun je vereenvoudigen door teller en noemer door hetzelfde te delen: $(ac)/(bc) = a/b$ .

Het rekenen met breuken met variabelen gaat net als het rekenen van breuken met getallen:

Bij optellen en aftrekken maak je de breuken eerst gelijknamig:
$a/b +- c/d= (a*d) / (b*d) +- (b*c) / (b*d) = (ad+-bc) / (bd)$

Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je de tellers en noemers afzonderlijk:
$a/b*c/d= (a*c) / (b*d) = (ac) / (bd)$

Bij delen maak je de breuken eerst gelijknamig:
$a/b//c/d=(a/b)/(c/d)= ((a*d) / (b*d)) / ((b*c) / (b*d)) = (ad) / (bc)$

Of je gebruikt $a/b//c/d=a/b * d/c$ .

Door $0$ delen heeft geen betekenis. In de berekeningen hierboven moet daarom steeds gelden $b!=0$ en $d!=0$ en bij de deling geldt ook $c!=0$ .

Gegeven zijn de breuken $3/x$ en $5/ (2 y)$ (met $x!=0$ en $y!=0$ ). Tel beide breuken op, vermenigvuldig ze en deel de eerste door de tweede.

Optellen: $3/x+5/ (2 y) = (3 *2 y) / (x*2 y) + (5 *x) / (2 y*x) = (6 y) / (2 xy) + (5 x) / (2 xy) = (5 x+6 y) / (2 xy)$

Vermenigvuldigen: $3/x*5/ (2 y) = (3 *5) / (x*2 y) =15/ (2 xy)$

Delen: $3/x//5/ (2 y) =(3/x)/(5/ (2 y)) = ((6 y) / (2 xy)) / ((5 x) / (2 xy)) = (6 y) / (5 x)$

Werk met de breuken $3/(2a)$ en $5/b$ .

Trek de tweede breuk van de eerstgenoemde af.

$3/(2a) - 5/b = (3b)/(2ab) - (10a)/(2ab) = (3b-10a)/(2ab)$

Vermenigvuldig beide breuken.

$3/(2a) * 5/b = (15)/(2ab)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$3/(2a) // 5/b = 3/(2a) * b/5 = (3b)/(10a)$

Werk met de breuken $1/3a$ en $1/(2a)$ .

Leg uit dat $1/3a = a/3$ .

$1/3a = 1/3 * a = 1/3 * a/1 = (1*a)/(3*1) = a/3$

Tel beide breuken bij elkaar op.

$1/3a + 1/(2a) = a/3 + 1/(2a) = (2 a^2) / (6 a) +3/ (6 a) = (2 a^2+3) / (6 a)$

Vermenigvuldig beide breuken.

$1/3a * 1/(2a) = a/3 * 1/(2a) = (a)/(6a^2) = (1) / (6 a)$

Deel de tweede breuk door de eerste.

$1/(2a) // 1/3a = 1/(2a) // a/3 = 1/(2a) * 3/a = 3/(2a^2)$

Gegeven zijn de breuken $(6 a) / (2 a^3)$ en $5/ (4 a)$ (met $a!=0$ ).

Vermenigvuldig beide breuken: $(6 a) / (2 a^3)* 5/ (4 a)$

Trek de eerste breuk van de tweede af: $5/ (4 a) - (6 a) / (2 a^3)$

Voor beide berekeningen is het verstandig om vooraf de eerste breuk te vereenvoudigen:
$(6 a) / (2 a^3) = (2 *3 *a) / (2 *a*a*a) =3/a^2$

Vermenigvuldigen: $3/a^2*5/ (4 a) = (3 *5) / (a^2*4 a) =15/ (4 a^3)$

Aftrekken: $5/ (4 a) -3/a^2= (5 *a) / (4 a*a) - (4 *3) / (4 *a^2) = (5 a) / (4 a^2) -12/ (4 a^2) = (5 a-12) / (4 a^2)$

Vereenvoudig de breuken (neem aan dat $a!=0$ en $b!=0$ ).

$(6 a) / (8 ab)$

$(6 a) / (8 ab) = 3/ (4 b)$

$(6 a) / (8 ab) = (2 *3 *a) / (2 *4 *a*b) =3/ (4 b)$

$(5 b) / (15 b^3)$

$(5 b) / (15 b^3) =1/ (3 b^2)$

$(5 b) / (15 b^3) = (5 *b) / (5 *3 *b*b*b) =1/ (3 b^2)$

$(7 a) /21$

$(7 a) /21=1/3a$

$(7 a) /21= (7 *a) / (7 *3) =a/3=1/3a$

$(5 a^2b) / (ab)$

$(5 a^2b) / (ab) =5 a$

$(5 a^2b) / (ab) = (5*a*a*b) / (a*b) = (5 a) /1=5 a$

Werk met de breuken $(3x^2)/(xy)$ en $(xy)/(4y)$ .

Trek de tweede breuk van de eerste af.

$(12 x - xy) / (4 y)$

$(3 x^2) / (xy) - (xy) / (4 y) = (3 x) /y - (xy) / (4 y) = (12 x) / (4 y) - (xy) / (4 y) = (12 x - xy) / (4 y)$

Je ziet dat het verstandig is om niet zomaar beide breuken te vereenvoudigen. Ze moeten immers ook gelijknamig worden.

Vermenigvuldig beide breuken.

$(3 x^2) / (4 y)$

$(3 x^2) / (xy) * (xy) / (4 y) = (3 x) /y * (x) / (4) = (3 x^2) / (4 y)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$12/y$

$(3 x^2) / (xy) // (xy) / (4 y) = (3 x) /y // (x) / (4) = (3x)/y * 4/x = (12 x) / (xy) = 12/y$

Werk met de breuken $(2pq)/(4p)$ en $(3p)/(p^2)$ .

Tel beide breuken op.

$(2pq + 12)/(4p)$

$(2pq)/(4p) + (3p)/(p^2) = (pq)/(2p) + 3/p = (pq)/(2p) + 6/(2p) = (pq+6)/(2p)$

Je ziet dat het verstandig is om niet zomaar beide breuken te vereenvoudigen. Ze moeten immers ook gelijknamig worden.

Vermenigvuldig beide breuken.

$(3q)/(2p)$

$(2pq)/(4p) * (3p)/(p^2) = q/2 * 3/p = (3q)/(2p)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$(2pq + 12)/(4p)$

$(2pq)/(4p) // (3p)/(p^2) = (q)/(2) // 3/p = q/2 * p/3 = (pq)/6 = 1/6 pq$

Schrijf de breuken als één breuk en vereenvoudig.

$(300a)/(650b) + (450a)/(50b)$

$(123a)/(13b)$

$(300a)/(650b) + (450a)/(50b) = (300a)/(650b) + (450a * 13)/(50b * 13) =(300a)/(650b) + (5850a)/(650b) = (300a+5850a)/(650b) = (6150a )/(650b)=(123a)/(13b)$

$(5p)/(8q) * (4q)/(3p) * (11p)/(20q)$

$(11p)/(24q)$

$(5p)/(8q) * (4q)/(3p) * (11p)/(20q) = (5p * 4q * 11p)/(8q * 3p * 20q) = (220p^2q)/(480pq^2) = (220p)/(480q) = (11p)/(24q)$

$(32x)/(25y) - (3x + 2)/(40y)$

$(241x - 10)/(200y)$

$(32x)/(25y) - (3x + 2)/(40y) = (32x * 8)/(25y * 8) - (5(3x + 2))/(40y * 5) = (256x)/(200y) - (15x + 10)/(200y) = (256x - 15x -10)/(200y) = (241x - 10)/(200y)$

$(9t^4)/(4t^3)//(4t^2)/(3t)$

$27/16$

$(9t^4)/(4t^3)//(4t^2)/(3t) = (9t)/4//(4t)/3 = (9t*3)/(4*3)//(4t*4)/(3*4) = (27t)/12//(16t)/12 = (27t)/(16t) = 27/16$

$(6l)/(15k) * (4l)/(5k) + (10k)/(3l)$

$(24l^3 + 250k^3)/(75k^2l)$

$(6l)/(15k) * (4l)/(5k) + (10k)/(3l) = (6l * 4l)/(15k*5k) + (10k)/(3l) = (24l^2)/(75k^2) + (10k)/(3l)= (24l^2 * l)/(75k^2 * l) + (10k * 25k^2)/(3l * 25k^2) = (24l^3)/(75k^2l) + (250k^3)/(75k^2l) = (24l^3 + 250k^3)/(75k^2l)$

Schrijf de breuken als één breuk en vereenvoudig. Reken vervolgens $p$ uit als je weet dat $q=3$ .

$p = 3/q + 7/(2q) - 3/(2q)$

$p = 5/q$ . Als $q=3$ dan geldt er: $p=5/3$

$p = 3/q + 7/(2q) - 3/(2q) = 6/(2q) + 7/(2q) - 3/(2q) = (6 + 7 - 3)/(2q) = 10/(2q) = 5/q$

Als $q=3$ , dan geldt: $p = 5/3$ .

$p = 5/q * (4q^2)/3 * 7/4$

$p = (35q)/3$ . Als $q=3$ dan geldt er: $p= 35$ .

$p = 5/q * (4q^2)/3 * 7/4 = (5*4q^2*7)/(q*3*4)=(140q^2)/(12q) = (140q)/12 = (70q)/6 = (35q)/3$

Als $q=3$ , dan geldt: $p=(35*3)/3 = 105/3 = 35$ .

$p=(4q)/5//6/(7q)$

$p = (14q^2)/15$ . Als $q=3$ , dan geldt er: $p = 42/5$ .

$p = ((4q)/5)/(6/(7q)) = ((28q^2)/(35q))/(30/(35q)) = (28q^2)/(30) = (14q^2)/15$ . Als $q=3$ , dan geldt: $p=(14 * 3^2)/15 = (14*9)/15 = 126/15 = 42/5$ .

Gegeven zijn de breuken $5/a$ en $(4 a) / (6 a^2)$ met $a!=0$ .

Bereken de som van beide breuken.

$5/a+ (4 a) / (6 a^2) =17/ (3 a)$

$5/a+ (4 a) / (6 a^2) =5/a+2/ (3 a) =15/ (3 a) +2/ (3 a) =17/ (3 a)$

Bereken het product van beide breuken.

$5/a* (4 a) / (6 a^2) =10/ (3 a^2)$

$5/a* (4 a) / (6 a^2) =5/a*2/ (3 a) =10/ (3 a^2)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$5/a// (4 a) / (6 a^2) =7,5$

$5/a// (4 a) / (6 a^2) =5/a//2/ (3 a)=15/ (3 a) //2/ (3 a)=15/2=7,5$

Bereken het verschil van het kwadraat van de eerste breuk en het kwadraat van de tweede breuk.

$(5/a) ^2- ( (4 a) / (6 a^2) ) ^2=221/ (9 a^2)$

$(5/a) ^2- ( (4 a) / (6 a^2) ) ^2= (5/a) ^2- (2/ (3 a) ) ^2=5^2/a^2 - 2^2/ (9a^2)=25/a^2-4/ (9 a^2) =225/ (9 a^2) -4/ (9 a^2) =221/ (9 a^2)$

Oefen het rekenen met breuken in het Practicum.

Oefen tot je vrijwel geen fouten meer maakt.

Je rijdt van Rotterdam naar Deventer en weer terug via dezelfde route.

De afgelegde afstand is $145$ km.

Je gemiddelde snelheid op de heenreis is anders dan die op de terugreis.

Hoe bereken je de gemiddelde snelheid over de hele reis?

Je wilt het hierboven geschetste probleem oplossen.

Probeer eerst zelf een oplossing te vinden.

De gemiddelde snelheid is niet gewoon het gemiddelde van beide snelheden!
Als je geen antwoord hebt gevonden, ga dan rustig verder met het vervolg van deze opgave.
Het juiste antwoord vind je bij d.

Als je niet zelf een rekenmethode hebt kunnen vinden, probeer dan met behulp van de volgende opdrachten er uit te komen.

Kies voor de gemiddelde snelweg op de heenreis $v_1$ .
Hoe lang doe je dan over de heenreis?

$t_1 = 145/(v_1)$

Hoe lang doe je over de totale reis heen en terug? Herleid je formule tot één breuk.

$t = 145/(v_1) + 145/(v_2) = (145v_2 + 145v_1)/(v_1 v_2)$

Je weet nu hoe lang je over de $290$ km heen en terug doet.
Bereken hieruit de gemiddelde snelheid. (Stel er een formule voor op.)

$v_(text(gem)) = (290)/((145v_2 + 145v_1)/(v_1 v_2)) = 290 * (v_1 v_2)/(145v_2 + 145v_1)$

Controleer je antwoord door de gemiddelde snelheid te berekenen als de gemiddelde snelheid op de heenreis $90$ km/uur was en die op de terugreis $70$ km/uur.

De formule bij d geeft $v_(text(gem)) = 290 * (90 * 70)/(145*70 + 145*90) = 78,75$ km/uur

Controleren: heenreis $145/90$ uur, terugreis $145/70$ uur is totaal $232/63$ uur.
De gemiddelde snelheid is dan $2*145// 232/63 = 315/4 = 78,75$ uur.

Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk als één breuk.

$P = 2/a + 3/(2a)$

$P = 7/(2a)$

$P = 2/a + 3/(2a) = 4/(2a) + 3/(2a) = 7/(2a)$

$K= (3b)/(2a) // (5)/(7a)$

$K= (21b)/10$

$K= (3b)/(2a) // (5)/(7a) = (3b)/(2a) * (7a)/(5) = (21ab)/(10a) = (21b)/10$

Gegeven zijn de breuken $4/(3p)$ en $p/2$ .

Trek de tweede breuk van de eerste af.

$(8-3p^2)/(6p)$

$4/(3p) - p/2 = (8)/(6p) - (3p^2)/(6p) = (8-3p^2)/(6p)$

Bereken het product van beide breuken.

$2/3$

$4/(3p) * p/2 = (4p)/(6p) = 2/3$

Oefenen: breuken optellen en aftrekken

Met AlgebraKIT kun je oefenen met het herleiden van uitdrukkingen met breuken. Je kunt telkens een nieuwe opgave oproepen. Je maakt elke opgave zelf op papier.
Met Toon uitwerking zie je het verder uitklapbare antwoord.
Met krijg je een nieuwe opgave.