werken met breuken in formules en vergelijkingen.
rekenen met breuken met variabelen;
formules herleiden en vergelijkingen oplossen met de basismethoden.
Snelheid (gemiddelde snelheid) bereken je door de afgelegde afstand te delen door de tijd:
Hierin is:
de afgelegde afstand in km
de tijd in uur
de snelheid in km/uur
Leg uit waarom je deze formule ook kunt schrijven als .
Je mag beide zijden van een vergelijking met hetzelfde vermenigvuldigen, zie verder de uitleg.
De Afsluitdijk is km lang. Je rijdt met een constante snelheid van km/uur.
Welke vergelijking hoort bij de vraag:
of .
of .
Geef het antwoord op de vraag bij b in minuten nauwkeurig.
uur en dat is minuten.
uur en dat is minuten.
Je kunt de gegeven formule nog op een derde manier schrijven. Hoe?
.
Snelheid (gemiddelde snelheid) bereken je door de afgelegde afstand te delen door de tijd:
Hierin is:
de afgelegde afstand in km
de tijd in uur
de snelheid in km/uur
Een formule zoals kun je in drie vormen schrijven, afhankelijk van welke grootheid je wilt berekenen.
Daarbij werk je met de balansmethode: beide zijden van het isgelijkteken dezelfde bewerking uitvoeren.
Beide zijden met vermenigvuldigen: ofwel .
Dit is handig als je de afgelegde afstand wilt berekenen.
Nu beide zijden door delen: .
Dit is handig als je de tijd wilt berekenen.
Op deze manier kun je formules met breuken herleiden. Soms moet je eerst nog met die breuken rekenen, dat zie je in de voorbeelden.
Weet je twee van de drie variabelen, bijvoorbeeld km/uur en km (de lengte van de Afsluitdijk), dan kun je berekenen. Het liefst gebruik je dan de vorm uur.
Maar ook als je alleen de eerste vorm hebt, kun je uitrekenen:
beide zijden
beide zijden
Nu gebruik je de balansmethode om een vergelijking op te lossen.
Bekijk in de Uitleg wat de grootheden , en voorstellen en welk verband er tussen bestaat.
Je rijdt met een gemiddelde snelheid van km/uur over een afstand van km.
Je gebruikt om uit te rekenen hoe lang je over deze rit doet.
geeft en dus uur.
Je kunt de formule bij a ook herleiden naar andere vormen.
Welke vorm is het handigst als je de tijdsduur wilt uitrekenen?
geeft meteen uur.
Je rijdt minuten met een gemiddelde snelheid van km/uur.
Welke afstand leg je in die tijd af? Gebruik de handigste formule.
km.
Je rijdt met een constante snelheid een afstand van km. Onderweg moet je minuten stoppen om te tanken.
Waarom geldt nu ?
Omdat je reistijd minuten, dus uur langer wordt.
Hoe lang doe je over deze rit als je rijsnelheid km/uur is? Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
uur en dat is uur en minuten.
Als je reistijd uur en minuten bedraagt, hoe groot is dan je snelheid geweest? Geef je antwoord in km/uur in één decimaal nauwkeurig.
geeft , dus km/uur.
Onder de soortelijke massa van een stof versta je de massa in kg gedeeld door het volume in m
Eén dm
Hoeveel bedraagt de soortelijke massa van lood?
kg/m
Op welke twee andere manieren kun je deze formule schrijven?
en
Gebruik de handigste formule om het gewicht van dm
Je weet de soortelijke massa.
kg.
In formules en vergelijkingen komen regelmatig delingen (breuken) voor.
Bij een formule als is uitgedrukt in en .
Dat is handig als je wilt berekenen.
Maar wil je berekenen, dan kun je beter
Door met breuken te rekenen en/of de balansmethode te gebruiken kun je de formule of de vergelijking herleiden:
kun je herleiden naar .
In de tweede formule is uitgedrukt in en .
kun je ook herleiden naar .
Nu is uitgedrukt in en .
kun je herleiden naar .
Eerst was uitgedrukt in .
In de tweede formule is uitgedrukt in .
Denk er steeds om dat delen door geen betekenis heeft.
In vergelijkingen kunnen ook breuken voorkomen. Om zulke vergelijkingen op te lossen is de balansmethode meestal het handigst. Je probeert dan, net als bij vergelijkingen zonder breuken, ervoor te zorgen dat de variabele alleen nog links van het isgelijkteken voorkomt.
Los op: .
Met de balansmethode:
Los de volgende vergelijkingen op.
Druk in de volgende formules uit in
geeft en dus .
geeft en , zodat .
geeft en , zodat .
Los op:
Gebruik ook nu de balansmethode:
In
Waarom wordt in de eerste stap aan beide zijden met vermenigvuldigd?
Dit getal is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van , en . Zo ben je in één keer van alle breuken af.
Je wilt geen breuken overhouden in je vergelijking. Daarom ga je op zoek naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van , en . Deze getallen staan namelijk in de noemers van de breuken. Dat is , dus vermenigvuldig je alles met .
De tweede en de derde stap had je ook wel kunnen omwisselen. Laat zien hoe de oplossing er dan uitziet.
Kijk eerst wat ze bij de tweede en derde stap doen in het voorbeeld. Wat er in het voorbeeld bij de derde stap gebeurt, laat je nu als tweede stap gebeuren. Daarna los je hem vanzelf op.
Los de vergelijkingen op.
Er bestaan diverse temperatuurschalen. Onder andere het omrekenen van graden Celsius naar graden Fahrenheit.
Hiervoor bestaat de formule: .
Hier is het aantal °F en het aantal °C.
Schrijf deze formule zo, dat wordt uitgedrukt in .
Gebruik ook nu de balansmethode:
Deze laatste formule is nog te herleiden: .
Dus uiteindelijk vind je .
In
Je kunt de formule weer herleiden naar de vorm waarin wordt uitgedrukt in .
Laat zien hoe.
Gebruik ook nu de balansmethode:
Dit kun je herleiden:
Hoeveel graden Fahrenheit is °C?
Gebruik en vul in.
Je vindt: °F.
Hoeveel graden Celsius is °F?
Gebruik en vul in.
Je vindt: °C.
Wanneer een lichaam vrij valt over een hoogte van m dan geldt voor de eindsnelheid in m/s: . Hierin is de gravitatieconstante.
Schrijf deze formule zo, dat is uitgedrukt in .
Het aantal exemplaren van een product dat je per maand kunt verkopen, hangt af van de prijs in euro volgens de formule .
Schrijf deze formule zo, dat is uitgedrukt in
geeft en dus .
Gegeven is de formule .
Schrijf deze formule zo, dat wordt uitgedrukt in .
geeft en dus zodat .
Volgens de wet van Ohm bestaat er in een draad waar elektrische stroom loopt een verband tussen de spanning in Volt, de stroomsterkte in Ampère en de weerstand in Ohm. De wet van Ohm luidt: .
Schrijf deze formule zo, dat wordt uitgedrukt in en .
Bereken de stroomsterkte bij een spanning van V en een weerstand van Ω.
A.
Je wilt de weerstand van een stuk koperdraad berekenen. Je zet er daarom een spanning van V op en meet de stroomsterkte met een ampèremeter. Je meet A.
Bereken de weerstand van dit stuk draad in drie significante cijfers.
A.
Los de vergelijkingen op.
of
Het aantal batterijen van een bepaald type dat een fabrikant maandelijks verkoopt, hangt af van de prijs (in euro) die hij er voor vraagt. De fabrikant gebruikt op grond van eerdere ervaringen deze formule als rekenmodel: .
Hoeveel van deze batterijen verkoopt hij maandelijks volgens deze formule als hij
Schrijf de gegeven formule zo, dat is uitgedrukt in .
geeft en .
De fabrikant wil niet minder dan van deze batterijen per maand verkopen.
Welke prijs kan hij dan hoogstens vragen?
euro.
Als je een gewicht aan een touw rustig heen en weer laat slingeren (het touw moet strak blijven, dus geen al te grote uitwijking), dan is de slingertijd (in seconden) alleen afhankelijk van de lengte van het touw (in meter). De slingertijd is de tijd die het duurt voor het gewicht om precies één keer heen en weer te slingeren.
Er geldt: .
Hierin is de gravitatieconstante.
Je wilt de gravitatieconstante berekenen. Schrijf eerst de formule zo, dat wordt uitgedrukt in en .
geeft en dus .
Dus is en .
Eventueel maak je hier nog van.
Je hebt een touw van m lengte met een gewicht er aan dat je rustig laat slingeren.
Je meet een trillingstijd van s. Bereken in twee decimalen nauwkeurig.
m/s
Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van € 10,00 en daarbovenop € 0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig folders laat drukken.
Stel een formule op voor de kosten per folder.
Noem het aantal folders en de kosten per folder .
Per folder betaal je in ieder geval € 0,04. Verder betaal je per folder euro.
In totaal dus euro per folder.
Bereken bij hoeveel folders je onder de € 0,06 per folder uitkomt.
Los op: .
Je vindt en dus .
Bij meer dan folders kom je onder de € 0,06 per folder uit.
De standaard vergoeding voor kilometers die je voor een werkgever rijdt in de eigen auto bedraagt € 0,19 per kilometer. Een automobilist die voor zijn baas af en toe een ritje maakt is natuurlijk nieuwsgierig of daarmee inderdaad de kosten zijn gedekt. Het mooiste is als je dit voor een werkelijke situatie kunt narekenen, misschien heb je in je familie of kennissenkring wel iemand die in zo'n situatie zit. En anders kun je met de gegevens hieronder rekenen.
Voor een bepaalde auto die op benzine rijdt worden de volgende schattingen gedaan:
De prijs van een liter benzine is € 1,68 en je rijdt km op elke liter benzine.
De wegenbelasting is € 300,00 per jaar.
De verzekering kost € 200,00 per jaar.
De kosten voor afschrijving, onderhoud en dergelijke zijn € 1900,00 per jaar.
Maar rijdt de auto bijvoorbeeld op gas, of op diesel, of elektrisch, dan liggen deze bedragen anders. Voor een vergelijkbare auto op diesel zijn op hetzelfde moment dit de schattingen:
De prijs van een liter diesel is € 1,30 en je rijdt km op elke liter benzine.
De wegenbelasting is € 1400,00 per jaar.
De verzekering kost € 200,00 per jaar.
De kosten voor afschrijving, onderhoud en dergelijke zijn € 2200,00 per jaar.
Je kunt dit probleem oplossen met behulp van lineaire verbanden, maar ook met een hyperbolisch verband...
In de tekst hierboven zie je schattingen van de diverse kosten die je maakt als je in een eigen auto wilt rijden. Ga in deze opgave uit van die gegevens.
In deze opgave ga je op zoek naar een formule voor de kosten per jaarlijks gereden kilometer. Je vergelijkt een auto op benzine met een auto op diesel. De kosten per km noem je en het jaarlijkse aantal gereden km noem je .
Ga eerst uit van een auto die op benzine rijdt.
Stel op grond van de schattingen een formule op voor afhankelijk van .
Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend?
Los op .
Dit geeft . Dus je moet meer dat km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een benzineauto hebt.
Ga nu uit van een auto die op diesel rijdt.
Stel op grond van de schattingen een formule op voor afhankelijk van .
Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend?
Los op .
Dit geeft . Dus je moet meer dat km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een dieselauto hebt.
De weerstand die een elektrische stroom ondervindt in een koperdraad bereken je met de volgende formule:
Hierin is:
Schrijf de gegeven formule zo, dat wordt uitgedrukt in de overige variabelen.
Je hebt m koperdraad met een diameter van cm en een weerstand van Ω. Bereken de soortelijke weerstand van dit koper.
Ω
Ω
Los de vergelijkingen op.