In dit onderwerp is het begin van het werken met formules voorbij gekomen.

Je hebt nu alle theorie van Algebra 2 doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je ermee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

machtrekenregels voor machten;

breuken met variabelen;

uitdrukken in;

ongelijkheid.

de rekenregels voor machten toepassen bij het herleiden van uitdrukkingen;

breuken met variabelen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen;

formules herleiden tot de éne variabele is uitgedrukt in de andere, ook formules met breuken;

ongelijkheden (ook met breuken erin) systematisch oplossen.

Herleid.

$4 (6 +3 p)+2 (p-4 )$

$14p + 16$

$4(6 + 3p) + 2(p-4) = 24 + 12p + 2p - 8 = 14 p + 16$

$3(a-5)(a+12)$

$3a^2 + 21a - 180$

$3(a - 5)(a + 12) = 3(a^2 - 5a + 12a - 60) = 3(a^2 + 7a - 60) = 3a^2 + 21a - 180$

$(8b^4)/(3b^3)//(6b^2)/(4b)$

$16/9$

$(8b^4)/(3b^3)//(6b^2)/(4b) = (8b)/3//(6b)/4= (8b*4)/(3*4)//(6b*3)/(4*3) = (32b)/12// (18b)/12 = (32b)/(18b) = 32/18 = 16/9$

$2(x - 8) - (3 - x)$

$3x - 19$

$2(x-8) - (3-x) = 2x - 16 - 3 + x = 3x - 19$

$4 k(k^2+2 k) - 2k^2(3k - 3)$

$text(-)2k^3 + 14k^2$

$4k(k^2 + 2k) - 2k^2(3k - 3) = 4k^3 + 8k^2 - 6k^3 + 6k^2 = text(-)2k^3 + 14k^2$

$(5t)/(3r) * (4r)/(7t) - r/(7t)$

$(20t^3 - 3r^3)/(21r^2t)$

$(5t)/(3r) * (4r)/(7t) - r/(7t) = (5t * 4r)/(3r * 7t) - r/(7t) = (20t)/(21t) - r/(7t) = (20t)/(21t) - (3r)/(21t) = (20t - 3r)/(21t)$

Los deze vergelijkingen exact op.

$2 (k-3 )=6$

$k=6$

$2 (k-3 )$

$=$

$6$

$2k-6$

$=$

$6$

$2k$

$=$

$12$

$k$

$=$

$6$

$text(-) x(x+3 )=(x+5 )(7 -x)$

$x=text(-)7$

$text(-) x(x+3 )$

$=$

$(x+5 )(7 -x)$

$text(-)x^2 -3x$

$=$

$7x - x^2+35 - 5x$

$text(-)x^2 -3x$

$=$

$2x - x^2+35$

$text(-)3x$

$=$

$2x+35$

$text(-)5x$

$=$

$35$

$x$

$=$

$35/(text(-)5) =text(-)7$

$1/3p+5/6=p/2$

$p=5$

$1/3p+5/6$

$=$

$p/2$

$2/3p+5/3$

$=$

$p$

$5/3$

$=$

$1/3 p$

$p$

$=$

$5$

$4(3q + 25)= (q+6)^2$

$q=text(-)8$ of $q=8$

$4(3q + 25)$

$=$

$(q+6)^2$

$12q + 100$

$=$

$q^2+6q+6q+36$

$100$

$=$

$q^2+36$

$q^2$

$=$

$64$

$q$

$=$

$text(-)sqrt(64) text(of) q=sqrt(64)$

$q$

$=$

$text(-)8 text(of) q=8$

$3/ (2y) +6/5=2/y$

$y=5/12$

$3/ (2y) +6/5$

$=$

$2/y$

$3/ (2y) +6/5$

$=$

$4/(2y)$

$6/5$

$=$

$1/(2y)$

$12y$

$=$

$5$

$y$

$=$

$5/12$

$8(1 +1/m)=12$

$m = 2$

$8(1 +1/m)$

$=$

$12$

$8 +8/m$

$=$

$12$

$8/m$

$=$

$4$

$8$

$=$

$4m$

$m$

$=$

$2$

Gegeven zijn de breuken $3/(2a)$ en $4/a$ .

Bereken de som van beide breuken.

$3/(2a) + 4/a = 11/(2a)$

$3/(2a) + 4/a = 3/(2a) + 8/(2a) = 11/(2a)$

Trek de eerste breuk van de tweede af.

$4/a - 3/(2a) = 5/(2a)$

$4/a - 3/(2a) = 8/(2a) - 3/(2a) = 5/(2a)$

Bereken het product van beide breuken.

$3/(2a) * 4/a = 6/(a^2)$

$3/(2a) * 4/a = (3*4)/(2a*a) = 12/(2a^2) = 6/(a^2)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$3/(2a) // 4/a = 3/8$

$3/(2a) // 4/a = 3/(2a) * a/4 = (3a)/(8a) = 3/8$

Van een gewelf in de vorm van een halve bol is het volume $V = 2/3pi r^3$ waarin $r$ de straal in meter is.

De diameter van dit gewelf is $d = 2r$ .
Schrijf de formule zo, dat $V$ wordt uitgedrukt in $d$ .

$V = 1/12pi d^3$

$V = 2/3pi * (1/2 d)^3 = 2/3 * 1/8 * pi * d^3 = 1/12pi d^3$

Als je wilt berekenen welke diameter zo'n koepelgewelf moet krijgen als je een bepaald volume $V$ wilt hebben, dan kun je deze formule beter herleiden naar een vorm waarin $d$ is uitgedrukt in $V$ . Laat zien hoe dit gaat.

$V = 1/12pi d^3$ wordt $d^3 = 12/(pi) * V = (12V)/(pi)$ en dus $d = root[3]((12V)/(pi))$ .

Welke diameter heeft zo'n koepelgewelf als het volume erbinnen $2$ m3 is? (Geef je antwoord in cm nauwkeurig.)

$d = root[3]((12*2)/(pi)) ~~ 1,97$ m.

Je wilt de ongelijkheid $x^3 gt 6 - x$ oplossen.

Teken eerst de grafieken van $y_1 = x^3$ en $y_2 = 6 - x$ in één figuur.

Maak tabellen, of gebruik GeoGebra of een grafische rekenmachine.

Bepaal door inklemmen alle snijpunten van beide grafieken in twee decimalen nauwkeurig.

Het enige snijpunt is $(1,63; 4,37)$

Los de ongelijkheid op.

$x gt 1,63$

Een school huurt voor € 2500,00 per jaar een kopieermachine voor de leerlingen. Om de kosten te dekken moeten de leerlingen een bepaald bedrag per kopie betalen.

De school heeft uitgerekend dat elke kopie aan papier en inkt € 0,05 kost. Die € 0,05 komt extra bij het bedrag dat de leerlingen per kopie moeten betalen. $a$ is het aantal kopieën per jaar.

Stel een formule op voor het bedrag $B$ dat een leerling per kopie moet betalen afhankelijk van $a$ .

$B=2500/a+0,05$

Teken een bijpassende grafiek voor $0$ tot en met $50000$ kopieën.

Hoeveel kopieën per jaar moeten er worden gemaakt om met een prijs voor de leerlingen van € 0,20 per kopie uit de kosten te komen?

Bij $16667$ kopieën of meer is de school uit de kosten.

De ongelijkheid: $2500/a+0,05 lt 0,20$
Los de vergelijking op:

$2500/a+0,05$

$=$

$0,20$

$2500/a$

$=$

$0,15$

$2500/(0,15)$

$=$

$a$

$=$

$16666 2/3$

Dus bij $16667$ kopieën of meer is de school uit de kosten.

Schaal van Richter

De kracht van een aardbeving wordt gemeten op de schaal van Richter. Een kracht van $6$ op de schaal van Richter is al een behoorlijke aardschok. Maar die kracht neemt snel af als je verder van het centrum van de aardbeving af bent. Stel dat voor de kracht $k$ van een bepaalde aardbeving geldt:

$k = 1 + \frac{100}{r^{2} + 20}$

Hierin is $r$ de afstand in km vanaf het centrum van de beving.

Hoeveel bedraagt de kracht van deze aardbeving in het centrum? Rond af op één decimaal nauwkeurig.

In het centrum is $r = 0$ . Dus is $k = 1 + \frac{100}{20} = 6$ .

Hoeveel bedraagt de kracht van deze aardbeving op $5$ km van het centrum?

$k = 1 + \frac{100}{45} = 3,2$

Bij welk getal op de schaal van Richter is er geen sprake van een aardbeving? Leg uit hoe je aan dit antwoord komt.

Bij $1$ . Als de afstand heel groot wordt, oneindig groot, is een beving niet meer te voelen. Dan wordt de term met de breuk $0$ . Blijft altijd de eerste term over, onafhankelijk van de afstand.

Teken een grafiek van $k$ afhankelijk van $r$ . Neem voor $r$ getallen van $0$ tot en met $0$ .

Maak een grafiek bij deze tabel.

$r$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$k$	$6$	$3,2$	$1,8$	$1,4$	$1,2$

Als $k < 1,1$ is de aardbeving niet voelbaar. Bepaal hoeveel km je daarvoor minstens van het centrum af moet zitten.

Zet je tabel voort en bepaal daarmee wanneer je voor het eerst onder de $1,1$ komt. Je vindt $32$ km of meer.

Herleid:

$3a^2 * 5a^3$

$15a^5$

$3x^2 + 5x^2$

$8x^2$

$3x^2 - 5x^2$

$text(-)2x^2$

$(2x^3)^4$

$16x^12$

$2(x^3)^4$

$2x^12$

$(5x^2)/(10x^3)$

$1/(2x)$

$text(-) (12a^2b^3)/(15a^3b)$

$text(-) (4b^2)/(5a)$

Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk:

$P = text(-)2(3x+2)(x-5)$

$P = text(-)2(3x+2)(x-5) = text(-)2(3x^2 - 13x - 10) = text(-)6x^2 + 26x + 20$

$k = (5l*(2l^3)2+l^3 * l^2)/(5l^3)$

$k = (5l*(2l^3)2+l^3 * l^2)/(5l^3) = (20l^7 + l^5)/(5l^3) = (20l^4 + l^2)/5 = 4l^4 + 0,2l^2$

Los de vergelijkingen op:

$q^2(q^2 - l) = (q^2 - 5)(q^2 + 5)$

$q^2(q^2 - l) = (q^2 - 5)(q^2 + 5)$ geeft $q^4 - q^2 = q^4 - 25$ en $q^2=25$ dus $q=5 vv q=text(-)5$ .

$(2x - 1)(3x - 6) = (7x + 4)(x - 5) + 16x$

$(2x - 1)(3x - 6) = (7x + 4)(x - 5) + 16x$ geeft $6x^2 - 15x + 6 = 7x^2 - 15x - 20$ en $x^2=26$ zodat $x=+-sqrt(26)$ .

$(5x)/2 - 4/13 = 12/13$

$(5x)/2 - 4/13 = 12/13$ geeft $(5x)/2 = 16/13$ zodat $x = 32/65$ .

$1/(2x) + 3/x = 2$

$1/(2x) + 3/x = 2$ geeft $1/(2x) + 6/(2x) = (4x)/(2x)$ en $4x=7$ zodat $x=1,75$ .

$(x^2)/3 = 27$

$(x^2)/3 = 27$ geeft $x^2 = 81$ zodat $x=+-9$ .

Gegeven zijn de breuken $4/x$ en $(3x)/(5x^2)$ .

Bereken de som van beide breuken.

$4/x + (3x)/(5x^2) = 20/(5x) + 3/(5x) = 23/(5x)$

Bereken het product van beide breuken.

$4/x * (3x)/(5x^2) = 4/x * 3/(5x) = 12/(5x^2)$

Deel de eerste breuk door de tweede.

$4/x // (3x)/(5x^2) = 4/x // 3/(5x) = 4/x * (5x)/3 = (20x)/(3x) = 20/3$

Bereken het kwadraat van de eerste breuk.

$4/x * 4/x = 16/(x^2)$

$t = 230/v + 1/6$ is de formule om de tijd te berekenen die je nodig hebt om een rit van $230$ km af te leggen met een pauze van $10$ minuten. Hierin is $t$ in uren en $v$ de gemiddelde snelheid in km/uur.

Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur als je $2$ uur en $40$ minuten hebt gedaan over deze rit.

Los op: $230/v + 1/6 = 2 + 4/6$ geeft $230/v = 2,5$ en $v = 230/(2,5) = 92$ km/uur.

Voor een cilinder met diameter den hoogte $h$ geldt voor het volume $V$ de formule $V = (pi)/4 d^2 h$ .

Herschrijf deze formule zo, dat $h$ wordt uitgedrukt in de overige variabelen.

$V = (pi)/4 d^2 h$ geeft $d^2 h = (4V)/(pi)$ en $h = (4V)/(pi d^2)$ .

Of:

$V = (pi)/4 d^2 h$ geeft $h = (V)/((pi)/4 d^2)$ .

Bereken de hoogte van de cilinder in cm als je weet dat het volume $1,2$ liter en de diameter $15$ cm is. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

$1,2$ liter is $1200$ cm3.

$h = (4V)/(pi d^2) = (4800)/(pi * 15^2) ~~ 6,8$ cm.

Gegeven is de formule: $1/(2R) + 1/(5R) = Q$ .

Herschrijf deze formule zodat $R$ wordt uitgedrukt in $Q$ , dus de vorm $R = ...$ heeft.

$1/(2R) + 1/(5R) = Q$ geeft $7/(10R) = Q$ en dus $10R = 7/Q$ zodat $R = 7/(10Q)$ .

Voor een cilindervormige blikje met diameter den hoogte $h$ geldt voor het volume $V$ de formule $V = (pi)/4 d^2 h$ . Van een bepaald type blikjes is de diameter gelijk aan de hoogte.

Welke afmetingen heeft zo'n blikje als er minstens $1$ liter in moet kunnen? Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

Er geldt: $d=h$ , dus het volume is bijvoorbeeld $V = (pi)/4 d^3$ .

$V = (pi)/4 d^3 = 1000$ geeft $d^3 = 1000 * 4/(pi) = 1273,239...$ , zodat $d ~~ 10,8$ cm.

De diameter en de hoogte van zo'n blik zijn ongeveer $108$ mm.