het hexadecimale stelsel gebruiken;

hexadecimale getallen omrekenen naar decimale getallen en omgekeerd;

hexadecimale getallen omrekenen naar binaire getallen en omgekeerd.

het begrip decimaal getal en rekenen met decimale getallen;

het begrip binair getal en decimale getallen omzetten naar binaire getallen en omgekeerd.

Het decimale stelsel is gebaseerd op machten van $10$ , het binaire stelsel op machten van $2$ . Nu ga je kennismaken met het hexadecimale stelsel, gebaseerd op machten van $16$ .

Hoeveel symbolen heb je er dus voor nodig?

$16$ .

Een hexadecimaal getal geef je weer met de cijfers $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ en de eerste letters van het alfabet.

Kan $ab70cd$ een hexadecimaal getal zijn?
En $13f8g$ ?

$ab70cd$ is een hexadecimaal getal, $13f8g$ niet. Je hebt namelijk maar $6$ letters nodig, dus de $g$ niet.

Welk decimaal getal stelt $a0f3_(16)$ voor?

$a0f3_(16) = 3*16^0 + 15*16^1 + 0*16^2 + 10*16^3 = 41203$ .

decimaal getal	binair getal	hexadecimaal getal
$0$	$0000$	$0$
$1$	$0001$	$1$
$2$	$0010$	$2$
$3$	$0011$	$3$
$4$	$0100$	$4$
$5$	$0101$	$5$
$6$	$0110$	$6$
$7$	$0111$	$7$
$8$	$1000$	$8$
$9$	$1001$	$9$
$10$	$1010$	$a$
$11$	$1011$	$b$
$12$	$1100$	$c$
$13$	$1101$	$d$
$14$	$1110$	$e$
$15$	$1111$	$f$

Het binaire talstelsel kent alleen de cijfers $0$ en $1$ en is gebaseerd op machten van $2$ . Maar getallen bestaan al snel uit heel veel nullen en énen en lezen daarom nogal moeilijk. Om leesfouten te voorkomen zijn er talstelsels bedacht die zijn gebaseerd op machten van $2^3 = 8$ of machten van $2^4 = 16$ .

Het talstelsel gebaseerd op machten van $16$ heet het hexadecimale stelsel.
Er zijn dan $16$ symbolen nodig: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f$ .
Het symbool $a$ is de decimale $10$ en de binaire $1010$ .

Het getal $a0f3_(16)$ is daarom: $a0f3_(16) = 3*16^0 + 15*16^1 + 0*16^2 + 10*16^3 =$ $41203_(10)$ .

Omrekenen van decimaal naar hexadecimaal gaat met behulp van delen door $16$ en dan steeds de rest opschrijven. Hier zie je hoe het decimale getal $41203$ op die manier geschreven wordt als het hexadecimale getal $a0f3$ .

In de tabel kun je zien dat het omrekenen van hexadecimaal naar binair (en omgekeerd) erg eenvoudig is.

Bekijk in de Uitleg wat een hexadecimaal getal is.

Reken $13b5_(16)$ om naar een decimaal getal.

$13b5_(16) = 1*16^3 + 3*16^2 + 11*16^1 + 5*16^0 = 5045$ .

Laat zien dat $1103_(16) != 1103_(10)$ .

$1103_(16) = 1*16^3 + 1*16^2 + 0*16^1 + 3*16^0 = 4355_(10) != 1103_(10)$ .

Reken $1103_(10)$ om naar een hexadecimaal getal.

Deel $1103_(10)$ door $16$ .
Je krijgt $68_(10)$ met rest $15_(10) = f_(16)$ .

Deel $68_(10)$ door $16$ .
Je krijgt $4_(10)$ met rest $4_(10) = 4_(16)$ .

$4_(10)$ is verder niet door $16$ te delen.

Uitkomst: $1103_(10) = 44f_(16)$ .

Vergelijk het binaire stelsel met het hexadecimale stelsel in de tabel in de Uitleg.

Leg uit, dat $13b5_(16) = 0001001110110101_2$ .
(De eerste drie nullen kunnen eigenlijk weg.)

Je vervangt elk hexadecimaal symbool door de $4$ -bits binaire code uit de tabel die erbij hoort.

Dus: $13b5_(16) = 0001.0011.1011.0101_2$ .

Controleer dat zowel het hexadecimale getal als het binaire getal $5045_(10)$ opleveren.

In de vorige opgave is dat al aangetoond dat $13b5_(16) = 5045_(10)$ .

Laat nog zien, dat $0001001110110101_2 = 5045_(10)$ .

Hoe kun je $1011011001_2$ omzetten naar een hexadecimaal getal?

$1011011001_2 = 0010.1101.1001_2 = 2d9_(16)$ .

Controleer je antwoord bij c door beide getallen om te zetten naar hetzelfde decimale getal.

$1011011001_2 = 729_(10)$

$2d9_(16) = 729_(10)$

Het hexadecimale talstelsel is gebaseerd op machten van $16$ . Er zijn dan ook $16$ symbolen nodig om een getal te maken, namelijk $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f$ .

Het getal $5c06_(16)$ is in het decimale stelsel:
$5c06_(16) = 5*16^3 + 12*16^2 + 0*16^1 + 6*16^0 = 23558_(10)$ .

Verder omrekenen gaat zo:

Van decimaal naar hexadecimaal:
Deel het getal door $16$ en schrijf de uitkomst met rest op.
Herhaal deze procedure tot je onder de $16$ uitkomt.
De resten vormen het hexadecimale getal.

Van hexadecimaal naar binair:
Vervang elk teken door de bijbehorende $4$ -bits binaire code.
Laat eventueel de voorste nullen weg.

Van binair naar hexadecimaal:
Deel het getal van rechts naar links op in $4$ -bits tekens, voeg vooraan extra nullen toe indien nodig.
Vervang elk $4$ -bits teken door zijn hexadecimale teken.

In de voorbeelden zie je hoe dit in zijn werk gaat.

RGB

In html (hypertext markup language, de taal van het internet) wordt wel de RGB-kleurcode gebruikt (Rood|Groen|Blauw). Een RGB-kleurcode is bijvoorbeeld $ff.b5.18$ . Zo'n code bestaat uit drie hexadecimale getallen van twee tekens.

In tekenprogramma's worden vaak de decimale varianten van zo'n code gebruikt.

Welke decimale code hoort er bij $ff.b5.18$ ?

$ff_16 = 15*16^1 + 15*16^0 = 255_(10)$

$b5_16 = 11*16^1 + 5*16^0 = 181_(10)$

$18_16 = 1*16^1 + 8*16^0 = 24_(10)$

Dus $ff.b5.18$ wordt $255.181.24$ .
Dit is de oranje-achtige kleur in het math4all-logo.

Bekijk de hexadecimale RGB-kleurcode in het Voorbeeld.

Bereken de decimale variant van $66.99.cc$ (een soort lichtblauw).

$66.99.cc$ wordt $102.153.204$ .

Een soort rood is in de decimale RGB-code $204.51.51$ .
Bepaal de bijbehorende hexadecimale code.

$204_(10) = 12*16^1 + 2*16^0 = cc_(16)$ en $51_(10) = 3*16^1 + 3*16^0 = 33_(16)$ .

$204.51.51$ wordt $cc.33.33$ .

Hoeveel verschillende kleurcodes bevat het RGB-systeem?

Het RGB-systeem loopt van $00.00.00$ tot $ff.ff.ff$ (hexadecimaal).

En dus van $0.0.0$ tot $255.255.255$ (hexadecimaal).

Er zijn daarom $256*256*256 = 16777216$ verschillende kleurcodes.

Reken om:

$aa04f_(16)$ naar een decimaal getal.

$aa04f_(16) = 10*16^4 + 10*16^3 + 0*16^2 + 4*16 + 15 = 696399_(10)$

$65034_(10)$ naar een hexadecimaal getal.

$65034_(10) // 16 = 4064_(10)$ met rest $10_(10) = a_(16)$ .
$4064_(10) // 16 = 254_(10)$ met rest $0_(10) = 0_(16)$ .
$254_(10) // 16 = 15_(10)$ met rest $14_(10) = e_(16)$ .
$15_(10) = f_(16)$ .
Dus: $65034_(10) = fe0a_(16)$ .

In een $16$ -bits binair stelsel kun je alleen de getallen $0$ tot en met $65535$ maken.

Dit laatste getal $65535_(10)$ ziet er dan zo uit: $65535_(10) = 1111111111111111_2$ .

Zo'n binair getal kun je eigenlijk nauwelijks lezen, je hoeft maar een ééntje te vergeten en je hebt iets heel anders. Daarom geef je dit liever weer in het hexadecimale stelsel, want heen en weer rekenen tussen binair en hexadecimaal is erg eenvoudig: elke $4$ -bits combinatie van nullen en énen heeft een bijpassend hexadecimaal teken.

Hoe ziet $1111111111111111_2$ er hexadecimaal uit?

Verdeel het binaire getal in blokjes van $4$ bits van rechts naar links:

$1111111111111111_2 = 1111.1111.1111.1111_2$

Vervang elk $4$ -bits blokje door het bijpassende hexadecimale teken:

$1111111111111111_2 = 1111.1111.1111.1111_2 = ffff_(16)$

En dat leest veel gemakkelijker.

Controle: $ffff_(16) = 65535_(10)$ .

Bekijk in het Voorbeeld hoe je omrekent van een binair getal naar een hexadecimaal getal.

Controleer dat $ffff_(16) = 65535_(10)$ .

$ffff_(16) = 15*16^3 + 15*16^2 + 15*16 + 15 = 65535_(10)$

Reken $1100100100_2$ om naar een hexadecimaal getal.

$1100100100_2 = 0011.0010.0100 = 324_(16)$

Reken $3d0f_(16)$ om naar een binair getal.

$3d0f_(16) = 0011.1101.0000.1111 = 11110100001111_2$

Alle getallen in een $16$ -bits binair stelsel kun je hexadecimaal weergeven met maximaal $4$ tekens.

Leg uit, waarom dat zo is.

In het voorbeeld zie je dat het grootste getal $ffff_(16)$ is.

In een $32$ -bits binair stelsel kun je $4text(.)294text(.)967text(.)296$ getallen maken.

Laat zien, dat dit klopt.

$2^(32) = 4text(.)294text(.)967text(.)296$ .

Reken $1000100110101101111000010000111_2$ om naar een hexadecimaal getal.

$1000100110101101111000010000111_2 =$ $0100.0100.1101.0110.1111.0000.1000.0111 = 44d6f087_(16)$

Reken de volgende hexadecimale getallen om naar decimale getallen.

$1a0b$

$1a0b_(16) = 1*16^3 + 10*16^2 + 11 = 6667_(10)$ .

$1200f$

$1200f_(16) = 1*16^4 + 2*16^3 + 15 = 73743_(10)$ .

$cafe$

$cafe_(16) = 12*16^3 + 10*16^2 + 15*16 + 14 = 51966_(10)$ .

Reken de volgende decimale getallen om naar hexadecimale getallen.

$4096$ .

$4096_(16) = 100_(10)$

$14096$ .

$14096 // 16 = 881$ rest $0_(10) = 0_(16)$ .
$881 // 16 = 55$ rest $1_(10) = 1_(16)$ .
$55 // 16 = 3$ rest $7_(10) = 7_(16)$ .
$3_(10) = 3_(16)$ .
Dus $14906_(10) = 3710_(16)$ .

$104096$ .

$104906_(16) = 196a0_(16)$ .

Grote binaire getallen bestaan uit veel nullen en/of énen. Een fout is dan zo gemaakt. Daarom worden ze vaak hexadecimaal weergegeven.

Reken $10111110111110010011010_2$ om naar een hexadecimaal getal.

$10111110111110010011010_2 = 0101.1111.0111.1100.1001.1010 = 5f7c9a_(16)$

Reken $79cf0_(16)$ om naar een binair getal.

$79cf0_(16) = 0111.1001.1100.1111.0000 = 1111001110011110000_2$

Bij het coderen van teksten zodat ze leesbaar zijn op het internet, wordt onder andere voor letters, cijfers en andere symbolen Unicode gebruikt. De Unicode voor bijvoorbeeld het kleinerteken is U+003C. En de Unicode voor de Griekse $alpha$ is U+03B1.

Het getal achter het plusteken is hexadecimaal.
Maar deze zijn om te rekenen naar decimale nummers.

Welk decimale nummer hoort bij U+003C?

$003c_(16) = 3*16 + 12 = 60$ .

Welk decimale nummer heeft de $alpha$ in Unicode?

$03b1_(16) = 3*16^2 + 11*16 + 1 = 945$ .

Welk teken heeft in Unicode het decimale nummer $8658$ ?

$8658_(10) = 21d2_(16)$ en dus Unicode U+21D2.
Even in Google deze code invoeren en je ziet dat het een dubbele pijl naar rechts is.

Bron: Wikipedia

Internet Protocol versie 6 (IPv6) is versie 6 van het internetprotocol voor het gebruik van internetadressen. Het is de opvolger van IPv4 en is de tweede versie van het internetprotocol die in gebruik is genomen. (De tussenliggende versie IPv5 was een experimentele aanvulling op IPv4, maar deze werd nooit geïmplementeerd.) IPv6 is op 14 juli 2017 in werking getreden.

IPv6-adressen zijn $128$ bits lang en worden normaal geschreven als $8$ groepen van $4$ hexadecimale tekens, gescheiden door dubbele punten.

Lees in Toepassen hoe IPv6 in elkaar zit.

Waarom wordt het hexadecimale stelsel gebruikt, denk je?
En niet bijvoorbeeld het decimale stelsel of het binaire stelsel.

Het decimale stelsel is onhandig omdat omrekenen naar binair (wat nu nog voor onze computers nodig is) nogal bewerkelijk is.

Het binaire stelsel is onhandig omdat dit voor mensen vrijwel onleesbaar is.

Het hexadecimale stelsel is handig omdat dit voor mensen nog leesbaar is en gemakkelijk te vertalen is naar een binaire vorm.

IPv4 bestond uit $32$ bits, IPv6 bestaat uit $128$ bits.
Hoeveel internetadressen kon je met IPv4 maken? En nu met IPv6?

Met IPv4 $2^(32) = 4text(.)294text(.)967text(.)296$ , slechts ongeveer $4,3$ miljard.

Met IPv6 $2^(128) ~~ 3,4 * 10^(38)$ adressen, best wel meer...

Bekijk het internetadres in Toepassen.

Waaraan kun je zien dat het uit $128$ bits bestaat?

Er zijn $8$ groepen hexadecimale getallen van $4$ tekens. Elk hexadecimaal teken bestaat uit $4$ bits. Dus in totaal zijn er $8*4*4=128$ bits.

Schrijf het gegeven IP-adres in binaire vorm.

2001:0db8:85a3:0000:1319:8a2e:0370:7344 kun je schrijven als:
0010.0000.0000.0001:0000.1101.1011.0100:1000.0101.1010.0011:0000.0000.0000.0000:
0001.0011.0001.1001:1000.1010.0010.1110:0000.0011.0111.0000:0111.0011.0100.0100

Reken $a0bf13_(16)$ om naar een decimaal getal.

$a0bf13_(16) = 10534675_(10)$ .

$a0bf13_(16) = 10*16^5 + 11*16^3 + 15*16^2 + 1*16 + 3 = 10534675_(10)$ .

Reken $16000_(10)$ om naar een hexadecimaal getal.

$16000_(10) = 3f80_(16)$

$16000 // 16 = 1000$ rest $0_(10) = 0_(16)$ .
$1000 // 16 = 62$ rest $8_(10) = 8_(16)$ .
$62 // 16 = 3$ rest $14_(10) = 0f_(16)$ .
$3_(10) = 3_(16)$ .
Dus: $16000_(10) = 3f80_(16)$ .

Reken $1101111100110110010011010_2$ om naar een hexadecimaal getal.

$1101111100110110010011010_2 = 1be6c9a_(16)$

$1101111100110110010011010_2 = 0001.1011.1110.0110.1100.1001.1010 =$ $1be6c9a_(16)$

Reken $a0bf13_(16)$ om naar een binair getal.

$a0bf13_(16) = 10100000101111110011_2$

$a0bf13_(16) = 1010.0000.1011.1111.0011 = 10100000101111110011_2$